2022数学

第1页，共17页

2022

年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（理

科）

一、单选题（本大题共

12

小题，共

60.0

分）

1.设全集

𝑈={1,2,3,4,5}

，集合

𝑀

满足

∁

𝑈

𝑀={1,3}

，则

()

A.2∈𝑀B.3∈𝑀C.4∉𝑀D.5∉𝑀

2.已知

𝑧=1−2𝑖

，且

𝑧+𝑎𝑧+𝑏=0

，其中

𝑎

，

𝑏

为实数，则

()

A.𝑎=1

，

𝑏=−2B.𝑎=−1

，

𝑏=2

C.𝑎=1

，

𝑏=2D.𝑎=−1

，

𝑏=−2

3.已知向量

𝑎

，

𝑏

满足

|𝑎⃗|=1

，

|𝑏

⃗

|=

√

3

，

|𝑎⃗−2𝑏

⃗

|=3

，则

𝑎⃗·𝑏

⃗

=()

A.−2B.−1C.1D.2

4.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞

行的人造行星

.

为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列

{𝑏

𝑛

}:𝑏

1

=1+1

𝑎

1

，

𝑏

2

=1+1

𝛼

1

+

1

𝑎

2

，，

⋯

，依此类推，其中

𝑎

𝑘

∈

𝑁∗(𝑘=1,2,⋯).

则

()

A.𝑏

1

<𝑏

5

B.𝑏

3

<𝑏

𝑠

C.𝑏

6

<𝑏

2

D.𝑏

4

<𝑏

7

5.设

𝐹

为抛物线𝐶:𝑦2=4𝑥的焦点，点

𝐴

在

𝐶

上，点

𝐵(3,0)

，若

|𝐴𝐹|=|𝐵𝐹|

，则

|𝐴𝐵|=()

A.2B.

2

√

2

C.3D.

3

√

2

6.执行右边的程序框图，输出的

𝑛=()

A.3

B.4

C.5

D.6

7.在正方体

𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴

1

𝐵

1

𝐶

1

𝐷

1

中，

𝐸

，

𝐹

分别为

𝐴𝐵

，

𝐵𝐶

的中点，则

()

A.平面

𝐵

1

𝐸𝐹⊥

平面

𝐵𝐷𝐷

1

B.平面

𝐵

1

𝐸𝐹⊥

平面

𝐴

1

𝐵𝐷

C.平面

𝐵

1

𝐸𝐹//

平面

𝐴

1

𝐴𝐶D.平面

𝐵

1

𝐸𝐹//

平面

𝐴

1

𝐶

1

𝐷

第2页，共17页

8.已知等比数列

{𝑎

𝑛

}

的前

3

项和为

168

，

𝑎

2

−𝑎

5

=42

，则

𝑎

6

=()

A.14B.12C.6D.3

9.已知球

𝑂

的半径为

1

，四棱锥的顶点为

𝑂

，底面的四个顶点均在球

𝑂

的球面上，则当

该四棱锥的体积最大时，其高为

()

A.1

3

B.1

2

C.√

3

3

D.√

2

2

10.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立

.

已知该棋手与

甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为

𝑝

1

，

𝑝

2

，

𝑝

3

，且

𝑝

3

>𝑝

2

>𝑝

1

>0.

记该棋手连胜

两盘的概率为

𝑝

，则

()

A.𝑝

与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛，

𝑝

最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，

𝑝

最大

D.该棋手在第二盘与丙比赛，

𝑝

最大

11.对曲线

𝐶

的两个焦点为

𝐹

1

，

𝐹

2

，以

𝐶

的实轴为直径的圆记为

𝐷

，过

𝐹

1

作

𝐷

的切线与

𝐶

交于

𝑀

，

𝑁

两点，且

cos∠𝐹

1

𝑁𝐹

2

=3

5

，则

𝐶

的离心率为

()

A.√

5

2

B.3

2

C.√

13

2

D.√

17

2

12.已知函数

𝑓(𝑥)

，

𝑔(𝑥)

的定义域均为

𝑅

，且

𝑓(𝑥)+𝑔(2−𝑥)=5

，

𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥−4)=7

，

若

𝑦=𝑔(𝑥)

的图像关于直线

𝑥=2

对称，

𝑔(2)=4

，则

∑

𝑓

22

𝑘=1

(𝑘)=(

)

A.−21B.−22C.−23D.−24

二、填空题（本大题共

4

小题，共

20.0

分）

13.从甲、乙等

5

名同学中随机选

3

名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．

14.过四点

(0,0)

，

(4,0)

，

(−1,1)

，

(4,2)

中的三点的一个圆的方程为．

15.记函数

𝑓(𝑥)=cos(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0,0<𝜑<𝜋)

的最小正周期为

𝑇

，若

𝑓(𝑇)=√

3

2

，

𝑥=

𝜋

9

为

𝑓(𝑥)

的零点，则

𝜔

的最小值为．

16.已知

𝑥=𝑥

1

和

𝑥=𝑥

2

分别是函数𝑓(𝑥)=2𝑎

𝑥−𝑒𝑥2(𝑎>0且

𝑎≠1)

的极小值点和极

大值点，若

𝑥

1

<𝑥

2

，则

𝑎

的取值范围是

三、解答题（本大题共

7

小题，共

80.0

分）

第3页，共17页

17.记

𝛥𝐴𝐵𝐶

的内角

𝐴

、

𝐵

、

𝐶

的对边分别为

𝑎

、

𝑏

、

𝑐

，已知

sin𝐶sin(𝐴−𝐵)=sin𝐵sin(𝐶−𝐴)

．

(1)

证明：2𝑎2=𝑏2+𝑐2;

(2)

若

𝑎=5

，

cos𝐴=25

31

，求

𝛥𝐴𝐵𝐶

的周长．

18.如图，四面体

𝐴𝐵𝐶𝐷

中

𝐴𝐷⊥𝐶𝐷

，

𝐴𝐷=𝐶𝐷

，

∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐵𝐷𝐶

，

𝐸

为

𝐴𝐶

中点．

(1)

证明：平面

𝐵𝐸𝐷⊥

平面

𝐴𝐶𝐷;

(2)

设

𝐴𝐵=𝐵𝐷=2

，∠𝐴𝐶𝐵=600

，点

𝐹

在

𝐵𝐷

上，当

△𝐴𝐹𝐶

的面积最小时，求

𝐶𝐹

与

平面

𝐴𝐵𝐷

所成角的正弦值．

19.某地经过多年的环填治理，已将就山改造成了绿水青山

.

为估计一林区某种树木的

总材积量，随机选取了

10

棵这种村木，测量每棵村的根部横截而积

(

心位：𝑚

2)和

材积量(𝑚

3)，得到如下数据：

样本数号

𝑖

总和

根部横截面积

𝑥

𝑖

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材积量

𝑦

𝑖

0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

并计算得

∑

𝑥

𝑖

2

10

𝑖=1

=0.038

，

∑

𝑦

𝑖

210

𝑖=1

=1.6158

，

∑

𝑥

𝑖

10

𝑖=1

𝑦

1

=0.2474

．

(1)

估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量：

(2)

求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数

(

精确到

0.01);

(3)

现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横

截面积总和为186𝑚

2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比

.

利用以上数

据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

附：相关系数

𝑟=

∑

(

𝑥

𝑖

−𝑥

)𝑛

𝑖=1

(

𝑦

𝑖

−𝑦

)

√

∑

(

𝑥

𝑖

−𝑥

)2

𝑛

𝑖=1

∑

(

𝑦

𝑖

−𝑦

)2

𝑛

𝑖=1

，√

1.896≈1.377

．

20.已知椭圆

𝐸

的中心为坐标原点，对称轴为

𝑥

轴，

𝑦

轴，且过

𝐴(0,−2)

，

𝐵(

3

2

,−1)

两点

(1)

求

𝐸

的方程

;

(2)

设过点

𝑃(1,−2)

的直线交

𝐸

于

𝑀

，

𝑁

两点，过

𝑀

且平行于

𝑥

的直线与线段

𝐴𝐵

交于点

𝑇

，点

𝐻

满足

𝑀𝑇

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=𝑇𝐻

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

，证明：直线

𝐻𝑁

过定点．

21.已知函数

𝑓(𝑥)=ln(1+𝑥)+𝑎𝑥𝑒−𝑥

．

(1)

当

𝑎=1

时，求曲线

𝑓(𝑥)

在点

(0,𝑓(0))

处的切线方程：

(2)

若

𝑓(𝑥)

在区间

(−1,0)

，

(0,+∞)

各恰有一个零点，求

𝑎

的取值范围．

第4页，共17页

22.在直角坐标系

𝑥𝑂𝑦

中，曲线

𝐶

的方程为

{

𝑥=

√

3cos2𝑡

𝑦=2sin𝑡

(𝑡

为参数

).

以坐标原点为极点，

𝑥

轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线

𝑙

的极坐标方程为

𝜌sin(𝜃+𝜋

3

)+𝑚=0

．

(1)

写出

𝑙

的直角坐标方程：

(2)

若

𝑙

与

𝐶

有公共点，求

𝑚

的取值范围．

已知

𝑎.𝑏.𝑐

为正数，且𝑎3

2+𝑏3

2+𝑐3

2=1，证明：

(1)𝑎𝑏𝑐≤

1

9

(2)𝑎

𝑏+𝑐

+𝑏

𝑎+𝑐

+𝑐

𝑎+𝑏

≤1

2

√

𝑎𝑏𝑐

第5页，共17页

答案和解析

1.【答案】

𝐴

【解析】

【分析】

本题考查了元素与集合的关系，补集的运算，属于基础题．

【解答】

解：因为全集

𝑈={1,2,3,4,5}

，

∁

𝑈

𝑀={1,3}

，

所以

𝑀={2,4,5}

，

所以

2∈𝑀

，

𝐴

选项正确．

2.【答案】

𝐴

【解析】

【分析】

本题主要考查共轭复数和复数相等，属于基础题．

根据题干表示

𝑧

，再出列出复数相等的等式，即可求解

𝑎

，

𝑏

．

【解答】

解：由题设，

𝑧=1−2𝑖

，

𝑧=1+2𝑖

，代入有

𝑎+𝑏+1+(2𝑎−2)𝑖=0

，

故

𝑎=1

，

𝑏=−2

．

3.【答案】

𝐶

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积运算．

【解答】

解：由题设，

|𝑎⃗−2𝑏

⃗

|=3

，得

|𝑎⃗|−4𝑎⃗⋅𝑏

⃗

+4|𝑏

⃗

|2=9

，代入

|𝑎⃗|=1

，

|𝑏

⃗

|=

√

3

，

有

4𝑎⃗⋅𝑏

⃗

=4

，故

𝑎⃗·𝑏

⃗

=1

4.【答案】

𝐷

【解析】

【分析】

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本题考查社会生活中的数列的比较大小，考查运算推导能力，属于基础题．

利用递推关系进行大小的比较．

【解答】

解：由已知

𝑏

1

=1+1

𝑎

1

，

𝑏

2

=1+1

𝑎

1

+

1

𝑎

2

，

1

𝑎

1

>1

𝑎

1

+

1

𝑎

2

，故

𝑏

1

>𝑏

2

;

同理可得

𝑏

2

<

𝑏

3

，

𝑏

1

>𝑏

3

,

又因为

1

𝑎

2

>1

𝑎

2

+

1

𝑎

3

+

1

𝑎

4

，故

𝑏

2

<𝑏

4

，于是得

𝑏

1

>𝑏

2

>𝑏

3

>𝑏

4

>𝑏

5

>𝑏

6

>

𝑏

7

>...

，排除

𝐴

．

1

𝑎

2

>1

𝑎

2

+

1

𝑎

3

+...

1

𝑎

6

，故

𝑏

2

<𝑏

6

，排除

𝐶

，而

𝑏

1

>𝑏

7

>𝑏

8

，排除

𝐵

．

5.【答案】

𝐵

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的定义、方程和性质，属基础题．

【解答】

解：易知抛物线𝐶:𝑦

2=4𝑥的焦点为

𝐹(1,0)

，于是有

|𝐵𝐹|=2

，故

|𝐴𝐹|=2

，注

意到抛物线通径

2𝑝=4

，

通径为抛物线最短的焦点弦，分析知

𝐴𝐹

必为半焦点弦，于是有

𝐴𝐹⊥𝑥

轴，

于是有

|𝐴𝐵|=

√22+22=2

√

2

．

6.【答案】

𝐵

【解析】

【分析】

本题考查程序框图，属于基础题．

【解答】

解：第一次循环：

𝑏=1+1×2=3

，

𝑎=3−1=2

，

𝑛=1+1=2

，

|

𝑏2

𝑎2

−2|=

|(3

2

)2−2|=1

4

>0.01

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第二次循环：

𝑏=3+2×2=7

，

𝑎=7−2=5

，

𝑛=2+1=3

，

|

𝑏2

𝑎2

−2|=

|(7

5

)2−2|=3

25

>0.01

第三次循环，

𝑏=7+2×5=17

，

𝑎=17−5=12

，

𝑛=3+1=4

，

|

𝑏2

𝑎2

−2|=

|(17

12

)2−2|=1

144

<0.01

故输出

𝑛=4

7.【答案】

𝐴

【解析】

【分析】

本题考查了面面垂直的判断，面面垂直的性质，属于中档题．

【解答】

解：对于

𝐴

选项：在正方体

𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴

1

𝐵

1

𝐶

1

𝐷

1

中，因为

𝐸𝐹

分别为

𝐴𝐵

，

𝐵𝐶

的

中点，易知

𝐸𝐹⊥𝐵𝐷

，从而

𝐸𝐹⊥

平面

𝐵𝐷𝐷

1

，又因为

𝐸𝐹⊂

平面

𝐵𝐷𝐷

1

，所以平面

𝐵

1

𝐸𝐹⊥

平

面

𝐵𝐷𝐷

1

，

所以

𝐴

选项正确

;

对于

𝐵

选项：因为平面

𝐴

1

𝐵𝐷∩

平面

𝐵𝐷𝐷

1

=𝐵𝐷

，由上述过程易知平面

𝐵

1

𝐸𝐹⊥

平

面

𝐴

1

𝐵𝐷

不成立

;

对于

𝐶

选项的直线

𝐴𝐴

1

与直线

𝐵

1

𝐸

必相交，故平面

𝐵

1

𝐸𝐹//

面

𝐴

1

𝐴𝐶

有公共

点，从而

𝐶

的错误

;

对于

𝐷

选项：连接

𝐴𝐶

，

𝐴𝐵

1

，

𝐵

1

𝐶

，易知平面

𝐴𝐵

1

𝐶//

平面

𝐴

1

𝐶

1

𝐷

，

又因为平面

𝐴𝐵

1

𝐶

与平面

𝐵

1

𝐸𝐹

有公共点

𝐵

1

，故平面

𝐴𝐵

1

𝐶

与平面

𝐵

1

𝐸𝐹

不平行，所以

𝐷

选项错误．

第8页，共17页

8.【答案】

𝐷

【解析】

【分析】

本题主要考查等比数列前

𝑛

项和中的基本量计算，属于基础题．

根据题干列出等式求得

𝑎

1

与

𝑞

，进而求出

𝑎

6

．

【解答】

解：设等比数列

{𝑎

𝑛

}

首项

𝑎

1

，公比

𝑞

．

由题意，

{

𝑎

1

+𝑎

2

+𝑎

3

=168

𝑎

2

−𝑎

5

=42

，即

{

𝑎

1

(1+𝑞+𝑞2)=168

𝑎

1

𝑞(1−𝑞3)=42

，即

{

𝑎

1

(1+𝑞+𝑞2)=168

𝑎

1

𝑞(1−𝑞)(1+𝑞+𝑞2)=42

解得，

𝑞=

1

2

，

𝑎

1

=96

，所以

𝑎

6

=𝑎

1

𝑞5=3

．

9.【答案】

𝐶

【解析】

【分析】

本题考查圆锥体积，最值计算．

【解答】

解：考虑与四棱锥的底面形状无关，不失一般性，假设底面是

边长为

𝑎

的正方形，底面所在圆面的半径为

𝑟

，则

𝑟=

√

2

2

𝑎

，

所以该四棱锥的高ℎ=

√

1−𝑎2

2

，所以体积

𝑉=1

3

𝑎2√

1−𝑎2

2

，设𝑎2=𝑡

(

0<𝑡<2

)

，

𝑉=1

3

√

𝑡2−𝑡3

2

，

(𝑡2−𝑡3

2

)

′=2𝑡−3𝑡2

2

，当

0<𝑡<

4

3

，

(𝑡2−𝑡3

2

)

′>0

，单调递增，

当

4

3

<𝑡<2

，

(𝑡2−𝑡3

2

)

′<0

，单调递减，所以当

𝑡=4

3

时，

𝑉

取最大，此时

ℎ=

√

1−𝑎2

2

=√

3

3

，

第9页，共17页

10.【答案】

𝐷

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件的概率乘法公式的计算，属于中档题．

根据题意计算出

𝑃

甲

，

𝑃

乙

，

𝑃

丙

，然后作差比较大小．

【解答】

解：设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为

𝑃

甲

，在第二盘与乙比赛连赢两盘的

概率为

𝑃

乙

，在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为

𝑃

丙

由题意

𝑃

甲

=𝑝

1

[𝑝

2

(1−𝑝

3

)+𝑝

3

(1−𝑝

2

)]=𝑝

1

𝑝

2

+𝑝

1

𝑝

3

−2𝑝

1

𝑝

2

𝑝

3，

𝑃

乙

=𝑝

2

[𝑝

1

(1−𝑝

3

)+𝑝

3

(1−𝑝

1

)]=𝑝

1

𝑝

2

+𝑝

2

𝑝

3

−2𝑝

1

𝑝

2

𝑝

3，

𝑃

丙

=𝑝

3

[𝑝

1

(1−𝑝

2

)+𝑝

2

(1−𝑝

1

)]=𝑝

1

𝑝

3

+𝑝

2

𝑝

3

−2𝑝

1

𝑝

2

𝑝

3，

所以

𝑃

丙

−𝑃

甲

=𝑝

2

(𝑝

3

−𝑝

1

)>0

，

𝑃

丙

−𝑃

乙

=𝑝

1

(𝑝

3

−𝑝

2

)>0

，

所以

𝑃

丙

最大．

11.【答案】

𝐶

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的性质及直线与圆相切的性质，属于中档题．

【解答】

解：由题意，点

𝑁

在双曲线右支

.

记切点为点

𝐴

，连接

𝐴𝐷

，则

𝐴𝐷⊥𝑀𝑁

，

|𝐴𝐷|=

𝑎

，

又

|

𝐷𝐹

1

|

|=𝑐

，则

|𝐴𝐹

1

|=√𝑐2−𝑎2=𝑏.

过点

𝐹

2

作

𝐹

2

𝐵⊥𝑀𝑁

交直线

𝑀𝑁

于点

𝐵

，

连接

𝐹

2

𝑁

，

则

𝐹

2

𝐵//𝐷𝐴

，又点

𝐷

为

𝐹

1

𝐹

2

中点，则

|𝐹

2

𝐵|=2|𝐷𝐴|=2𝑎

，

|

𝐹

1

𝐵

|

=2|𝐴𝐹

1

|=2𝑏

．

由

cos∠𝐹

1

𝑁𝐹

2

=3

5

，得

sin∠𝐹

1

𝑁𝐹

2

=4

5

，

tan∠𝐹

1

𝑁𝐹

2

=4

3

所以

|𝐹

2

𝑁|=|𝐹

2

𝐵|

sin∠𝐹

1

𝑁𝐹

2

=5𝑎

2

，

|𝐵𝑁|=

|𝐹

2

𝐵|

tan∠𝐹

1

𝑁𝐹

2

=3𝑎

2

．

第10页，共17页

故

|𝐹

1

𝑁|=|𝐹

1

𝐵|+|𝐵𝑁|=2𝑏+3𝑎

2

，由双曲线定义，

|𝐹

1

𝑁|−|𝐹

2

𝑁|=2𝑎

，

则

2𝑏−𝑎=2𝑎

，即

𝑏

𝑎

=3

2

，所以

𝑒=

√

1+

𝑏2

𝑎2

=

√1

+9

4

=√

13

2

.(

此题是否有另外一解，

待官方公布

)

12.【答案】

𝐷

【解析】

【分析】

本题考查函数的对称性，周期性，属于拔高题．

【解答】

解：若

𝑦=𝑔(𝑥)

的图像关于直线

𝑥=2

对称，则

𝑔(2−𝑥)=𝑔(2+𝑥)

，因为

𝑓(𝑥)+𝑔(2−𝑥)=5

，所以

𝑓(−𝑥)+𝑔(2+𝑥)=5

，故

𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)

，

𝑓(𝑥)

为偶

函数

.

由

𝑔(2)=4

，

𝑓(0)+𝑔(2)=5

，得

𝑓(0)=1.

由

𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥−4)=7

，得

𝑔(2−𝑥)=

𝑓(−𝑥−2)+7

，

代入

𝑓(𝑥)+𝑔(2−𝑥)=5

，得

𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥−2)=−2

，

𝑓(𝑥)

关于点

(−1,−1)

中

心对称，所以

𝑓(1)=𝑓(−1)=−1.

由

𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥−2)=−2

，

𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)

，得

𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥+

2)=−2

，所

以

𝑓(𝑥+2)+𝑓(𝑥+4)=−2

，故

𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥)

，

𝑓(𝑥)

周期为

4.

由

𝑓(0)+

𝑓(2)=−2

，得

𝑓(2)=−3

，又

𝑓(3)=𝑓(−1)=𝑓(1)=−1

，所以

∑

𝑓22

𝑘=1

(𝑘)=6𝑓(1)+6𝑓(2)+

5𝑓(3)+5𝑓(4)=

11×(−1)+5×1+6×(−3)=−24

．

13.【答案】

3

10

第11页，共17页

【解析】

【分析】

本题考查了古典概型及其计算，属于基础题．

【解答】

解：设“甲、乙都入选”为事件

𝐴

，则

𝑃(𝐴)=

𝐶

3

1

𝐶

5

3

=3

10

．

14.【答案】(𝑥−2)2+(𝑦−3)2=13或(𝑥−2)2+(𝑦−1)2=5或

(𝑥−4

3

)2+(𝑦−7

3

)2=

65

9

或

(𝑥−

8

5

)2+

(

𝑦−1

)2=169

25

【解析】

【分析】

本题主要考查求圆的标准方程，属于基础题．

圆过其中三点共有四种情况，解题关键是三点中的两条中垂线的交点为圆心，圆心到任

一点的距离为半径，每种情况逐一求解即可．

【解答】

解：设点

𝐴(0,0)

，

𝐵(4,0)

，

𝐶(−1,1)

，

𝐷(4,2)

．

(1)

若圆过

𝐴

、

𝐵

、

𝐶

三圆圆心在直线

𝑥=2

，设圆心坐标为

(2,𝑎)

，

则4+𝑎

2=9+(𝑎−1)2⇒𝑎=3，

𝑟=

√4

+𝑎2=

√

13

，所以圆的方程为(𝑥−2)2+

(𝑦−3)2=13;

(2)

若圆过

𝐴

、

𝐵

、

𝐷

三点，同

(1)

设圆心坐标为

(2,𝑎)

，

则4+𝑎

2=4+(𝑎−2)2⇒𝑎=1，

𝑟=

√4

+𝑎2=

√

5

，所以圆的方程为(𝑥−2)2+

(𝑦−1)2=5;

(3)

若圆过

𝐴

、

𝐶

、

𝐷

三点，则线段

𝐴𝐶

的中垂线方程为

𝑦=𝑥+1

，线段

𝐴𝐷

的

中垂线方程

为

𝑦=−2𝑥+5

，联立得

{

𝑥=4

3

𝑦=7

3

⇒𝑟=

√16

9

+49

9

=√

65

3

，所以圆的方程为

(𝑥−

4

3

)2+

(𝑦−7

3

)2=65

9

;

(4)

若圆过

𝐵

、

𝐶

、

𝐷

三点，则线段

𝐵𝐷

的中垂线方程为

𝑦=1

，

线段

𝐵𝐶

中垂线方程为

𝑦=5𝑥−7

，联立得

{

𝑥=8

5

𝑦=1

⇒𝑟=

√

(8

5

−4)

2

+1=13

5

,

所以圆的方程

(𝑥−

8

5

)+(𝑦−1)2=169

25

．

第12页，共17页

15.【答案】

3

【解析】

【分析】

本题考查由余弦函数值求参．

【解答】

解：

𝑓(𝑇)=𝑓(0)=cos𝜑=

√

3

2

，且

0<𝜑<𝜋

，故

𝜑=

𝜋

6

，

𝑓(𝜋

9

)=cos(𝜋

9

𝜔+𝜋

6

)=0⇒𝜋

9

𝜔+𝜋

6

=𝜋

2

+𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)⇒𝜔=3+9𝑘(𝑘∈𝑍)

，

又

𝜔>0

，故

𝜔

的最小值为

3

．

16.【答案】(

1

𝑒

,1)

【解析】

【分析】

本题考查利用导数的极值求解参数，考查转化能力与运算求解能力，属于较难题．

求导，转化为

𝑓′(𝑥)=2(𝑎

𝑥ln𝑎−𝑒𝑥)

至少要有两个零点

𝑥=𝑥

1

和

𝑥=𝑥

2

，构造函数

ℎ

(

𝑥

)

=𝑓′

(

𝑥

)

，分类讨论，判断单调性，进而求解范围．

【解答】

解：

𝑓′(𝑥)=2(𝑎

𝑥ln𝑎−𝑒𝑥)

至少要有两个零点

𝑥=𝑥

1

和

𝑥=𝑥

2

，

构造函数

ℎ

(

𝑥

)

=𝑓′

(

𝑥

)

=2(𝑎

𝑥ln𝑎−𝑒𝑥)

，对其求导，ℎ′

(

𝑥

)

=2𝑎𝑥(

ln𝑎

)2−2𝑒，

(1)

若

𝑎>1

，则

ℎ′

(

𝑥

)

在

𝑅

上单调递增，此时若

ℎ′(𝑥

0

)=0

，则

𝑓′(𝑥)

在

(−∞,𝑥

0

)

上单调递减，

在

(𝑥

0

,+∞)

上单调递增，此时若有

𝑥=𝑥

1

和

𝑥=𝑥

2

分别是函数

𝑓(𝑥)=2𝑎𝑥−

𝑒𝑥2(𝑎>0且

𝑎≠1)

的极小值点和极大值点，则

𝑥

1

>𝑥

2

，不符合题意，

(2)

若

0<𝑎<1

，则

ℎ′

(

𝑥

)

在

𝑅

上单调递减，此时若

ℎ′(𝑥

0

)=0

，则

𝑓′(𝑥)

在

(−∞,𝑥

0

)

上单调递增，在

(𝑥

0

,+∞)

上单调递减，令

ℎ′(𝑥

0

)=0

，则

𝑥

0

=𝑒

(ln𝑎)2

，此

时若有

𝑥=𝑥

1

和

𝑥=𝑥

2

分别是函数𝑓(𝑥)=2𝑎𝑥−𝑒𝑥2(𝑎>0且

𝑎≠1)

的极小值

点和极大值点，且

𝑥

1

<𝑥

2

，则需满足

𝑓′(𝑥

0

)>0

，即

𝑓′

(

𝑥

0

)

=2(2

(

𝑎𝑥

0ln𝑎−𝑒𝑥

0

)

=2

(𝑒

ln𝑎

−𝑒𝑥

0

)

>0,𝑥

0

<1

ln𝑎

,𝑥

0

ln𝑎>1,

故

ln𝑎𝑥

0=𝑥

0

ln𝑎=ln𝑒

(

ln𝑎

)2

>1

，所以

𝑎∈

(

1

𝑒

,1)

．

第13页，共17页

17.【答案】解：

(1)

证明：已知

sin𝐶sin(𝐴−𝐵)=sin𝐵sin(𝐶−𝐴)

可化简为

sin𝐶sin𝐴cos𝐵−sin𝐶cos𝐴sin𝐵=sin𝐵sin𝐶cos𝐴−sin𝐵cos𝐶sin𝐴

，

由正弦定理可得

𝑎𝑐cos𝐵−𝑏𝑐cos𝐴=𝑏𝑐cos𝐴−𝑎𝑏cos𝐶

，即

𝑎𝑐cos𝐵=2𝑏𝑐cos𝐴−𝑎𝑏cos𝐶

，

由余弦定理可得

𝑎𝑐

𝑎2+𝑐2−𝑏2

2𝑎𝑐

=2𝑏𝑐𝑏2+𝑐2−𝑎2

2𝑏𝑐

−𝑎𝑏𝑎2+𝑏2−𝑐2

2𝑎𝑏

，即证2𝑎

2=𝑏2+𝑐2

，

(2)

由

(1)

可知𝑏2+𝑐2=2𝑎2=50，

cos𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎2

2𝑏𝑐

=50−25

2𝑏𝑐

=25

2𝑏𝑐

=25

31

，

∴2𝑏𝑐=31

，∵𝑏2+𝑐2+2𝑏𝑐=(𝑏+𝑐)2=81，

∴𝑏+𝑐=9

，

∴𝑎+𝑏+𝑐=14

，

∴𝛥𝐴𝐵𝐶

的周长为

14

．

【解析】本题考查正余弦定理，属中档题目．

(1)

利用正弦定理角化边，再利用余弦定理角化边，化简得证；

(2)

由余弦定理求出

𝑎+𝑏

即可得出三角形的周长．

18.【答案】解：

(1)∵𝐴𝐷=𝐶𝐷

，

∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐵𝐷𝐶

且

𝐵𝐷

为公共边

∴△𝐴𝐷𝐵

与

△𝐵𝐷𝐶

全等，

∴𝐴𝐵=𝐵𝐶

．

又

∵𝐸

为

𝐴𝐶

中点且

𝐴𝐷=𝐶𝐷

，

∴𝐷𝐸⊥𝐴𝐶

，同理

𝐵𝐸⊥𝐴𝐶

．

又

∵𝐷𝐸∩𝐵𝐸=𝐸

，且均含于平面

𝐵𝐸𝐷

，

∴𝐴𝐶⊥

平面

𝐵𝐸𝐷

．

又

∵𝐴𝐶⊂

平面

𝐴𝐶𝐷

，

∴

平面

𝐵𝐸𝐷⊥

平面

𝐴𝐶𝐷

．

(2)

在

𝛥𝐴𝐵𝐶

中，

𝐴𝐵=2

，∠𝐴𝐶𝐵=600

，

𝐴𝐵=𝐵𝐶∴𝐴𝐶=2

，

𝐵𝐸=

√

3

．

在

△𝐴𝐶𝐷

中，，

𝐴𝐷⊥𝐶𝐷

，

𝐴𝐷=𝐶𝐷

，

𝐴𝐶=2

，

𝐸

为

𝐴𝐶

中点，

∴𝐷𝐸⊥𝐴𝐶

，

𝐷𝐸=1

．

又

∵𝐵𝐷=2

，∴𝐷𝐸

2+𝐵𝐸2=𝐵𝐷2

，即

𝐷𝐸⊥𝐵𝐸

．

∴

直线

𝐴𝐶

、直线

𝐸𝐷

、直线

𝐸𝐵

两两互相垂直．

由点

𝐹

在

𝐵𝐷

上且

△𝐴𝐷𝐵

与

△𝐵𝐷𝐶

全等，

∴𝐴𝐹=𝐹𝐶

，

由于

𝐸

为

𝐴𝐶

中点

∴𝐸𝐹⊥𝐴𝐶

当

𝛥𝐴𝐹𝐶

的面积最小时

∴𝐸𝐹⊥𝐵𝐷

在

𝑅𝑡𝛥𝐷𝐸𝐵

中，

∵𝐵𝐸=

√

3

，

𝐷𝐸=1∴𝐸𝐹=

√

3

2

，

𝐵𝐹=

3

2

如图，以点

𝐸

为坐标原点，直线

𝐴𝐶

、

𝐸𝐵

、

𝐸𝐷

分别为

𝑥

、

𝑦

、

𝑧

轴建立空间直角坐标系．

𝐶(−1,0,0)

、

𝐴(1,0,0)

、

𝐵(0,

√

3,0)

、

𝐷(0,0,1)

、

𝐹(0,√

3

4

,3

4

)

𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=(0,−

√

3,1)

、

𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=(−1,0,1)

、

𝐵𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗

=(−1,−

√

3,0)

∵𝐶𝐹

⃗⃗⃗⃗⃗

=𝐵𝐹

⃗⃗⃗⃗⃗

−𝐵𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗

=

3

4

𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

−𝐵𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗

=(1,

√

3

4

,

3

4

)

设平面

𝐴𝐵𝐷

的法向量为

𝑚⃗⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)

可得

{

𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⋅𝑚⃗⃗⃗=0

𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⋅𝑚⃗⃗⃗=0

设

𝑦=1∴𝑚⃗⃗⃗=(

√

3,1,

√

3)

第14页，共17页

设

𝑚⃗⃗⃗

与

𝐶𝐹

⃗⃗⃗⃗⃗

所成的角为

𝛼

，

𝐶𝐹

与平面

𝐴𝐵𝐷

所成角的为

𝜃

∴sin𝜃=|cos𝛼|=|

𝑚⃗⃗⃗·𝐶𝐹

⃗⃗⃗⃗⃗

|

𝑚⃗⃗⃗

|

·|𝐶𝐹

⃗⃗⃗⃗⃗

|

|=

4

√

3

7

所以

𝐶𝐹

与平面

𝐴𝐵𝐷

所成角的正弦值为

4

√

3

7

．

【解析】本题考查面面垂直的判定，及线面角的求解，属于中档题．

19.【答案】解：

(1)

设这种树木平均一课的根部横截面积为

𝑥

，平均一个的材积量为

𝑦

，

则

𝑥=

0.6

10

=0.06

，

𝑦=3.9

10

=0.39

．

(2)𝑟=

∑

𝑥

𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑦

𝑖

−𝑛𝑥 𝑦

√(∑

𝑥

𝑖

2

𝑛

𝑖=1

−𝑛𝑥

2

)(∑

𝑦

𝑖

2

𝑛

𝑖=1

−𝑛𝑦

2

)

=0.2474−10×0.06×0.39

√0.038−10×0.062√1.6158−10×039)2

=0.0134

√

0.002×0.0948

=

0.0134

0.01×

√

1.896

=0.0134

0.01377

=0.97

；

(3)

设从根部面积总和为

𝑋

，总材积量为

𝑌

，则

𝑋

𝑌

=𝑥

𝑦

，故

𝑌=

3.9

0.6

×186=1209(𝑚3).

【解析】本题考查了用样本估计总体，样本的相关系数，属于中档题．

20.【答案】解：

(1)

设

𝐸

的方程为

𝑥2

𝑎2

+𝑦2

𝑏2

=1

，将

𝐴(0,−2)

，

𝐵(3

2

,−1)

两点代入得

{

4

𝑏2

=1

9

4𝑎2

+1

𝑏2

=1

，解得𝑎

2=3，𝑏2=4，故

E

的方程为𝑥2

3

+𝑦2

4

=1

．

(2)

由

𝐴(0,−2)

，

𝐵(3

2

,−1)

可得直线

𝐴𝐵:𝑦=2

3

𝑥−2

 ①

若过

𝑃(1,−2)

的直线的斜率不存在，直线为

𝑥=1.

代入𝑥2

3

+𝑦2

4

=1

，可得

𝑀(1,2

√

6

3

)

，

𝑁(1,−2

√

6

3

)

，将

𝑦=2

√

6

3

代入

𝐴𝐵:𝑦=

2

3

𝑥−2

，可得

𝑇(

√

6+3,2

√

6

3

)

，由

𝑀𝑇

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=𝑇𝐻

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

，

得

𝐻(2

√

6+5,

2

√

6

3

).

易求得此时直线

𝐻𝑁:𝑦=(2−2

√

6

3

)𝑥−2.

过点

(0,−2)

；

 ②

若过

𝑃(1,−2)

的直线的斜率存在，设

𝑘𝑥−𝑦−(𝑘+2)=0

，

𝑀(𝑥

1

,𝑦

1

)

，

𝑁(𝑥

2

,𝑦

2

)

。

联立

{

𝑘𝑥−𝑦−(𝑘+2)=0

𝑥2

3

+𝑦2

4

=1

，得(3𝑘

2+4)𝑥2−6𝑘(2+𝑘)𝑥+3𝑘(𝑘+4)=0，

第15页，共17页

故有

{

𝑥

1

+𝑥

2

=6𝑘(2+𝑘)

3𝑘2+4

𝑥

1

𝑥

2

=3𝑘(4+𝑘)

3𝑘2+4

,{

𝑦

1

+𝑦

2

=−8(2+𝑘)

3𝑘2+4

𝑦

1

𝑦

2

=4(4+4𝑘−2𝑘2)

3𝑘2+4

，且

𝑥

1

𝑦

2

+𝑥

2

𝑦

1

=−24𝑘

3𝑘2+4

(∗)

联立

{

𝑦=𝑦

1

𝑦=2

3

𝑥−2

，可得

𝑇(

3𝑦

1

2

+3,𝑦

1

)

，

𝐻(3𝑦

1

+6−𝑥

1

,𝑦

1

)

，

可求得此时

𝐻𝑁:𝑦−𝑦

2

=𝑦

1

−𝑦

2

3𝑦

1

+6−𝑥

1

−𝑥

2

(𝑥−𝑥

2

)

将

(0,−2)

代入整理得

2(𝑥

1

+𝑥

2

)−6(𝑦

1

+𝑦

2

)+𝑥

1

𝑦

2

+𝑥

2

𝑦

1

−3𝑦

1

𝑦

2

−12=0

将

(∗)

式代入，得24𝑘+12𝑘

2+96+48𝑘−24𝑘−48−48𝑘+24𝑘2−36𝑘2−48=0，

显然成立．

综上，可得直线

𝐻𝑁

过定点

(0,−2)

．

【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．

(1)

根据点在椭圆上，坐标满足椭圆方程，求出椭圆的标准方程；

(2)

分类讨论过点

𝑃

的直线斜率是否存在，再根据题干依次表示出

𝑇

，

𝑁

坐标，表示出直

线

𝐻𝑁

方程，判断直线过定点即可．

21.【答案】解：

(1)

当

𝑎=1

时，

𝑓′(𝑥)=

1

𝑥+1

+

(

1−𝑥

)

𝑒−𝑥

，

𝑥=0

，

𝑓′(𝑥)=2

，又

𝑥=0

时，

𝑓(0)=0

，

所以曲线

𝑓(𝑥)

在点

(0,𝑓(0))

处的切线方程为

𝑦−0=2(𝑥−0)

，即

𝑦=2𝑥

．

(2)

令

𝑔(𝑥)=𝑒𝑥ln(𝑥+1)+𝑎𝑥(𝑥>−1)=𝑒𝑥𝑓(𝑥)

，有

𝑔(0)=0

，

𝑓(𝑥)

在区间

(−1,0)

，

(0,+∞)

各恰有一个零点，也即

𝑔(𝑥)

在区间

(−1,0)

，

(0,+∞)

各恰有

一个零点，

则

𝑔′(𝑥)=𝑒

𝑥[ln(𝑥+1)+1

1+𝑥

]+𝑎

，

(

Ⅰ

)

若

𝑎≥−1

时，则

𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥[ln(𝑥+1)+1

1+𝑥

]+𝑎

令

𝜑

(

𝑥

)

=ln(𝑥+1)+

1

1+𝑥

，

𝜑′

(

𝑥

)

=𝑥

(

𝑥+1

)2

，

𝜑

(

𝑥

)

分别在

(−1,0)

和

(0,+∞)

单调递减和单

调递增，易知当

𝑥=0

时，

𝜑

(

𝑥

)

取得最小值

1

，

所以

𝑒

𝑥[ln(𝑥+1)+1

1+𝑥

]−1>𝑒𝑥−1

，

当

𝑥>0

时，

𝑒

𝑥−1>0

，于是

𝑔(𝑥)

在

(0,+∞)

递增，

𝑔(𝑥)>𝑔(0)=0

与

𝑔(𝑥)

在

(0,+∞)

上

有一个零点矛盾．

(

Ⅱ

)

若

𝑎<−1

时，令

𝐺(𝑥)=𝑔′(𝑥)

则

𝐺′(𝑥)=𝑒𝑥[ln(𝑥+1)+

2

1+𝑥

−

1

(1+𝑥)2

]=𝑒𝑥ℎ(𝑥)

ℎ′(𝑥)=

1

1+𝑥

−

2

(1+𝑥)2

+

2

(1+𝑥)3

=

𝑥2+1

(1+𝑥)3

>0

第16页，共17页

所以

ℎ(𝑥)

在

(−1,+∞)

递增，又

ℎ(−

1

2

)=−ln2<0

，

ℎ(0)=1

，

即

∃𝑥

0

∈(−1

2

,0)

，

ℎ(𝑥)=0

，且当

−1<𝑥<𝑥

0

时，

ℎ(𝑥)<0

，

𝑔′(𝑥)

单调递减

;

当

𝑥>𝑥

0

时，

ℎ(𝑥)>0

，

𝑔′(𝑥)

单调递增，

𝑔′(𝑥

0

)<𝑔′(0)=𝑎+1<0

，

𝑔′(−𝑎)=𝑒−𝑎+𝑎>1−𝑎+𝑎=1>0

∃𝑥

1

∈(−1,𝑥

0

)

，

𝑥

2

∈(0,−𝑎)

，

𝑔′(𝑥

1

)=𝑔′(𝑥

2

)=0

且

𝑔(𝑥)

在

(−1,𝑥

1

)

上递增，在

(𝑥

1

,𝑥

2

)

上递减，在

(𝑥

2

,+∞)

上递增．

又

𝑔(0)=0

，故

𝑔(𝑥

1

)>0

，

𝑔(𝑥

2

)<0

，于是

∃𝑥

3

∈(−1,0)

，

𝑥

4

∈(0,+∞)

，

𝑔(𝑥

3

)=𝑔(𝑥

4

)=0

综上，

𝑎<−1

．

【解析】本题考查利用导数求函数切线，利用导数证明函数零点．

22.【答案】解：

(1)

由

𝜌sin(𝜃+

𝜋

3

)+𝑚=0

可得，

𝜌(sin𝜃cos𝜋

3

+cos𝜃sin𝜋

3

)+𝑚=0

，

即

𝜌(

1

2

sin𝜃+√

3

2

cos𝜃)+𝑚=0

，1

2

𝑦+√

3

2

𝑥+𝑚=0

，

故

𝑙

的方程为：√

3𝑥+𝑦+2𝑚=0

．

(2)

由

𝑥=

√

3cos2𝑡

，得

𝑥=

√

3(1−2sin2𝑡)=

√

3

[1

−2

(𝑦

2

)

2

]

=

√

3−√

3

2

𝑦2

，

联立

{

𝑥=

√

3−√

3

2

𝑦2

√

3𝑥+𝑦+2𝑚=0

，3𝑦

2−2𝑦−4𝑚−6=0，

即3𝑦

2−2𝑦−6=4𝑚(−2≤𝑦≤2)，

−3≤4𝑚

√

3

≤6

，

即

−

19

3

≤4𝑚≤10

，

−19

12

≤𝑚≤5

2

，

故

𝑚

的范围是

−

19

12

≤𝑚≤5

2

．

【解析】本题考查极坐标，极坐标的直线方程，求解参数，属于中档题．

(1)

根据题意，求出直线方程；

(1)

求出

𝐶

的方程，联立求解参数范围．

23.【答案】解：

(1)

证明：因为

𝑎

，

𝑏

，

𝑐

为正数，

所以

𝑎3

2+𝑏3

2+𝑐3

2≥3

√

𝑎3

2𝑏3

2𝑐3

2

3

=3

√

𝑎𝑏𝑐

，

当且仅当𝑎=𝑏=𝑐=3−

2

3

时取等号，

所以

3

√

𝑎𝑏𝑐≤1

，即

𝑎𝑏𝑐≤

1

9

，得证．

第17页，共17页

(2)

要证

𝑎

𝑏+𝑐

+𝑏

𝑎+𝑐

+𝑐

𝑎+𝑏

≤1

2

√

𝑎𝑏𝑐

成立，

只需证𝑎

3

2√

𝑏𝑐

𝑏+𝑐

+𝑏

3

2√

𝑎𝑐

𝑎+𝑐

+𝑐

3

2√

𝑎𝑏

𝑎+𝑏

≤1

2

，

又因为

𝑏+𝑐≥2

√

𝑏𝑐

，

𝑎+𝑐≥2

√

𝑎𝑐

，

𝑎+𝑏≥2

√

𝑎𝑏

，当且仅当𝑎=𝑏=𝑐=3−

2

3

时，同

时取等，

所以𝑎

3

2√

𝑏𝑐

𝑏+𝑐

+𝑏

3

2√

𝑎𝑐

𝑎+𝑐

+𝑐

3

2√

𝑎𝑏

𝑎+𝑏

⩽𝑎

3

2√

𝑏𝑐

2

√

𝑏𝑐

+𝑏

3

2√

𝑎𝑐

2

√

𝑎𝑐

+𝑐

3

2√

𝑎𝑏

2

√

𝑎𝑏

=1

2

，得证

.

【解析】本题考查了不等式的证明，掌握均值不等式是关键，属于中档题．

(1)

由均值不等式即可证；

(2)

先对不等式进行转化，再由均值不等式进行放缩可证

.