有理数分类

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有理数的概念与分类

现在开始学习有理数及其运算，主要内容是有理数的有关概念.首先是借助生活中的实例引入负数，体会引入负数的

必要性和广泛的应用性．理解有理数的意义及分类，判断一个数是正数还是负数，运用正、负数表示生活中具有相反意

义的量．其次是通过与温度计的类比认识数轴，用数轴上的点表示有理数，借助数轴引入相反数的概念及互为相反数的

一对数在数轴上的位置关系，利用数轴比较有理数的大小．第三是借助数轴引入绝对值的概念及求一个数的绝对值，利

用绝对值比较两个负数的大小，通过应用题解决实际问题，体会绝对值的意义和作用.

重点知识归纳及讲解

1、正数和负数的概念

比0大的数叫做正数；在正数前面加上“－”号的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数.

为了突出数的符号，可以在正数前面加“＋”号，一般地“＋”号往往省略不写，但负数前面的“－”号不能省略.

对于正数和负数的概念，不能简单的理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数.

2、有理数的概念及分类

整数和分数统称为有理数：正数、负数和零也统称为有理数．整数包括正整数、零和负整数、分数包括正分数和负

分数；正数包括正整数和正分数；负数包括负整数和负分数．

到目前为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、零、负整数、负分数，因为有限小数和无限循环小数可

以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数．有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的分数，

但本章中的分数是指不包括分母是1的分数.

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通常把正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统

称为非正整数.

3、数轴的概念及画法

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

数轴的概念中包含有三层含义：一是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二是说数轴具有原点，正方向和单

位长度三要素，三者缺一不可；三是说数轴原点的选定，正方向的取向、单位长度大小的确定，是根据实际需要规定的.

画数轴的步骤：

（1）画一条直线，一般画成水平的直线；

（2）在直线上选取一点为原点，用实心点表示，在原点下边标上0；

（3）用箭头表示正方向，一般规定向右为正；

（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出，并在下边标上对应的数.

4、相反数的概念

如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数

是0.

在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等，这就是相反数的几何意义.

一般地，数a的相反数是－a，这里a表示任意一个数，可以是正数、负数或零，还可以代表任意一个代数式，表

示或求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上一个“－”号就可以了.

相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数；不能理解为只要符号不同的两个数就互为相

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反数，只有符号不同的两个数是说除了符号不同以外完全相同.

5、绝对值的概念

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，数a的绝对值记作“|a|”.

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，这就是绝对值的代数意义，也可表示为：

6、绝对值的有关性质

（1）对任意有理数a，都有|a|≥0；

（2）若|a|=0，则a=0；

（3）若|a|=|b|，则a=b或a=－b；

（4）若|a|=b（b>0），则a=±b；

（5）若|a|＋|b|=0，则a=0且b=0；

（6）对任意有理数a，都有|a|=|－a|.

7、有理数大小的比较法则

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；

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两个负数，绝对值大的反而小.

三、难点知识剖析

1、负数的产生及其意义

随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，为了满足实际需要，引入了负数，负数

是由于实际需要产生的，负数也是客观存在的数.

正数和负数通常表示具有相反意义的量，若正数表示某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量，反之亦然.

2、数集的概念

把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集．所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似地，所有整数

组成的数集叫做整数集，所有正数组成的数集叫做正数集，所有负数组成的数集叫做负数集，等等.

3、多重符号的化简规律

单独一个有理数前面的“＋”号和“－”号，一般都是性质符号，读作“正”号或“负”号.

括号前是“＋”号时，去掉括号和“＋”号后，括号内的数不变，括号前是“－”号时，去掉括号和“－”号后，

括号内的数就变成它的相反数.

在一个数的前面添加一个“＋”号，仍然与原数相同；在一个数的前面添加一个“－”号，就成为原数的相反数.

4、两个负有理数的大小比较

两个负有理数的大小比较与其它数一样，可以利用数轴找准两个负有理数在数轴上的对应点，右边的数总比左边的

数大.

两个负有理数的大小比较，还可以利用绝对值，求这两个数的绝对值，比较两个数绝对值的大小，绝对值大的反而

小.

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5、有关绝对值的计算及化简

灵活正确运用绝对值的代数意义及有关性质.

四、典型例题解析

例1、一个物体沿着南北两个相反方向运动，如果把向南的方向规定为正，那么走6km，走－4.5km，走0km的意义各

是什么？

例2、某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：＋10、－5、0、＋8、－3，又知记为0的实际成绩表示90分，正数表

示超过90分，则这五位同学的平均成绩为多少分？

例3、如图所示的数轴上，A、B、C、D、E各点分别表示什么数？

例4、在数轴上画出表示下列各数的点，并用“<”连接起来；

例5、化简下列各数的符号：

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例6、利用绝对值比较下列有理数的大小.

（1）－0.6，－60（2）

例7、已知|a|=5，求a.

例8、已知|a＋2|＋|b－3|=0，求a和b的值.

例9、已知有理数a、b、c如图所示，试比较a，－a，b，－b，c，－c，0的大小，并用符号“<”连接起来.

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1、“甲比乙大－3岁”表示的意义是（）

A．甲比乙小3岁B．甲比乙大3岁C．乙比甲大－3岁D．乙比甲小3岁

2、正整数集合与负整数集合合并在一起组成的集合是（）

A．整数集合B．有理数集合C．自然数集合D．以上说法都不对

3、下列说法中正确的个数有（）

（1）0是整数；（2）－1是负分数；（3）3.2不是正数；（4）自然数一定是正数；（5）负分数一定是负有理数.

A．1个B．2个C．3个D．4个

4、文具店、书店和玩具店依次坐落在一条南北走向的大街上，文具店在书店北边20m处，玩具店位于书店南边100m处，

小明从书店沿街向南走了40m，接着又向南走了－60m，则此时小明的位置在（）

A．玩具店B．文具店C．文具店北边40mD．玩具店南边－60m

5、下列各对数中，互为相反数的有（）

（1）（－1）与＋（－1）；（2）＋（＋1）与－1；（3）－（－2）与＋（－2）；

（4）－（－）与＋（＋）；（5）＋[－（＋1）]与－[＋（－1）]；（6）－（＋2）与－（－2）.

A．6对B．5对C．4对D．3对

6、一个数的相反数小于它本身，这个数是（）

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A．任意有理数B．零C．负有理数D．正有理数

7、绝对值等于4的数是（）

A．4B．－4C．±4D．以上都不对

8、绝对值大于2而小于5的所有正整数之和为（）

A．7B．8C．9D．10

9、下列各式中，正确的是（）

A．－|－16|>0B．|0.2|>|－0.2|C．D．|－6|<0

10、若有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，则下列结论中正确的是（）

A．a>bB．|a||b|D．a>|b|

11、下列各数：－2，5，－，0.63，0，8，－0.05，－6，9，，1，其中正数有____________个，负数有____________

个，正分数有____________个，负分数有____________个，自然数有____________个，整数有____________个.

12、如果将点B向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，这时点B表示的数是0，那么点B原来表示的数是

____________.

13、在数轴上，点A表示的数是－2，点B表示的数是＋4，则线段AB的中点所表示的数是____________.

14、如果|a|＋|b|=5，且a=－1，则b=____________.

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【巩固练习】

1、课桌的高度比标准高度高2毫米记作＋2毫米，那么比标准高度低3毫米记作什么？现有5张课桌，量得它们的尺寸比

标准尺寸高＋1毫米，－1毫米，0毫米，＋3毫米，－1.5毫米，若规定课桌的高度比标准高度最高不超过2毫米，最低不

能少于2毫米就算合格，问上述5张课桌中有几张合格？

2、画出数轴，把下列各组数分别表示在数轴上，并按由小到大的顺序排列，用“<”连接起来．

（1）－1，0，－2，4，－4，1

（2）－1，－3，0，2，1，4，－5

3、化简下列各数的符号，并分别归纳符号化简规律

（1）－（＋7）；（2）－（－5）；（3）－[＋（－）]；

（4）－[－（－4）]；（5）＋{－[＋（－3）]}；（6）－{－[－（－1.5）]}.

4、比较下列各组数的大小：

4、若|a|=3，|b|=4，且a、b同号，求|a＋b|的值.

5、若|x－3|＋|y－2|=0，求x－y的值.