两点距离公式

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知识点166两点间的距离公式(解答)

1、已知两点P1（﹣2，3），P2（4，﹣5），求P

1、P2两点的距离．考点：两点间的距离公式。分析：求两点

的长度的问题可以转化为解直角三角形的问题．此题能顺利求出

P1P2的长的关键是过P

1、P2两点分别作x轴、y轴的垂线，构造出Rt△P1AP2，然

后利用勾股定理求解．解答：解：如图所示，过P

1、P2分别作x轴、y轴的垂线相交于A点．则A点的坐标为

A（﹣2，﹣5）∴P1A=|﹣5﹣3|=8，P2A=|﹣2﹣4|=6，

∴P1P2===10．点评：本题的点的距离的问题欲求P1与P2之间的

距离，就是要求线段P1P2的长，过P1作x轴的垂线，过P2作y

轴的垂线，设两条线段交于A点，则△P1AP2是直角三角形．根据

勾股定理，得P1P2=．

2、当m为何值时，点P（3m﹣1，m﹣2）到y轴的距离是到x

轴距离的3倍？求出此时点P到原点的距离．考点：两点间的距

离公式。分析：点P（3m﹣1，m﹣2）到y轴的距离是到x轴距离

的3倍，即横坐标的绝对值是纵坐标的绝对值的3倍，就得到一

个关于m的方程．化简就可以求出m的值．解答：解：根据题意

得到|3m﹣1|=3|m﹣2|，两边平方，解得m=因而P的坐标是（﹣，

﹣），则OP=．点评：已知点P（3m﹣1，m﹣2）到y轴的距离是

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到x轴距离的3倍就可以得到关于m的方程，转化为方程问题就

是解决本题的关键．

3、在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90，AC=2，BC=1，点

A，C分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动

时，点C随着在正y轴上运动．（1）当A在原点时，求原点O到

点B的距离OB；（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；

（3）求原点O到点B的距离OB的最大值，并确定此时图形应满

足什么条件？考点：两点间的距离公式；坐标与图形性质。专

题：计算题。分析：（1）根据勾股定理即可求解；（2）当OA=OC

时，如图，△OAC是等腰直角三角形，过点B作BE⊥OA于E，过

点C作CD⊥OC，且CD与BE交于点D，再根据两点间的距离公式

即可求解；（3）取AC的中点E，连接OE，BE．在Rt△AOC中，

OE是斜边AC上的中线，所以．证明当O，E，B在一条直线上时，

OB取到最大值时即可求解；解答：解：（1）当A点在坐标原点

时，如图，AC在y轴上，BC⊥y轴，所以．目的是从特殊情况理

解题意，考察勾股定理的基本应用与计算．（2）当OA=OC时，如

图，△OAC是等腰直角三角形，AC=2．所以∠1=∠2=45，．过点B

作BE⊥OA于E，过点C作CD⊥OC，且CD与BE交于点D，则

∠3=90﹣∠ACD=90﹣（90﹣45）=45．又BC=1，所以，，因

此．（3）解法一：如图所示，设∠ACO=θ，过C作CD⊥OC，由于

∠BCA=90，所以∠BCD=θ．由AC=2，BC=1，可以得B点的坐标为

B（cosθ，sinθ+2cosθ）．则l2=OB2=cos2θ+

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（sinθ+2cosθ）

2=cos2θ+sin2θ+4sinθcosθ+4cos2θ=1+2sin2θ+4cos2θ=3+2

sin2θ+2（2cos2θ﹣1）=3+2sin2θ+2cos2θ==当时，，所

以．解法二：如图，取AC的中点E，连接OE，BE．在Rt△AOC

中，OE是斜边AC上的中线，所以．在△ACB中，BC=1，，所

以．若点O，E，B不在一条直线上，则，若点O，E，B在一条直

线上，则，所以当点O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值，

最大值是．当O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值时，从下

图可见，OE=1，．∠CEB=45，但CE=OE=1，．点评：本题考查了两

点间的距离公式及坐标与图形的性质，难度较大，主要是巧妙地

利用了线段的基本性质：两点间线段最短．一般地说，线段基本

性质常用来求最小值．即线段AB长为定值时，AC+BC的最小值为

AB，此时C在AB上．这是线段基本性质的一种应用；而另一种应

用往往为人们所忽视：如果两条线段AC和CB在C点接在一起，

AC=m与CB=n都是定长；那么AC+BC的最大值为m+n，此时

C、

A、B三点共线．

4、在平面直角坐标系中，O为原点．（1）点A的坐标为

（3，﹣4），求线段OA的长；（2）点B的坐标为（2，2），点C

的坐标为（5，6），求线段BC的长．考点：两点间的距离公式。

专题：代数几何综合题。分析：（1）利用两点间的距离公式

（d=）求解；（2）在直角三角形中，根据勾股定理解答．解答：

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解：（1）…（3分）（2）如图，CM=|6﹣2|=4，BM=|5﹣2|=3，则

由勾股定理，得．…（6分）点评：本题考查了两点间的距离公

式．解答此类题目，需熟记两点间的距离公式d=．

5、在直角坐标平面内，已知点C在x轴上，它到点A（2，

1）和点B（3，4）的距离相等，求点C的坐标．考点：两点间的

距离公式。专题：计算题。分析：设点C的坐标为（x，0），根

据两点间的距离公式列式求解即可，两点间的距离公式：d=．解

答：解：设点C坐标为（x，0）．（1分）利用两点间的距离公

式，得，．（1分）根据题意，得AC=BC，∴AC2=BC2．即（x﹣

2）2+1=（x﹣3）2+16．（2分）解得x=10．（1分）所以，点C

的坐标是（10，0）．（1分）点评：本题考查了两点间的距离公

式，熟记公式与熟练解方程是解答本题的关键．

6、在x轴上有一点P，它与点A（0，3）、B（4，﹣1）的距

离相等，求点P的坐标？考点：两点间的距离公式。专题：计算

题。分析：设点P的坐标为（a，0），根据两点间的距离公式列

式求解即可，两点间的距离公式：d=．解答：解：设点P的坐标

为（a，0），∵A（0，3）、B（4，﹣1），∴AP=，BP=，

∵AP=BP，∴=，两边平方得，a2+9=（a﹣4）2+1，即8a=﹣8，解

得a=﹣1．∴点P的坐标是（﹣1，0）．点评：本题考查了两点间

的距离公式，熟记公式是解题的关键．

7、已知：如图，平面内两点

A、B的坐标分别为（﹣4，1）、（﹣1，2）．（1）求

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A、B两点之间的距离；（2）画出点C，使得点C到

A、B两点的距离相等，且点C到∠AOB两边的距离相等（无

需写画法，保留画图痕迹）．考点：两点间的距离公式；作图—

复杂作图。分析：（1）根据两点间的距离公式进行计算，即A

（x，y），B（a，b），则AB=；（2）根据到线段两个端点距离相

等的点在线段的垂直平分线上和到角两边距离相等的点在角的平

分线上．解答：解：（1）AB===；（2）点评：此题综合考查了两

点间的距离的求法以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性

质．

8、已知点A在x轴上，点A与点B（1，3）的距离是5，求

点A的坐标．考点：两点间的距离公式。专题：计算题。分析：

设点A的坐标为（x，0），根据两点间的距离公式列式求解即

可，两点间的距离公式：d=．解答：解：设点A的坐标为（x，

0）．（1分）根据题意，得．（2分）∴（x﹣1）2=42．（1分）

∴x1=5，x2=﹣3．（1分）经检验：x1=5，x2=﹣3都是原方程的

根．∴点A的坐标为（5，0）或（﹣3，0）．（2分）点评：本题

考查了两点间的距离公式，数量掌握两点间的距离公式并熟练地

解方程进行检验是解答本题的关键．．

9、已知点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，1），在

x轴上求一点C，使得点C到

A、B两点的距离相等．考点：两点间的距离公式。专题：计

算题；作图题。分析：根据题意，连接AB，作AB的垂直平分线，

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交x轴于点C，已知点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，

1），所以，可求得，AC=BC=，点C就是所求的点．解答：解：由

图，已知点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，1），连接

AB，作AB的垂直平分线，交x轴于点C，∴AC==，BC==；

∴AC=BC，∴点C就是所求的点．点评：本题主要考查了两点间的

距离公式和线段的垂直平分线，掌握线段垂直平分线上的点到线

段两端点的距离相等．

10、（xx•滨州）根据题意，解答下列问题：（1）如图①，

已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于

A、B两点，求线段AB的长；（2）如图②，类比（1）的求解

过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M（3，4），N

（﹣2，﹣1）之间的距离；（3）如图③，P1（x1，y1），P2

（x1，y2）是平面直角坐标系内的两点．求证：．考点：两点间

的距离公式。专题：计算题；证明题。分析：（1）根据直线

y=2x+4与x轴、y轴交点的特点：与x轴相交时，y=0，求得x的

值；与y轴相交时，x=0，求得y的值；（2）、（3）通过构造直

角三角形的方法，解得MN与P1P2的值．解答：解：（1）由

y=0，得x=﹣2，所以点A的坐标为（﹣2，0），故OA=2．（1

分）同理可得OB=4．（2分）所以在Rt△AOB中，AB=；（3分）

（2）作MP⊥x轴，NP⊥y轴，MP交NP于点P．（4分）则

MP⊥NP，P点坐标为（3，﹣1）．（5分）故PM=4﹣（﹣1）=5，

PN=3﹣（﹣2）=5．（6分）所以在Rt△MPN中，MN=；（7分）

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（注：若直接运用了（3）的结论不得分．）（3）证明：作

P2P⊥x轴，P1P⊥y轴，P2P交P1P于点P．则P2P⊥P1P，点P的

坐标为（x2，y1）．（8分）故P2P=y2﹣y1，P1P=x2﹣x1．（不

加绝对值符号此处不扣分）（9分）所以在Rt△P2P1P中，．（10

分点评：本题主要考查一次函数图象与X轴、Y轴交点的特点与解

直角三角形，同时考查了数形结合思想，综合性很强，值得学生

去思考．