重叠法

总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为假设干基本规

则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常

用的基本方法有：

一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，

然后相加求出整个图形的面积.例如，下列图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半

圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.

二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是假设干个基本规则图形的面积之

差.例如，下列图，假设求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即

可.

三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右

上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直

接可求为|：

四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合

成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求下列图中阴影部分面积，可以

把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.

五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或假设干条辅助线，使不规则图形

转化成假设干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如下列图，求两个正方

形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更

简便.

六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规

则图形，从而使问题得到解决.例如，如下列图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切

割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.

七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一

个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如下列图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切

开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定

角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，

欲求下列图〔1〕中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与

C重合，从而构成如右图〔2〕的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等

腰直角三角形的面积.

九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原

来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求下列图中阴影部分的面积，沿AB在原

图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的

面积。

十、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分。例如，欲求

下列图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面

积恰好是两个扇形重叠的部分.

练习：

1、如下列图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘

米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。

2、如下列图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影

〔Ⅰ〕的面积比阴影〔Ⅱ〕的面积大7平方厘米，求BC长。

3、如下列图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。

4、如下列图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积.

5、如下页图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是半圆的直径，且

AB=BC=10，求阴影部分面积〔π取3.14〕。

6、如下列图，大圆的直径为4厘米，求阴影部分的面积。

7、如下列图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半

径在正方形内画圆，求阴影部分面积。

8、如下列图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求B中阴影部分占大圆面积

的百分之几？

作业：

1、如下列图，正方形ABCD边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、

BE、CF、DG为半径画出扇形，求阴影部分的面积.

2、如下列图，求阴影部分的面积。〔单位：cm〕

3、下列图中，正方形的边长是2厘米，四个圆的半径都是1厘米，圆心分别是

正方形的四个顶点。求出阴影部分的面积。

OA=6cm

阴影部分和空白部

分将半径分成6份