直角三角形计算器

三⾓函数的有关计算

Ⅰ．前景材料

雷达如何测定⽬标的⾼度（⼀）

雷达（radar）是利⽤极短的⽆线电波进⾏探测的装置，⽆线电波传播时遇到障碍物就会反射回来，雷达就是根据这个原理把

⽆线电波发射出去，再⽤接受装置接受反射回来的⽆线电波，这样就可以测定⽬标的⽅向、距离、⼤⼩等，雷达在使⽤上不受

⽓候条件的影响，⼴泛应⽤于军事、天⽂、航海、航空等领域。

你知道雷达是如何测定⽬标的⾼度吗？

假设⼤地是⼀个平⾯，⽬标的⾼低⾓θ可以测出，根据⽆线电波的传播速度及其来回所⽤的时间，可以计算出雷达与⽬标之间

的倾斜距离d（如图1-3-1）．这时，⽬标的⾼度为h=dsinθ．

当然，⼤地并不是平⾯，⽽是曲⾯，因此计算⽬标⾼度h的近似公式是h=dsinθ+Rd22

．其中，R表⽰地球的半径（约等于6370千⽶）．

Ⅱ．课前准备

⼀、课标要求

经历⽤计算器由已知锐⾓求它的三⾓函数值及由三⾓函数值求相应的锐⾓的过程，进⼀步体会三⾓函数的意义，能够运⽤计算

器进⾏三⾓函数值的运算，能够运⽤计算器辅助解决含三⾓函数值计算的实际问题。

⼆、预习提⽰

对于⼀般⾓的三⾓函数值可以通过计算器来求；反过来已知锐⾓的三⾓函数值，我们也可以通过计算器求出⾓的⼤⼩．

三、预习效果反馈

1．⽤计算器计算cos48°，cos50°，并⽐较⼤⼩．

2．将sin69°，sin53°，sin41°，sin44°的值按由⼩到⼤的顺序排列是．

3．已知下列各值，求锐⾓A．

（1）tanA=1.4036；（2）tanA=0.8637．

Ⅲ．课堂跟讲

⼀、背记知识随堂笔记

1．通过本节学习，我们要善于归纳学习中的规律和结论：

锐⾓A的正弦值在0～1之间，即＜sinA＜．

锐⾓A的余弦值在0～1之间，即＜cosA＜．

锐⾓A的正切值取值范围是tanA．

2．规律的探索

当⾓度在0°～90°之间变化时，正弦值随⾓度的增⼤⽽，余弦值随⾓度的增⼤⽽，正切值随⾓度的增⼤⽽．

3．常⽤名词

当从低处观测⾼处⽬标时，视线与⽔平线所成的锐⾓称为．

当从⾼处观测低处⽬标时，视线与⽔平线所成的锐⾓称为．

⼆、教材中“？”解答

1．问题（P14）解答：计算缆车垂直上升的⾼度BC，要在Rt△ABC中利⽤sinα计算．∵sinα=AB

BC，∴BC=ABsin16°=55.12（⽶）．要⽤科学计算器求出三⾓函数值，不同的计算器的按键⽅式可能不同，同学们可利⽤

⾃⼰的计算器探索计算三⾓函数的具体步骤．

2．想⼀想（P15）解答：还能计算上升的⾼度和⽔平移动的距离等．

上升的⾼度为BD·sinβ=200×sin42°≈133.8261（⽶）．

⽔平移动的距离为BD·cosβ=200错误！链接⽆效。≈148.6290（⽶）．

3．问题（P19）解答：利⽤计算器算得，若sinA=4

1，则∠A=14°28′39″．三、重点难点易错点讲解

本节重点是⽤计算器进⾏三⾓函数值的计算．

本节难点是解决简单的直⾓三⾓形问题．⼀般分为两种类型：⼀是已知直⾓三⾓形的⼀锐⾓和⼀条边，求另⼀直⾓边或第三

边；⼆是已知直⾓三⾓形的两边，求某⼀锐⾓的度数．它们都是利⽤三⾓形中的边⾓关系，求三⾓函数问题．

四、经典例题精讲

（⼀）应⽤举例

【例1】若∠A是锐⾓，cosA=0.618，则sin（90°－∠A）的值为．

思维⼊门指导：由余弦值求得正弦值⽅法较多，但要求90°－∠A的正弦，因此应利⽤互余⾓正、余弦间的关系．

解：∵sin（90°－∠A）=cosA，且cosA=0.618，∴sin（90°－∠A）=0.618．

点拨：掌握好互余⾓的正、余弦间的关系．

【例2】如图1-3-2，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，sinB=

13

5，求四边形各内⾓的度数．

思维⼊门指导：由sinB=

135≈0.3846，⽤计算器求得∠B=22°37′8″，再利⽤菱形的性质求其他⾓的度数．

解：∵sinB=13

5，⽤计算器解得∠B=22°37′8″．

⼜∵菱形对⾓相等，邻⾓互补，

∴∠D=∠B=22°37′8″，∠A=∠C=180°－22°37′8″=157°22′52″．

点拨：由sinB=13

5，⽤计算器求得∠B度数是解决本题的关键．（⼆）中考题

【例3】（2003，⼴东）如图1-3-3，灯塔A周围1000⽶⽔域内有礁⽯，⼀舰艇由西向东航⾏，在O处测得灯塔A在北偏东

74°⽅向上，这时O、A相距4200⽶．如果不改变航向，此舰艇是否有触礁的危险？

解：设该航艇航⾏路线为OP，过A作AD⊥OP，垂⾜为D．

则AD=OA·sin∠AOD

=4200×sin（90°－74°）

=4200×cos74°

≈1158（⽶）＞1000⽶．

故此航艇没有触礁的危险．

点拨：灯塔到航线的距离⼤于礁⽯区域半径，就不会有危险．

（三）学科内综合题

【例4】已知2＋3是⽅程x2－5sinθ·x＋1=0的⼀个根,θ为锐⾓，求θ的度数．解：设⽅程的另⼀根为x1，由根与系数的关

系，得（2＋3）x1=1，∴x1=2－3．∴（2＋3）＋（2－3）=5sinθ．∴sinθ=5

4=0.8，利⽤计算器求得θ≈53°8′.点拨：本题sinθ也可以根据⽅程的定义来解，这是⽅程与三⾓函数的综合题，把（2＋3）

代⼊⽅程，解关于sinθ的⽅程即可．

【例5】已知等腰三⾓形的底边为20，⾯积为3

100，求各⾓的⼤⼩．

解：如图1-3-4，作AD⊥BC于D．∵AB=AC，∴BD=DC．

⼜∵BD=DC，BC=20，∴BD=10．

∴∠BAC=180°－2×18°26′=143°8′．

点拨：三⾓函数是在直⾓三⾓形中定义的，故只有在直⾓三⾓形中才能应⽤，所以在解直⾓三⾓形或在不含直⾓三⾓形的其他

图形中（如斜三⾓形、梯形等），必须通过作⾼线构造出直⾓三⾓形，这是解决三⾓形问题的常⽤办法．

（四）学科间综合题

【例6】质量为20千克的物体M在如图1-3-5所⽰的斜⾯上下滑，已知AB=10⽶，∠A=47°，求物体M由B滑向A时重⼒所做

的功．

思维⼊门指导：这是⼀道物理知识与数学知识的综合题，应正确理解物理学上功的概念及公式．本题考查斜⾯做功和正弦．

解：物体下滑的垂直⾼度为：

BC=AB·sin47°=10×0.7314≈7．314（⽶）．

∴重⼒所做的功为W=F·s=20×9.8×7.314≈1433.54（焦）．

点拨：重⼒所做的功为重⼒与物体在重⼒⽅向上移动的距离的乘积，重⼒在重⼒⽅向上移动的距离是BC⽽不是AB．

（五）创新题

【例7】⾝⾼相同的甲、⼄、丙三位同学星期天到野外去⽐赛放风筝，看谁放得⾼（第⼀名得100分，第⼆名得80分，第三名

得60分）．甲、⼄、丙放出的线长分别为300m、250m、200m，线与地平⾯的夹⾓分别为30°、45°、60°（假设风筝线是

拉直的，⼈的⾼度不计在内），请你给三位同学打⼀下分数．

思维⼊门指导：本题应利⽤三⾓函数求出每⼈放的风筝⾼度即可．

解：根据题意画出⽰意图1-3-6．设甲、⼄、丙所放的风筝的⾼度为xm、ym、zm．由正弦定义，得sin30°=300x

，sin45°=250y，sin60°=200

z．∴x=300sin30°=300×21=150（m），y=250×sin45°=1252≈176.8（m），z=200×sin60°=200×2

3=1003≈173.2（m），∴甲同学得60分，⼄同学得100分，丙同学得80分．

点拨：本题关键是画出⽰意图帮助解题，本题命题形式和背景较新颖，形式活泼，与中学⽣假期娱乐⽣活紧密相连．

（六）应⽤题

【例8】如图1-3-7，沿AC⽅向开⼭修渠，为了加快施⼯速度，要在⼩⼭的另⼀边同时施⼯，从AC上的点B取

∠ABD=135°，BD=1200⽶，∠BDE=45°，那么开挖点E离D多远（精确到0．1⽶）正好能使A、C、E成⼀条直线？

思维⼊门指导：这是⼀道测量⽔平距离的应⽤题，根据已知可知∠DBE=∠BDE=45°，显然只要∠DEB=90°，A、C、E就成

⼀条直线．

解：连接DB．∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°．

∵∠BDE=45°，且要A、C、E成⼀条直线，∴∠DEB=90°．在Rt△DEB中，

答：开挖点E离D应为848.4⽶．

点拨：本题体现了数学知识在现实⽣产中的应⽤，这是近⼏年各地市中考命题的热点内容之⼀．

【例9】如图1-3-8所⽰，在⾼2⽶，坡⾓为32°的楼梯表⾯铺地毯，地毯的长度⾄少需要多少⽶？（精确到0.1⽶）

思维⼊门指导：本题考查正、余弦的概念，既要铺⽔平⾯⼜要铺竖直⾯，因此地毯的总长度为（AC+BC）的长．

解：由题意，得地毯的长度为（AC+BC）的长．

在Rt△ABC中，∠A=32°，BC=2⽶．

∴AC+BC=3.20+2≈5.2（⽶）．

答：地毯的长度⾄少需要5.2⽶．

点拨：本题与实际⽣活联系密切，解题时应认真分析题⽬内容，准确理解题意，从整体上提炼出需要的地毯长为AC与BC的长

度和．

Ⅳ．当堂练习（5分钟）

1．⽤计算器求下列各式的值：

（1）sin44′56″+cos5′36″；

（2）cos78°33′52″+tan50′36″；

（3）sin48°30′28″+cos53°26′34″+tan32″．

2．根据条件求⾓：

（1）sinα=0.964；（2）cosα=0.291；（3）tanα=8.665．

3．某段公路每前进100⽶，路⾯就升⾼4⽶，求这段公路的坡⾓．

【同步达纲练习】

Ⅴ．课后巩固练习

（90分90分钟）

⼀、基础题（每题3分，共24分）

1．天河宾馆在重新装修后，准备在⼤厅的主楼梯上铺设某种红⾊地毯．已知这种地毯每平⽅⽶售价30元，主楼梯道宽2m，

其侧⾯如图1-3-9所⽰，则购买地毯⾄少需要（）

A．405元

B．504元

C．84元

D．168元

2．如图1-3-10，在⾼为h的⼭顶上，测得⼀建筑物顶端与底部的俯⾓分别为30°和60°，⽤h表⽰这个建筑物的⾼为（）

A．32h

B．23h

C．33h

D．3h

3．sin70°，cos70°，tan70°的⼤⼩关系是（）

A．tan70°＜cos70°＜sin70°

B．cos70°＜tan70°＜sin70°

C．sin70°＜cos70°＜tan70°

D．cos70°＜sin70°＜tan70°

4．如图1-3-11，某建筑物BC直⽴于⽔平⾯，AC=9m，要建造阶梯AB，使每阶⾼不超过20cm，则此阶梯最少要建阶．

（最后⼀阶不⾜20cm时，按⼀阶计算）

5．已知△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且c=3b，则∠A=．

6．α为锐⾓，sin248°+sin2α=1，则α=．

7．已知sin42°54′=0.6807，若cosα=0.6807，则α=．

8．“曙光中学”有⼀块三⾓形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A=30°，AC=40m，BC=25m，请你求出这块花圃的⾯积．

⼆、学科内综合题（7分）

9．已知⼀元⼆次⽅程3x2－4xsinα＋2（1－cosα）=0有两个不相等的实数根，α为锐⾓，求α的范围．

三、学科间综合题（每题10分，共20分）

10．如图1-3-12，某轮船沿正北⽅向航⾏，在A点处测得灯塔B在北偏西30°，船以每⼩时25海⾥的速度航⾏2⼩时后到达C

点，测得灯塔B在北偏西75°，问当时船到达灯塔B的正东⽅向时，船距灯塔有多远？（结果保留两个有效数字）

11．如图1-3-13，某⼈在A处利⽤杠杆抬起位于B点处的重物M．已知M=10千克，杠杆与地⾯的夹⾓为10°，在A处的⼈和B点

处的重点与⽀点的距离都为3⽶，求这⼈将重物M抬⾄⽔平位置时所做的功．

四、应⽤题（每题5分，共15分）

12．我⼈民解放军在东海海域进⾏“保卫祖国”军事演习，当我机与我舰保持垂直的10km⾼度时，发现“敌舰”C在我机俯⾓15°

的海⾯上浮出（如图1-3-14所⽰），请计算“敌舰”与我机的距离．（精确到1km）

13．刘岩同学到烈⼠陵园去测英雄纪念碑的⾼度，他在距碑42m的地⽅，⽤测⾓仪测得碑顶的仰⾓为30°．已知测⾓仪的⾼度

是1.5m，求纪念碑的⾼度．

14．某校的教室A位于⼯地O的正西⽅向，且OA=200m，⼀部拖拉机从O点出发，以每秒5m的速度沿北偏西53°⽅向⾏驶．设

拖拉机的噪声污染半径为130m，试问教室A是否在拖拉机噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染

的时间有⼏秒？

五、创新题（8分）

⼀题多解

15．如图1-3-15，□ABCD的对⾓线AC的垂直平分线与AD、BC交于E、F两点．求证：四边形AFCE为菱形．

六、中考题（16分）

16．（2003，⽢肃，8分）如图1-3-16所⽰，住宅区内的两幢楼，它们的⾼AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，现需了解

甲楼对⼄楼的采光的影响情况．当太阳光与⽔平线的夹⾓

为30°时，求甲楼的影⼦在⼄楼上有多⾼？（精确到0.1m，2≈1.41，3≈1.73）

17．（2004，天津，8分）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度．如图1-3-17，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板

的夹⾓为倾⾓θ，⼀般情况下，倾⾓θ愈⼩，楼梯的安全程度愈⾼．

如图1-3-18，设计者为提⾼楼梯的安全程度，要把楼梯的倾⾓由θ1减⾄θ2，这样楼梯占⽤地板的长度由d1增加到d2．已知

d1=4m，∠θ1=40°，∠θ2=36°，求楼梯占⽤地板的长度增加了多少？（精确到0．01m）

参考数据：sin36°=0.5878，cos36°=0.8090，tan36°=0.7265，sin40°=0.6428，cos40°=0.7660，tan40°=0.8391．

加试题：竞赛趣味题（6分）

求证：在锐⾓三⾓形ABC中，b2=a2＋c2－2ac·cosB．

Ⅵ．探究题

为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况，在⼤直街拓宽⼯程中，要伐掉⼀棵树AB，在地⾯上事先划定以B为圆

⼼、半径与AB等长的圆形危险区．现在某⼯⼈站在离B点3m远的D处测得树的顶端A点的仰⾓为60°，树的底部B的俯⾓为

30°（如图1-3-19），

问距离B点8m的保护物是否在危险区内？（3的近似值取1．73）

参考答案

三⾓函数的有关计算

Ⅱ．三、1．cos48°=0.6691，cos50°=0.6428，cos48°＞cos50°．

2．∵sin69°=0.9336，sin53°=0.7986，sin41°=0.6561，sin44°=0.6947，

∴sin41°＜sin44°＜sin53°＜sin69°．

点拨：⽤计算器计算时，⼀定注意先进⼊“⾓度”状态．

3．（1）tanA=1.4036，∠A=54.53°≈54°31′55″；

（2）tanA=0.8607，∠A=40.82°≈40°43′2″．

Ⅲ．1．0＜sinA＜1；0＜cosA＜1；tanA＞02．增⼤；减⼩；增⼤3．仰⾓；俯⾓Ⅳ．1．解：（1）sin44°56″＋

cos5′36″≈1．0131；

（2）cos78°33′52″＋tan50′36″≈0.2130；

（3）sin48°30′28″＋cos53°26′34″＋tan32″≈1．3448．

2．解：（1）α=74°34′46″；（2）α=73°4′56″；（3）α=83°25′1″．

点拨：⽤计算器计算三⾓函数注意：①⾸先进⼊“⾓度”状态；②已知三⾓函数值，求

⾓度时先启⽤第⼆功能键；③不⾜1°的⾓输⼊时，先输然后输⼊分、秒等．

3．解：设坡⾓为α．根据题意，得sinα=100

4=0.04，解得α=2°17′33″．Ⅴ．⼀、1．B点拨：地毯总长为2．6＋5.8=8.4（m），总⾯积为8.4×2=16.8（m2），所以⾄少

需要16.8×30=504（元）．

2．A点拨：先算得⼭与建筑物的距离h·cot60°，再解得⼭⽐建筑物⾼h·cot60°·tan30°=31h，故这个建筑物的⾼为3

2h．3．D解：∵cos70°=sin20°，∴sin70°＞sin20°．∵tan70°＞sin70°，∴tan70°＞sin70°＞cos70°．

点拨：①同⾓的正切值必⼤于正弦值；②利⽤正弦增减性．本题也可以⽤计算器验证．

4．36解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=38°，AC=9m．

∵tanA=AC

BC，∴BC=AC·tanA=9×0.7812≈7.032（m）．∵每⼀阶⾼不超过20cm=0.2m，∴此阶梯最少要建的阶数为2

.0032.7=35.16≈36．点拨：所建阶梯的总⾼度不变（即为BC长）．5．70°31′51″点拨：∵∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对

边为a，b，c，∴cosA=

cb．∵c=3b，∴cosA=3

1，⽤计算器解得∠A=70°31′51″．6．42°点拨：sin2α＋sin248=1，cos2（90°－α）＋sin248°=1，∴90°－

α=48°．∴α=42°．

7．47°6′点拨：sin42°54′=cosα，∴α＋42°54′=90°．∴α=47°6′．

8．解：分两种情况：（1）如答图1-3-1，过点C作CD⊥AB于D．在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=40，∴CD=20，AD=AC

·cos30°=203．

在Rt△CDB中，CD=20，CB=25，∴DB=22CDCB=15．

∴S△ABC=21AB·CD=2

1（AD＋DB）·CD=（2003＋150）（m2）．

（2）如答图1-3-2，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D．

由（1）可得CD=20，AD=203，DB=15，

∴S△ABC=21AB·CD=2

1（AD＋DB）·CD=（2003＋150）（m2）．点拨：要全⾯分析考虑，按两种情况讨论．

⼆、9．解：∵⼆次⽅程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即16sin2α－24（1－cosα）＞0．

化简，得2（1－cos2α）－3（1－cosα）＞0，分解为（1－cosα）（2cosα－1）＞0．⼜∵0＜cosα＜1，∴1－cosα＞

0．∴2cosα－1＞0．∴cosα＞2

1．∵余弦函数值随⾓度的增⼤⽽减少，∴α＜60°，即0°＜α＜60°．

点拨：不要搞错余弦函数的增减性，把α的范围求为60°＜α＜90°．

三、10．解：如答图1-3-3，作BD⊥AC于D，CE⊥AB于E．由题意得∠BCD=75°，∠A=30°，AC=25×2=50．在Rt

△ACE中，∠A=30°，∠CEA=90°，

∴CE=21AC=21×50=25，AE=AC·cosα=50×2

3=253．∵∠BCD=75°，∠A=30°，∴∠EBC=75°－30°=45°．

∴△BEC为等腰直⾓三⾓形．∴BE=CE=25．

∴AB=AE＋BE=25＋253．

在Rt△ABD中，∵∠A=30°，∴BD=21AB=2

1×25（3＋1）≈34（海⾥）．答：略．点拨：（1）理解题意，找准⽅向⾓及所求的距离；（2）构造直⾓三⾓形求BD．

11．解：过点A作地⾯作垂线AC，过O作OD⊥AC于D，则∠AOD=10°，OD=3m．在Rt△ADO中，AD=OD

·tan10°≈3×0.18=0.54（m）．

∴⼈做功为W=Mg·AD=10×9.8×0．54=52.92（焦⽿）．

答：这⼈将重物M抬⾄⽔平位置做功为52.92焦⽿．

点拨：本题关键是求出AD长；在⼒的⽅向上移动的距离可看作线段AD．

四、12．解：约38km．点拨：

15sin10≈38（km）．13．解：画出⽰意答图1-3-4．由题意，得BC=DE=42m，CD=BE=1.5m，∠ADE=30°．在Rt

△ADE中，∵cos30°=

ADDE，

∴AB=AE＋BE=（143＋1．5）≈25．75（m）．

答：纪念碑的⾼度为25.75m．

点拨：也可以⽤正切AE=tan30°·DE求．

14．解：画出⽰意图1-3-5．由题意，得∠α=53°，OA=200m，作AB⊥OM于B．∵∠α=53°，∴∠BOA=37°，∴AB=OA

·sin37°≈200×0．60=120．∵120＜130，∴A在噪声污染范围内．据题意在OM上取两点C和D，使AC=AD=130m．

答：教室A在拖拉机噪声污染范围内，受污染的时间为20秒．

点拨：画出⽰意图，将实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．

五、15．证法⼀：∵AD∥BC，∴∠α=∠β．∴tanα=tanβ．

∵EF垂直平分AC，∴∠AOE=∠FOC=90°，且OA=OC．

证法⼆：∵AD∥BC，∴∠α=∠β．

∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOE=∠FOC=90°．∴△AOE≌△COF．∴EO=FO．⼜∵OA=OC，∴四边形AFCE是平⾏

四边形．∵EF⊥AC，∴□AFCE为菱形．

点拨：本题可以⽤三⾓形全等来证，也可以⽤三⾓函数来证．⽤三⾓函数证线段相等是本题的创新之处．

六、16．解：设甲楼的影⼦在⼄楼上的最⾼点为E，作EF⊥AB，垂⾜为F，如答图1-3-6．

∵∠BEF=30°，∴在Rt△BFE中，BF=EF·tan30°=AC·tan30°=83≈13.8（m）．∴

CE=AF=AB－BF≈16.2（m）．

答：甲楼的影⼦在⼄楼上的⾼度约为16．2m．

点拨：关键是根据实际意义画出⼏何图形．

17．解：在Rt△ABC中，BC=d1，∠ACB=∠θ1，AB=BC·tan∠ACB，∴AB=d1·tanθ1=4tan40°．在Rt△ABD中，BD=

d2，∠ADB=∠θ2，∴AB=d2·tanθ2=d2tan36°．

∴d2－d1≈4．620－4≈0．620≈0.62（m）．

答：楼梯占⽤地板的长度增加了0.62m．

加试题：证明：如答图1-3-7，作CD⊥BC于D，设DB=x，则AD=c－x．

在Rt△BCD中，x=a·cosB，CD2=a2－x2．

在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=CD2＋AD2，

即b2=a2－x2＋（c－x）2=a2－2cx＋c2．

∵x=acosB，∴b2=a2＋c2－2ac·cosB．

Ⅵ．解：作CE⊥AB，垂⾜为E，根据题意，得CE=3m，∠BCE=30°，∠ACE=60°．

∴AB=AE＋BE=43≈4×1.73=6．92（m）＜8m．

因此可判断该保护物不在危险之内．

点拨：（1）构造直⾓三⾓形是⾓直⾓三⾓形中最常⽤、最基本的⽅法；（2）要参考距B点8m远的保护物是否在危险区内，

关键的⼀点是要测算出树AB的⾼度；（3）解应⽤题应学会建⽴数学模型．