高中不等式公式

高中数学常用公式及常用结论

1。元素与集合的关系

U

xAxCA，

U

xCAxA。

2。德摩根公式

();()

UUUUUU

CABCACBCABCACB。

3。包含关系

ABAABB

UU

ABCBCA

U

ACB

U

CABR

4.容斥原理

()()cardABcardAcardBcardAB

()()cardABCcardAcardBcardCcardAB

()()()()cardABcardBCcardCAcardABC.

5．集合

12

{,,,}

n

aaa的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1

个；非空的真子集有2n–2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式2()(0)fxaxbxca；

（2)顶点式2()()(0)fxaxhka；

（3）零点式

12

()()()(0)fxaxxxxa。

7.解连不等式()NfxM常有以下转化形式

()NfxM[()][()]0fxMfxN

|()|

22

MNMN

fx





()

0

()

fxN

Mfx









11

()fxNMN





.

8。方程0)(xf在),(

21

kk上有且只有一个实根，与0)()(

21

kfkf不等价,前者是

后者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程)0(02acbxax有且只有一个实根

在),(

21

kk内，等价于0)()(

21

kfkf，或0)(

1

kf且

22

21

1

kk

a

b

k



，或0)(

2

kf

且

2

21

22

k

a

b

kk





.

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在

a

b

x

2



处及区

间的两端点处取得，具体如下：

（1）当a>0时,若qp

a

b

x,

2

，则



minmaxmax

()(),()(),()

2

b

fxffxfpfq

a

；

qp

a

b

x,

2

，

maxmax

()(),()fxfpfq，

minmin

()(),()fxfpfq.

（2)当a〈0时，若qp

a

b

x,

2

，则

min

()min(),()fxfpfq，若

qp

a

b

x,

2

，则

max

()max(),()fxfpfq，

min

()min(),()fxfpfq。

10.一元二次方程的实根分布

依据：若()()0fmfn,则方程0)(xf在区间(,)mn内至少有一个实根。

设qpxxxf

2

)(，则

(1）方程0)(xf在区间),(m内有根的充要条件为0)(mf或

240

2

pq

p

m















；

（2）方程0)(xf在区间(,)mn内有根的充要条件为()()0fmfn或2

()0

()0

40

2

fm

fn

pq

p

mn



























或

()0

()0

fm

afn











或

()0

()0

fn

afm











；

（3）方程0)(xf在区间(,)n内有根的充要条件为()0fm或

240

2

pq

p

m















.

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

（1)在给定区间),(的子区间

L

（形如,，,，,不同)上含参数

的二次不等式(,)0fxt(t为参数)恒成立的充要条件是

min

(,)0()fxtxL。

(2）在给定区间),(的子区间上含参数的二次不等式(,)0fxt(t为参数)恒成立

的充要条件是(,)0()

man

fxtxL.

(3)0)(24cbxaxxf恒成立的充要条件是

0

0

0

a

b

c

















或

2

0

40

a

bac











.

12。真值表

ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常见结论的否定形式

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有n个至多有(1n)个

小于不小于至多有n个至少有(1n）个

对所有x,

成立

存在某x，

不成立p

或

qp

且

q

对任何x，

不成立

存在某x，

成立p

且

qp

或

q

14。四种命题的相互关系

原命题互逆逆命题

若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ

互互

互为为互

否否

逆逆

否否

否命题逆否命题

若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ

15。充要条件

（1）充分条件：若pq，则

p

是

q

充分条件。

（2）必要条件：若qp，则

p

是

q

必要条件。

（3）充要条件：若pq，且qp，则

p

是

q

充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。

16.函数的单调性

（1）设

2121

,,xxbaxx那么



1212

()()()0xxfxfxbaxf

xx

xfxf

,)(0

)()(

21

21在





上是增函数；



1212

()()()0xxfxfxbaxf

xx

xfxf

,)(0

)()(

21

21在





上是减函数。

（2)设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(



xf,则)(xf为增函数;如果

0)(



xf，则)(xf为减函数。

17。如果函数)(xf和)(xg都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减

函数；如果函数)(ufy和)(xgu在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数

)]([xgfy是增函数。

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图

象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函

数是偶函数．

19.若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函

数，则)()(axfaxf.

20.对于函数)(xfy（Rx），)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴

是函数

2

ba

x



;两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线

2

ba

x



对

称。

21.若)()(axfxf,则函数)(xfy的图象关于点)0,

2

(

a

对称;若

)()(axfxf,则函数)(xfy为周期为

a2

的周期函数。

22．多项式函数1

10

()nn

nn

Pxaxaxa



的奇偶性

多项式函数()Px是奇函数()Px的偶次项(即奇数项）的系数全为零.

多项式函数()Px是偶函数()Px的奇次项(即偶数项）的系数全为零.

23。函数()yfx的图象的对称性

（1)函数()yfx的图象关于直线xa对称()()faxfax

(2)()faxfx。

(2）函数()yfx的图象关于直线

2

ab

x



对称()()famxfbmx

()()fabmxfmx.

24.两个函数图象的对称性

(1)函数()yfx与函数()yfx的图象关于直线

0x

（即

y

轴)对称。

（2）函数()yfmxa与函数()yfbmx的图象关于直线

2

ab

x

m



对称。

（3）函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x对称。

25。若将函数)(xfy的图象右移a、上移

b

个单位，得到函数baxfy)(的

图象;若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移

b

个单位，得到曲线0),(byaxf的

图象.

26．互为反函数的两个函数的关系

abfbaf)()(1。

27。若函数)(bkxfy存在反函数，则其反函数为])([

1

1bxf

k

y,并不是

)([1bkxfy,而函数)([1bkxfy是])([

1

bxf

k

y的反函数。

28。几个常见的函数方程

(1）正比例函数()fxcx，()()(),(1)fxyfxfyfc。

(2）指数函数()xfxa，()()(),(1)0fxyfxfyfa。

（3)对数函数()log

a

fxx,()()(),()1(0,1)fxyfxfyfaaa。

(4）幂函数()fxx,'()()(),(1)fxyfxfyf。

（5）余弦函数()cosfxx,正弦函数()singxx，()()()()()fxyfxfygxgy，

0

()

(0)1,lim1

x

gx

f

x

.

29.几个函数方程的周期（约定a>0)

（1))()(axfxf，则)(xf的周期T=a；

（2）0)()(axfxf，

或)0)((

)(

1

)(xf

xf

axf,

或

1

()

()

fxa

fx



(()0)fx,

或2

1

()()(),(()0,1)

2

fxfxfxafx,则)(xf的周期T=2a;

(3))0)((

)(

1

1)(



xf

axf

xf，则)(xf的周期T=3a；

（4)

)()(1

)()(

)(

21

21

21xfxf

xfxf

xxf





且

1212

()1(()()1,0||2)fafxfxxxa，则

)(xf的周期T=4a;

（5）()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa

()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa,则)(xf的周期T=5a;

（6）)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期T=6a.

30.分数指数幂

(1）

1m

n

n

m

a

a

（0,,amnN，且

1n

）.

（2）

1m

n

m

n

a

a

（0,,amnN，且

1n

）。

31．根式的性质

（1）()n

naa。

（2）当n为奇数时，n

naa;

当n为偶数时，

,0

||

,0

n

n

aa

aa

aa













。

32．有理指数幂的运算性质

（1)(0,,)rsrsaaaarsQ.

（2)()(0,,)rsrsaaarsQ.

（3）()(0,0,)rrrabababrQ。

注：若a＞0，p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性

质,对于无理数指数幂都适用。

33.指数式与对数式的互化式

logb

a

NbaN(0,1,0)aaN。

34。对数的换底公式

log

log

log

m

a

m

N

N

a

（0a,且1a，0m,且1m，0N）。

推论loglogm

n

a

a

n

bb

m

（0a,且1a,,0mn，且1m,1n,0N）。

35．对数的四则运算法则

若a＞0,a≠1，M＞0，N＞0，则

（1）log()loglog

aaa

MNMN;

(2）logloglog

aaa

M

MN

N

;

（3)loglog()n

aa

MnMnR。

36。设函数)0)((log)(2acbxaxxf

m

,记acb42。若)(xf的定义域为

R

，则

0a

，且

0

；若)(xf的值域为

R

,则

0a

,且

0

.对于

0a

的情形,需要单

独检验。

37.对数换底不等式及其推广

若0a，0b，0x,

1

x

a

，则函数log()

ax

ybx

（1)当ab时，在

1

(0,)

a

和

1

(,)

a

上log()

ax

ybx为增函数.

,

(2)当ab时,在

1

(0,)

a

和

1

(,)

a

上log()

ax

ybx为减函数。

推论：设1nm,0p，0a,且1a，则

（1)log()log

mpm

npn



。

（2）2logloglog

2aaa

mn

mn



。

38。平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为

p

，则对于时间x的总产值

y

，有

(1)xyNp.

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

1

1

,1

,2n

nn

sn

a

ssn















(数列{}

n

a的前n项的和为

12nn

saaa）.

40.等差数列的通项公式

*

11

(1)()

n

aanddnadnN；

其前n项和公式为

1

()

2

n

n

naa

s





1

(1)

2

nn

nad





2

1

1

()

22

d

nadn。

41。等比数列的通项公式

1*

1

1

()nn

n

a

aaqqnN

q

；

其前n项的和公式为

1

1

(1)

,1

1

,1

n

n

aq

q

s

q

naq





















或

1

1

,1

1

,1

n

n

aaq

q

q

s

naq





















.

42。等比差数列

n

a：

11

,(0)

nn

aqadabq



的通项公式为

1

(1),1

()

,1

1

nn

n

bndq

a

bqdbqd

q

q























；

其前n项和公式为

(1),(1)

1

(),(1)

111

n

n

nbnndq

s

dqd

bnq

qqq





















。

43。分期付款(按揭贷款)

每次还款

(1)

(1)1

n

n

abb

x

b







元（贷款a元，n次还清,每期利率为

b

).

44．常见三角不等式

（1）若(0,)

2

x



，则

sintanxxx

。

(2）若(0,)

2

x



,则1sincos2xx。

(3)|sin||cos|1xx.

45。同角三角函数的基本关系式

22sincos1，

tan=





cos

sin

，

tan1cot

。

46.正弦、余弦的诱导公式

2

1

2

(1)sin,

sin()

2

(1)s,

n

n

n

co



























(n为偶数)

(n为奇数)

(n为偶数)

(n为奇数)

2

1

2

(1)s,

s()

2

(1)sin,

n

n

co

n

co



























47.和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin；

tantan

tan()

1tantan









。

22sin()sin()sinsin(平方正弦公式);

22cos()cos()cossin。

sincosab

=22sin()ab(辅助角所在象限由点(,)ab的象限决定，

tan

b

a

）.

48。二倍角公式

sin22sincos

。

2222cos2cossin2cos112sin。

2

2tan

tan2

1tan











.

49.三倍角公式

3sin33sin4sin4sinsin()sin()

33



。

3cos34cos3cos4coscos()cos()

33



。

3

2

3tantan

tan3tantan()tan()

13tan33













。

50.三角函数的周期公式

函数sin()yx，x∈R及函数cos()yx，x∈R（A,ω，为常数，且A

≠0，ω＞0)的周期

2

T





;函数tan()yx,,

2

xkkZ



（A,ω,为常数,且A

≠0，ω＞0）的周期T





。

51.正弦定理

2

sinsinsin

abc

R

ABC

.

52。余弦定理

2222cosabcbcA；

2222cosbcacaB；

2222coscababC。

53。面积定理

（1）

111

222abc

Sahbhch（

abc

hhh、、分别表示a、b、c边上的高）。

（2）

111

sinsinsin

222

SabCbcAcaB。

(3)22

1

(||||)()

2OAB

SOAOBOAOB



.

54。三角形内角和定理

在△ABC中，有()ABCCAB

222

CAB



222()CAB。

55.简单的三角方程的通解

sin(1)arcsin(,||1)kxaxkakZa.

s2arccos(,||1)coxaxkakZa.

tanarctan(,)xaxkakZaR。

特别地，有

sinsin(1)()kkkZ。

scos2()cokkZ。

tantan()kkZ。

56。最简单的三角不等式及其解集

sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ.

sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ.

cos(||1)(2arccos,2arccos),xaaxkakakZ。

cos(||1)(2arccos,22arccos),xaaxkakakZ.

tan()(arctan,),

2

xaaRxkakkZ



.

tan()(,arctan),

2

xaaRxkkakZ



.

57。实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

(1)结合律：λ（μa）=(λμ)a;

(2)第一分配律:（λ+μ)a=λa+μa；

(3)第二分配律：λ(a+b）=λa+λb.

58。向量的数量积的运算律：

(1）a·b=b·a（交换律）;

（2）(

a)·b=（a·b)=

a·b=a·（b）；

(3)(a+b）·c=a·c+b·c.

59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且

只有一对实数λ

1

、λ2，使得a=λ

1

e

1

+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

60．向量平行的坐标表示

设a=

11

(,)xy，b=

22

(,)xy，且b0，则ab（b0）

1221

0xyxy.

53。a与b的数量积(或内积)

a·b=｜a｜|b|cosθ．

61。a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度｜a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

62.平面向量的坐标运算

（1)设a=

11

(,)xy，b=

22

(,)xy，则a+b=

1212

(,)xxyy。

(2)设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，则a—b=

1212

(,)xxyy。

（3）设A

11

(,)xy，B

22

(,)xy,则

2121

(,)ABOBOAxxyy。

（4)设a=(,),xyR,则a=(,)xy.

(5)设a=

11

(,)xy，b=

22

(,)xy，则a·b=

1212

()xxyy.

63。两向量的夹角公式

1212

2222

1122

cos

xxyy

xyxy









（a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy).

64.平面两点间的距离公式

,AB

d=

||ABABAB

22

2121

()()xxyy（A

11

(,)xy，B

22

(,)xy).

65.向量的平行与垂直

设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，且b0，则

A||bb=λa

1221

0xyxy.

a



b（a0）a·b=0

1212

0xxyy。

66。线段的定比分公式

设

111

(,)Pxy，

222

(,)Pxy，(,)Pxy是线段

12

PP的分点，是实数，且

12

PPPP，

则

12

12

1

1

xx

x

yy

y



































12

1

OPOP

OP













12

(1)OPtOPtOP(

1

1

t







）.

67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为

11

A(x,y)、

22

B(x,y)、

33

C(x,y)，则△ABC的重心的坐

标是123123(,)

33

xxxyyy

G



.

68.点的平移公式

''

''

xxhxxh

yykyyk

















''OPOPPP。

注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形'F上的对应点为'''(,)Pxy，且'PP的坐

标为(,)hk.

69。“按向量平移”的几个结论

（1）点(,)Pxy按向量a=(,)hk平移后得到点'(,)Pxhyk.

（2)函数()yfx的图象

C

按向量a=(,)hk平移后得到图象'C,则'C的函数解析式

为()yfxhk.

（3）图象'C按向量a=(,)hk平移后得到图象

C

，若

C

的解析式()yfx,则'C的函

数解析式为()yfxhk。

（4）曲线

C

:(,)0fxy按向量a=(,)hk平移后得到图象'C，则'C的方程为

(,)0fxhyk.

（5)向量m=(,)xy按向量a=(,)hk平移后得到的向量仍然为m=(,)xy。

70。三角形五“心"向量形式的充要条件

设

O

为ABC所在平面上一点，角,,ABC所对边长分别为,,abc，则

(1)

O

为

ABC

的外心222OAOBOC。

（2）O为ABC的重心0OAOBOC。

（3)

O

为

ABC

的垂心OAOBOBOCOCOA.

(4）

O

为

ABC

的内心0aOAbOBcOC.

（5）

O

为

ABC

的

A

的旁心aOAbOBcOC.

71.常用不等式：

（1）,abR222abab（当且仅当a＝b时取“=”号)．

(2）,abR

2

ab

ab



（当且仅当a＝b时取“="号)．

（3)3333(0,0,0).abcabcabc

（4）柯西不等式

22222()()(),,,,.abcdacbdabcdR

（5）bababa.

72.极值定理

已知

yx,

都是正数，则有

（1）若积

xy

是定值

p

，则当

yx

时和yx有最小值p2;

（2）若和yx是定值s,则当

yx

时积

xy

有最大值2

4

1

s.

推广已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(22

(1）若积

xy

是定值，则当||yx最大时,||yx最大；

当||yx最小时,||yx最小.

（2）若和||yx是定值，则当||yx最大时，||xy最小;

当||yx最小时，||xy最大。

73。一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac,如果a与

2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与2axbxc异号,则其解集在两根之间.

简言之：同号两根之外，异号两根之间。

121212

()()0()xxxxxxxxx；

121212

,()()0()xxxxxxxxxx或。

74.含有绝对值的不等式

当a〉0时，有

22xaxaaxa

。

22xaxaxa或xa.

75.无理不等式

（1)

()0

()()

()0

()()

fx

fxgx

gx

fxgx



















.

（2)

2

()0

()0

()()

()0

()0

()[()]

fx

fx

fxgx

gx

gx

fxgx



























或。

(3）

2

()0

()()

()0

()[()]

fx

fxgx

gx

fxgx



















.

76。指数不等式与对数不等式

(1)当

1a

时，

()()()()fxgxaafxgx;

()0

log()log()()0

()()

aa

fx

fxgxgx

fxgx

















.

(2）当

01a

时,

()()()()fxgxaafxgx；

()0

log()log()()0

()()

aa

fx

fxgxgx

fxgx

















77.斜率公式

21

21

yy

k

xx







（

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy）.

78。直线的五种方程

（1）点斜式

11

()yykxx(直线

l

过点

111

(,)Pxy,且斜率为

k

)．

（2)斜截式ykxb（b为直线

l

在y轴上的截距).

（3）两点式11

2121

yyxx

yyxx







(

12

yy）(

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy(

12

xx））.

（4）截距式1

xy

ab

(

ab、

分别为直线的横、纵截距，

0ab、

）

（5)一般式0AxByC(其中A、B不同时为0）。

79.两条直线的平行和垂直

（1）若

111

:lykxb，

222

:lykxb

①

121212

||,llkkbb；

②

1212

1llkk

。

(2）若

1111

:0lAxByC，

2222

:0lAxByC，且A

1

、A

2

、B

1

、B

2

都不为零，

①111

12

222

||

ABC

ll

ABC

；

②

121212

0llAABB

；

80。夹角公式

（1)21

21

tan||

1

kk

kk









。

(

111

:lykxb，

222

:lykxb，

12

1kk

)

（2）1221

1212

tan||

ABAB

AABB









。

(

1111

:0lAxByC,

2222

:0lAxByC,

1212

0AABB

)。

直线

12

ll时，直线l

1

与l2

的夹角是

2



。

81。

1

l到

2

l的角公式

（1）21

21

tan

1

kk

kk









。

(

111

:lykxb，

222

:lykxb，

12

1kk)

(2)1221

1212

tan

ABAB

AABB









.

（

1111

:0lAxByC，

2222

:0lAxByC，

1212

0AABB）。

直线

12

ll时,直线l

1

到l2

的角是

2



.

82．四种常用直线系方程

（1)定点直线系方程：经过定点

000

(,)Pxy的直线系方程为

00

()yykxx(除直线

0

xx),其中

k

是待定的系数;经过定点

000

(,)Pxy的直线系方程为

00

()()0AxxByy，其中,AB是待定的系数．

(2)共点直线系方程:经过两直线

1111

:0lAxByC，

2222

:0lAxByC的交点

的直线系方程为

111222

()()0AxByCAxByC（除

2

l)，其中λ是待定的系数．

（3）平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直

线系方程．与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(

0

),λ是参

变量．

（4)垂直直线系方程:与直线0AxByC（A≠0，B≠0）垂直的直线系方程

是0BxAy,λ是参变量．

83。点到直线的距离

00

22

||AxByC

d

AB







(点

00

(,)Pxy，直线

l

：0AxByC)。

84。0AxByC或0所表示的平面区域

设直线:0lAxByC，则0AxByC或0所表示的平面区域是:

若0B，当

B

与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当

B

与AxByC

异号时，表示直线l的下方的区域。简言之,同号在上,异号在下.

若0B，当

A

与AxByC同号时,表示直线l的右方的区域；当

A

与AxByC

异号时，表示直线l的左方的区域。简言之，同号在右，异号在左。

85。

111222

()()0AxByCAxByC或

0

所表示的平面区域

设曲线

111222

:()()0CAxByCAxByC（

1212

0AABB)，则

111222

()()0AxByCAxByC或

0

所表示的平面区域是:

111222

()()0AxByCAxByC所表示的平面区域上下两部分;

111222

()()0AxByCAxByC所表示的平面区域上下两部分.

86.圆的四种方程

(1）圆的标准方程222()()xaybr。

(2）圆的一般方程220xyDxEyF(224DEF＞0）。

（3）圆的参数方程

cos

sin

xar

ybr















。

（4）圆的直径式方程

1212

()()()()0xxxxyyyy（圆的直径的端点是

11

(,)Axy、

22

(,)Bxy)。

87。圆系方程

（1）过点

11

(,)Axy,

22

(,)Bxy的圆系方程是

1212112112

()()()()[()()()()]0xxxxyyyyxxyyyyxx

1212

()()()()()0xxxxyyyyaxbyc,其中0axbyc是直线

AB

的方程，λ是待定的系数．

(2）过直线

l

:0AxByC与圆

C

:220xyDxEyF的交点的圆系方程是

22()0xyDxEyFAxByC,λ是待定的系数．

(3）过圆

1

C：22

111

0xyDxEyF与圆

2

C：22

222

0xyDxEyF的

交点的圆系方程是2222

111222

()0xyDxEyFxyDxEyF，λ是待定的

系数．

88.点与圆的位置关系

点

00

(,)Pxy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种

若22

00

()()daxby

，则

dr

点

P

在圆外；

dr

点

P

在圆上；

dr

点

P

在圆内。

89。直线与圆的位置关系

直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种：

0相离rd；

0相切rd;

0相交rd.

其中

22BA

CBbAa

d





.

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O

1

,O

2

,半径分别为r

1

，r

2

，dOO

21

条公切线外离4

21

rrd；

条公切线外切3

21

rrd；

条公切线相交2

2121

rrdrr;

条公切线内切1

21

rrd；

无公切线内含

21

0rrd.

91.圆的切线方程

(1)已知圆220xyDxEyF．

①若已知切点

00

(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是

00

00

()()

0

22

DxxEyy

xxyyF



.

当

00

(,)xy圆外时，00

00

()()

0

22

DxxEyy

xxyyF



表示过两个切点

的切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为

00

()yykxx，再利用相切条件求k，这时必

有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．

（2）已知圆222xyr．

①过圆上的

000

(,)Pxy点的切线方程为2

00

xxyyr;

②斜率为

k

的圆的切线方程为21ykxrk。

92.椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的参数方程是

cos

sin

xa

yb















.

93。椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

焦半径公式

)(

2

1c

a

xePF，)(

2

2

x

c

a

ePF。

94．椭圆的的内外部

（1)点

00

(,)Pxy在椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的内部

22

00

22

1

xy

ab

。

（2）点

00

(,)Pxy在椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的外部

22

00

22

1

xy

ab

.

95.椭圆的切线方程

（1）椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

上一点

00

(,)Pxy处的切线方程是00

22

1

xxyy

ab

.

（2)过椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

外一点

00

(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是

00

22

1

xxyy

ab

.

（3）椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

与直线0AxByC相切的条件是

22222AaBbc。

96。双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的焦半径公式

2

1

|()|

a

PFex

c

，

2

2

|()|

a

PFex

c

.

97.双曲线的内外部

(1）点

00

(,)Pxy在双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的内部

22

00

22

1

xy

ab

.

(2）点

00

(,)Pxy在双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的外部

22

00

22

1

xy

ab

.

98。双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1)若双曲线方程为1

2

2

2

2



b

y

a

x

渐近线方程：

22

22

0

xy

ab



x

a

b

y。

（2)若渐近线方程为x

a

b

y0

b

y

a

x

双曲线可设为

2

2

2

2

b

y

a

x

.

（3）若双曲线与1

2

2

2

2



b

y

a

x

有公共渐近线,可设为

2

2

2

2

b

y

a

x

（

0

，焦点在x

轴上，

0

，焦点在y轴上）.

99。双曲线的切线方程

（1）双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

上一点

00

(,)Pxy处的切线方程是00

22

1

xxyy

ab

.

（2）过双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

外一点

00

(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是

00

22

1

xxyy

ab

.

（3）双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

与直线0AxByC相切的条件是

22222AaBbc。

100.抛物线pxy22的焦半径公式

抛物线22(0)ypxp焦半径

02

p

CFx。

过焦点弦长pxx

p

x

p

xCD

212122

。

101.抛物线pxy22上的动点可设为P),

2

(

2



y

p

y

或或)2,2(2ptptPP(,)xy，其中

22ypx。

102.二次函数

2

22

4

()

24

bacb

yaxbxcax

aa





(0)a的图象是抛物线:（1）顶

点坐标为

24

(,)

24

bacb

aa



;(2）焦点的坐标为

241

(,)

24

bacb

aa



；(3)准线方程是

241

4

acb

y

a



.

103。抛物线的内外部

(1)点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的内部22(0)ypxp.

点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的外部22(0)ypxp.

(2)点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的内部22(0)ypxp。

点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的外部22(0)ypxp。

(3）点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的内部22(0)xpyp。

点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的外部22(0)xpyp。

(4)点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的内部22(0)xpyp.

点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的外部22(0)xpyp.

104.抛物线的切线方程

(1）抛物线pxy22上一点

00

(,)Pxy处的切线方程是

00

()yypxx.

（2)过抛物线pxy22外一点

00

(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是

00

()yypxx.

(3）抛物线22(0)ypxp与直线0AxByC相切的条件是22pBAC。

105.两个常见的曲线系方程

（1)过曲线

1

(,)0fxy,

2

(,)0fxy的交点的曲线系方程是

12

(,)(,)0fxyfxy(为参数）.

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程

22

22

1

xy

akbk





，其中22max{,}kab。当

22min{,}kab时,表示椭圆;当2222min{,}max{,}abkab时，表示双曲线.

106。直线与圆锥曲线相交的弦长公式22

1212

()()ABxxyy或

2222

211212

(1)()||1tan||1tABkxxxxyyco(弦端点

A),(),,(

2211

yxByx，由方程











0)y,x(F

bkxy

消去y得到02cbxax，

0

，为直

线

AB

的倾斜角，

k

为直线的斜率）。

107。圆锥曲线的两类对称问题

(1）曲线(,)0Fxy关于点

00

(,)Pxy成中心对称的曲线是

00

(2-,2)0Fxxyy。

（2）曲线(,)0Fxy关于直线0AxByC成轴对称的曲线是

2222

2()2()

(,)0

AAxByCBAxByC

Fxy

ABAB







.

108.“四线”一方程

对于一般的二次曲线220AxBxyCyDxEyF，用

0

xx代2x，用

0

yy代2y,

用00

2

xyxy

代xy，用0

2

xx

代x，用0

2

yy

代y即得方程

0000

00

0

222

xyxyxxyy

AxxBCyyDEF



，曲线的切线，切点弦，中点

弦，弦中点方程均是此方程得到.

109．证明直线与直线的平行的思考途径

（1)转化为判定共面二直线无交点；

（2)转化为二直线同与第三条直线平行；

（3）转化为线面平行；

（4）转化为线面垂直；

(5）转化为面面平行。

110．证明直线与平面的平行的思考途径

（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行;

（3）转化为面面平行.

111．证明平面与平面平行的思考途径

（1)转化为判定二平面无公共点;

(2）转化为线面平行;

（3）转化为线面垂直。

112．证明直线与直线的垂直的思考途径

（1)转化为相交垂直；

（2）转化为线面垂直；

(3）转化为线与另一线的射影垂直;

（4）转化为线与形成射影的斜线垂直。

113．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直;

（3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面;

（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

114．证明平面与平面的垂直的思考途径

(1）转化为判断二面角是直二面角；

(2）转化为线面垂直.

115。空间向量的加法与数乘向量运算的运算律

(1)加法交换律:a＋b=b＋a．

(2)加法结合律:（a＋b）＋c=a＋(b＋c)．

（3)数乘分配律:λ（a＋b)=λa＋λb．

116。平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广

始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的

以公共始点为始点的对角线所表示的向量。

117.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0）,a∥b存在实数λ使a=λb．

PAB、、

三点共线||APABAPtAB(1)OPtOAtOB。

||ABCDAB、CD共线且

ABCD、

不共线ABtCD且

ABCD、

不共线.

118。共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,xy,使paxby．

推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,xy，使

MPxMAyMB，

或对空间任一定点O，有序实数对

,xy

，使OPOMxMAyMB。

119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC

（xyzk)，则当

1k

时，对于空间任一点

O

,总有P、A、B、C四点共面；当

1k

时，若O平面ABC,则P、A、B、C四点共面；若O平面ABC，则P、A、B、C四点不

共面．

CAB、、、D

四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC

(1)ODxyOAxOByOC（

O

平面ABC）.

120.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，

y,z，使p＝xa＋yb＋zc．

推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序

实数x，y，z，使OPxOAyOBzOC。

121.射影公式

已知向量AB=a和轴

l

,e是

l

上与

l

同方向的单位向量。作A点在

l

上的射影'A，作B

点在

l

上的射影'B，则

''||cosABAB〈a，e〉=a·e

122.向量的直角坐标运算

设a＝

123

(,,)aaa，b＝

123

(,,)bbb则

(1）a＋b＝

112233

(,,)ababab；

（2)a－b＝

112233

(,,)ababab；

（3）λa＝

123

(,,)aaa(λ∈R)；

（4)a·b＝

112233

ababab;

123。设A

111

(,,)xyz，B

222

(,,)xyz,则

ABOBOA=

212121

(,,)xxyyzz.

124．空间的线线平行或垂直

设

111

(,,)axyz，

222

(,,)bxyz，则

ab(0)abb

12

12

12

xx

yy

zz























；

ab0ab

121212

0xxyyzz。

125.夹角公式

设a＝

123

(,,)aaa，b＝

123

(,,)bbb,则

cos〈a，b〉=112233

222222

123123

ababab

aaabbb





.

推论2222222

3

()()()abababaaabbb，此即三维柯西不等式。

126。四面体的对棱所成的角

四面体

ABCD

中,

AC

与

BD

所成的角为,则

2222|()()|

cos

2

ABCDBCDA

ACBD









.

127．异面直线所成角

cos|cos,|ab

=121212

222222

111222

||

||

||||

xxyyzz

ab

ab

xyzxyz











(其中（090）为异面直线ab,所成角，,ab分别表示异面直线ab,的方向向量）

128。直线

AB

与平面所成角

sin

||||

ABm

arc

ABm





（m为平面的法向量）。

129.若

ABC

所在平面若与过若

AB

的平面成的角，另两边

AC

，

BC

与平面

成的角分别是

1

、

2

，

AB、

为

ABC

的两个内角,则

22222

12

sinsin(sinsin)sinAB.

特别地,当90ACB时，有

222

12

sinsinsin。

130.若

ABC

所在平面若与过若

AB

的平面成的角,另两边

AC

，

BC

与平面

成的角分别是

1

、

2

，''AB、为

ABO

的两个内角，则

222'2'2

12

tantan(sinsin)tanAB。

特别地，当90AOB时,有

222

12

sinsinsin。

131.二面角l的平面角

cos

||||

mn

arc

mn





或cos

||||

mn

arc

mn





（m，n为平面,的法向量）.

132.三余弦定理

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为

1

，

AB与AC所成的角为

2

，AO与AC所成的角为．则

12

coscoscos.

133.三射线定理

若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是

1

，

2

,与二面

角的棱所成的角是θ，则有2222

1212

sinsinsinsin2sinsincos；

1212

||180()(当且仅当90时等号成立)。

134。空间两点间的距离公式

若A

111

(,,)xyz，B

222

(,,)xyz，则

,AB

d=

||ABABAB222

212121

()()()xxyyzz。

135.点Q到直线l距离

22

1

(||||)()

||

habab

a

（点

P

在直线

l

上，直线

l

的方向向量a=PA,向量

b=PQ).

136.异面直线间的距离

||

||

CDn

d

n



（

12

,ll是两异面直线，其公垂向量为n，

CD、

分别是

12

,ll上任一点，

d

为

12

,ll间的距离).

137.点

B

到平面的距离

||

||

ABn

d

n



(n为平面的法向量,

AB

是经过面的一条斜线，

A

）。

138.异面直线上两点距离公式

2222cosdhmnmn.

222'2cos,dhmnmnEAAF。

2222cosdhmnmn

（'EAAF）.

（两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段'AA的长度为h。在直线a、b上分别取

两点E、F，'AEm,

AFn

,

EFd

)。

139.三个向量和的平方公式

222

2()222abcabcabbcca

2222||||cos,2||||cos,2||||cos,abcababbcbccaca

140。长度为

l

的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为

123

lll、、,夹角分

别为

123

、、,则有

2222

123

llll222

123

coscoscos1222

123

sinsinsin2.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

141。面积射影定理

'

cos

S

S



.

(平面多边形及其射影的面积分别是S、'S，它们所在平面所成锐二面角的为).

142.斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l，侧面积和体积分别是S

斜棱柱侧

和V

斜棱柱

，它的直截面的周长

和面积分别是

1

c和

1

S，则

①

1

Scl

斜棱柱侧

.

②

1

VSl

斜棱柱

。

143．作截面的依据

三个平面两两相交,有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行。

144．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的

比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相似

多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比

等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．

145。欧拉定理(欧拉公式）

2VFE

(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F）.

（1）

E

=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与

棱数E的关系：

1

2

EnF；

(2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：

1

2

EmV.

146。球的半径是R,则

其体积3

4

3

VR，

其表面积24SR．

147。球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长。

（2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线

长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长。

（3）球与正四面体的组合体：

棱长为a的正四面体的内切球的半径为

6

12

a，外接球的半径为

6

4

a。

148．柱体、锥体的体积

1

3

VSh

柱体

(

S

是柱体的底面积、

h

是柱体的高）。

1

3

VSh

锥体

（S是锥体的底面积、h是锥体的高).

149.分类计数原理（加法原理）

12n

Nmmm。

150。分步计数原理（乘法原理)

12n

Nmmm.

151。排列数公式

m

n

A=)1()1(mnnn=

！

！

)(mn

n



。(n，m∈N*，且

mn

）．

注：规定1!0.

152.排列恒等式

(1）1(1)mm

nn

AnmA;

（2）

1

mm

nn

n

AA

nm





;

（3）1

1

mm

nn

AnA



;

(4)1

1

nnn

nnn

nAAA



；

（5)1

1

mmm

nnn

AAmA



。

(6）1!22!33!!(1)!1nnn.

153.组合数公式

m

n

C=

m

n

m

m

A

A

=

m

mnnn









21

)1()1(

=

！！

！

)(mnm

n



（n∈N＊，

mN

，且

mn

）。

154。组合数的两个性质

（1）m

n

C=mn

n

C;

（2)m

n

C+1m

n

C=m

n

C

1

。

注:规定10

n

C。

155.组合恒等式

（1）1

1

mm

nn

nm

CC

m





;

（2）

1

mm

nn

n

CC

nm





；

（3）1

1

mm

nn

n

CC

m





;

(4）



n

r

r

n

C

0

=n2;

（5）1

121





r

n

r

n

r

r

r

r

r

r

CCCCC.

（6)nn

n

r

nnnn

CCCCC2210.

（7）14205312n

nnnnnn

CCCCCC。

（8）1321232nn

nnnn

nnCCCC。

（9）r

nm

r

n

r

mn

r

mn

r

m

CCCCCCC



0110。

(10)n

n

n

nnnn

CCCCC

2

2222120)()()()(。

156.排列数与组合数的关系

mm

nn

AmC！。

157．单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.

（1）“在位”与“不在位"

①某(特)元必在某位有1

1





m

n

A种;②某（特）元不在某位有1

1





m

n

m

n

AA（补集思想）

1

1

1

1





m

nn

AA(着眼位置）1

1

1

11





m

nm

m

n

AAA（着眼元素）种。

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：)(nmkk个元在固定位的排列有km

kn

k

k

AA



种.

②浮动紧贴:n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有k

k

kn

kn

AA1

1





种.注：此类问题常

用捆绑法;

③插空:两组元素分别有k、h个（

1hk

）,把它们合在一起来作全排列,k个的一组

互不能挨近的所有排列数有k

h

h

h

AA

1

种.

（3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

当

1mn

时，无解；当

1mn

时，有n

m

n

n

n

mC

A

A

1

1



种排法。

（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为

n

nm

C



。

158．分配问题

(1）(平均分组有归属问题）将相异的m、n个物件等分给m个人,各得n件，其分配方

法数共有

m

n

n

n

n

n

nmn

n

nmn

n

mnn

mn

CCCCCN

)!(

)!(

22





.

（2）（平均分组无归属问题）将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其

分配方法数共有

m

n

n

n

n

n

nmn

n

nmn

n

mn

nm

mn

m

CCCCC

N

)!(!

)!(

!

...

22



.

（3)(非平均分组有归属问题)将相异的)

12m

P(P=n+n++n个物体分给m个人,物件必

须被分完，分别得到

1

n，

2

n，…，

m

n件，且

1

n,

2

n，…,

m

n这m个数彼此不相等，则其分配

方法数共有

!!...!

!!

!...

21

2

1

1

m

n

n

n

np

n

pnnn

mp

mCCCNm

m





.

（4）(非完全平均分组有归属问题）将相异的)

12m

P(P=n+n++n个物体分给m个人，

物件必须被分完,分别得到

1

n,

2

n，…，

m

n件，且

1

n，

2

n，…，

m

n这m个数中分别有a、b、

c、…个相等,则其分配方法数有

!...!!

!...2

1

1

cba

mCCC

Nm

m

n

n

n

np

n

p





12

!!

!!...!(!!!...)

m

pm

nnnabc

。

（5)（非平均分组无归属问题)将相异的)

12m

P(P=n+n++n个物体分为任意的

1

n，

2

n，…，

m

n件无记号的m堆，且

1

n，

2

n,…，

m

n这m个数彼此不相等,则其分配方法数有

!!...!

!

21m

nnn

p

N.

（6)（非完全平均分组无归属问题)将相异的)

12m

P(P=n+n++n个物体分为任意的

1

n，

2

n,…，

m

n件无记号的m堆，且

1

n，

2

n，…，

m

n这m个数中分别有a、b、c、…个相等，

则其分配方法数有

!...)!!(!!...!

!

21

cbannn

p

N

m

.

（7）(限定分组有归属问题）将相异的

p

（

2m

pnnn

1

+++）个物体分给甲、乙、

丙，……等m个人，物体必须被分完,如果指定甲得

1

n件，乙得

2

n件，丙得

3

n件,…时,则无论

1

n，

2

n，…，

m

n等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

!!...!

!

...

21

2

1

1

m

n

n

n

np

n

pnnn

p

CCCNm

m





.

159．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题：信n封信与n个信封全部错位的组合数为

1111

()![(1)]

2!3!4!!

nfnn

n

.

推广:n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为

1234(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!

(1)()!(1)()!

mmmm

ppmm

mm

fnmnCnCnCnCn

CnpCnm





1234

1224

![1(1)(1)]

pm

pm

mmmmmm

pm

nnnnnn

CCCCCC

n

AAAAAA

.

160．不定方程

2n

xxxm

1

+++的解的个数

（1）方程

2n

xxxm

1

+++（,nmN）的正整数解有

1

1

m

nC



个。

（2)方程

2n

xxxm

1

+++(,nmN)的非负整数解有

1

1

nm

nC



个。

（3）方程

2n

xxxm

1

+++（,nmN）满足条件

i

xk（kN，

21in

）

的非负整数解有

1

1

(2)(1)

m

n

nk

C







个.

（4）方程

2n

xxxm

1

+++(,nmN）满足条件

i

xk（kN，

21in

）

的正整数解有

12222321(2)

11121221(1)

nmnmnknmnknmnk

nnnnnnCCCCCCC



个.

161.二项式定理

nn

n

rrnr

n

n

n

n

n

n

n

nbCbaCbaCbaCaCba222110)(；

二项展开式的通项公式

rrnr

nr

baCT





1

)210(nr，，，。

162.等可能性事件的概率

()

m

PA

n

。

163。互斥事件A,B分别发生的概率的和

P(A＋B)=P（A)＋P（B）．

164.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A

1

＋A

2

＋…＋A

n

）=P（A

1

)＋P(A

2

）＋…＋P（A

n

）．

165.独立事件A，B同时发生的概率

P（A·B）=P（A）·P（B).

166.n个独立事件同时发生的概率

P(A

1

·A

2

·…·A

n

)=P（A

1

）·P(A

2

)·…·P(A

n

）．

167。n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

()(1).kknk

nn

PkCPP

168.离散型随机变量的分布列的两个性质

(1）0(1,2,)

i

Pi;

（2)

12

1PP。

169。数学期望

1122nn

ExPxPxP

170.数学期望的性质

（1)()()EabaEb。

(2）若～(,)Bnp，则Enp.

（3)若服从几何分布，且1()(,)kPkgkpqp，则

1

E

p

.

171.方差

222

1122nn

DxEpxEpxEp

172。标准差

=D.

173.方差的性质

（1）2DabaD；

(2)若～(,)Bnp，则(1)Dnpp。

（3）若服从几何分布，且1()(,)kPkgkpqp,则

2

q

D

p

.

174.方差与期望的关系

2

2DEE

。

175.正态分布密度函数





2

226

1

,,

26

x

fxex









,式中的实数μ,（〉0）是参数，分别表示个

体的平均数与标准差.

176。标准正态分布密度函数

2

2

1

,,

26

x

fxex



.

177。对于2(,)N,取值小于x的概率



x

Fx















。



12201

xxPxxPxxxP



21

FxFx

21

xx













.

178.回归直线方程

yabx，其中





11

2

22

11

nn

iiii

ii

nn

ii

ii

xxyyxynxy

b

xxxnx

aybx































。

179。相关系数



1

22

11

()()

n

ii

i

nn

ii

ii

xxyy

r

xxyy

















1

2222

11

()()

n

ii

i

nn

ii

ii

xxyy

xnxyny















.

|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r｜越接近于0，相关程度越小。

180.特殊数列的极限

(1)

0||1

lim11

||11

n

n

q

qq

qq



















不存在或

.

(2）

1

10

1

10

0()

lim()

()

kk

kkt

tt

n

ttk

kt

ananaa

kt

bnbnbb

kt



































不存在

.

（3）

1

1

1

lim

11

n

n

aq

a

S

qq







(S

无穷等比数列1

1

naq（||1q）的和).

181。函数的极限定理

0

lim()

xx

fxa





00

lim()lim()

xxxx

fxfxa



。

182.函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x

0

的附近满足：

（1)()()()gxfxhx;

(2)

00

lim(),lim()

xxxx

gxahxa



（常数),

则

0

lim()

xx

fxa



.

本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立。

183.几个常用极限

（1）

1

lim0

nn

，lim0n

n

a



（||1a）；

(2）

0

0

lim

xx

xx



，

0

0

11

lim

xxxx

.

184.两个重要的极限

（1）

0

sin

lim1

x

x

x

；

(2)

1

lim1

x

x

e

x









(e=2.718281845…）.

185。函数极限的四则运算法则

若

0

lim()

xx

fxa



，

0

lim()

xx

gxb



,则

(1)

0

lim

xx

fxgxab









；

(2)

0

lim

xx

fxgxab









;

（3)







0

lim0

xx

fx

a

b

gxb

。

186。数列极限的四则运算法则

若lim,lim

nn

nn

aabb





,则

（1）lim

nn

n

abab



；

（2)lim

nn

n

abab



;

(3)lim0n

n

n

a

a

b

bb



（4)limlimlim

nn

nnn

cacaca



(c是常数）。

187。)(xf在

0

x处的导数(或变化率或微商）

0

00

0

00

()()

()limlim

xx

xx

fxxfx

y

fxy

xx













。

188。瞬时速度

00

()()

()limlim

tt

ssttst

st

tt













.

189。瞬时加速度

00

()()

()limlim

tt

vvttvt

avt

tt









.

190。)(xf在),(ba的导数

()

dydf

fxy

dxdx





00

()()

limlim

xx

yfxxfx

xx







。

191.函数)(xfy在点

0

x处的导数的几何意义

函数)(xfy在点

0

x处的导数是曲线)(xfy在))(,(

00

xfxP处的切线的斜率

)(

0

xf



,相应的切线方程是))((

000

xxxfyy



.

192.几种常见函数的导数

(1)0



C（C为常数）.

(2)'1()()n

n

xnxnQ。

(3)xxcos)(sin



.

(4)xxsin)(cos



.

（5）

x

x

1

)(ln



；e

a

x

x

alog

1

)(log



.

（6)xxee



)(;aaaxxln)(



.

193.导数的运算法则

（1）'''()uvuv.

（2）'''()uvuvuv。

（3）

''

'

2

()(0)

uuvuv

v

vv



.

194.复合函数的求导法则

设函数()ux在点x处有导数''()

x

ux，函数)(ufy在点x处的对应点U处有

导数''()

u

yfu，则复合函数(())yfx在点x处有导数,且'''

xux

yyu,或写作

'''(())()()

x

fxfux.

195。常用的近似计算公式（当x充小时）

（1）xx

2

1

11;x

n

xn

1

11；

（2)(1)1()xxR；x

x





1

1

1