三角形内切圆性质

三角形的内切圆——与

内切圆半径有关的计算

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2

E

F

D

O

A

B

C

三角形的内切圆

——与内切圆半径有关的计算

【学习目标】

1．理解三角形内切圆的有关概念。

2．掌握三角形的内心的位置、数量特征。

3．会求三角形的内切圆半径，会利用内心的相关性质解决计算问题。

【预备知识】

1.内切圆的有关概念_________________________叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形

的内心，三角形的内心是__________________________的交点。

2.内切圆的性质

（Ⅰ）内心的性质：_____________________________的距离相

等。

（Ⅱ）设S是△ABC面积，a,b，c是三角形三边长，r为三角形内切圆半径,则三角形面

积与其内切圆半径的关系为：S=______________

特别地，直角三角形三边长与内切圆半径关系为：r=______________

3.切线长定理

经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线

长。从圆外一点引圆的两条切线，__________________，

________________________________。

b

c

a

r

r

rD

E

F

I

B

A

C

3

4.如何求一个三角形的面积

△ABC中a，b，c是三角形的三边长，

2

abc

p





方法①海伦公式()()()Sppapbpc

方法②

【中考衔接】

(天津中考)已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8。

（Ⅰ）如图①，若半径为r

1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1；

（Ⅱ）如图②，若半径为r

2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB

相切，⊙O

2与BC、AB相切，求r2；

（Ⅲ）如图③，当n大于2的正整数时，若半径r

n的n个等圆⊙O1、⊙

O2、…、⊙On

依次外切，且⊙O

1与AC、BC相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、⊙

O3、…、⊙On－1均与AB边相切，求rn.

拓展路径1：

C

A

B

D

4

C

B

A

C

B

A

C

B

A

拓展路径2：

C

B

A

C

B

A

C

B

A

小

结：类比，由特殊到一般，等面积转化。

【实战演练】

【练习1】（2016四川省攀枝花市）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，

AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，

则⊙O的半径为．

【练习2】（2011年江苏省南通）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心

都在x轴上，并与直线y＝

3

3

x相切．设三个半圆的半径依次为r1、r2、r3，

则当r

1＝1时，r3＝．

【练习3】（2016年福建龙岩第16题）如图1～4，在直角边分别为3和4

的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此

O

O1O2O3

x

y

···

5

类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S

1，S2，

S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=．

【练习4】（2014山东省济宁市部分）（2）理解应用：如图，在等腰梯形

ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△

BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求

2

1

r

r

的值.

【参考答案】

9

14

2

1

r

r

.

【练习5】（2016广西桂林第23题）已知任意三角形的三边长，如何求三角

形面积

古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的着作《度量论》一书中给出

了计算公式﹣﹣海伦公式()()()Sppapbpc（其中a，b，c是三角形

的三边长，

2

abc

p





，S为三角形的面积），并给出了证明

例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：

∵a=3，b=4，c=5∴

2

abc

p





=6

∴()()()Sppapbpc==6

6

事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时

期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．

如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9

（1）用海伦公式求△ABC的面积；（2）求△ABC的内切圆半径r．

【练习6】（上海市普陀区中考二模）如图，Rt△ABC，∠ABC＝90°，圆O

与圆M外切，圆O与线段AC、线段BC、线段AB相切于点E、D、F，圆M

与线段AC、线段BC都相切，其中AB＝5，BC＝12。求：

（1）圆O的半径r；

（2）

2

tan

C

；（即

DC

OD

）

（3）

2

sin

C

；（即

OC

OD

）

（4）圆M的半径

M

r

。

图①

7

图

②

图③

8