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函数概念的开展

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函数概念的开展

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〔*********大学*********学院*********专业***级*班〕

摘要：函数概念是全部数学最重要的概念之一，它几乎渗透到每一个数

学分支，因此考察函数概念的开展历史及其演变过程，无疑有助于我们

更深刻、更全面地理解函数的本质，并且从中得到有益的方法论启示。

本文主要论述了函数的三种定义：变量说、对应说和关系说，以及函数

的演变历史，说明函数概念的历史映射了整个数学的开展史。

关键词：函数概念；变量说；对应说；关系说；开展史

一、早期的函数概念—变量说

马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开场的不定方程的研

究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为

函数概念至少在那时已经萌芽。实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源

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于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函

数关系的那种附属关系。但是，真正导致函数概念得以迅速开展那么是在16世纪以

后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、开展和完善，函数概念也经

历了产生、开展和完善的演变过程。

十七世纪伽俐略(g．galileo，意，1564－1642)在?两门新科学?一书中，几乎从头

到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。

1673年前后笛卡尔(descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一

个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概

念。

到了17世纪，牛顿在创立微积分的过程中一直用“流量〞一词来表示变量之

间的依赖关系，并且从运动的角度，把曲线看成是动点的轨迹。他在?求曲边形的面

积?中说：“我认为这里的数学量，不是由小块合成的，而是由连续运动描出的，线(曲

线)是描画出来的，因而它的产生不是由于凑零为整，而是由于点的连续运动…〞格

雷果里在他的论文?论圆和双曲线的求积?中，给出函数这一模式的素朴描述，他定

义函数是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的量，或者是经过任何其它可

以想象到的运算而得到的。据他自己解释，这里的“可以想象到的运算，除了加、

减、乘、除和开方外，还有极限运算。格雷果里给出的是函数的解析定义，由于此

后不久就证明这一定义太狭窄，也就逐渐被人们遗忘。

"函数"作为数学术语是由微积分的另一位创立者莱布尼兹于1673年引进的,他

用"函数"一词表示任一个随着曲线上的点变动的量,并指出:"象曲线上点的横坐标、

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纵坐标、切线的长度、垂线的长度等,所有与曲线上的点有关的量称为函数."除此以

外,他还引进了“常量〞、“变量〞和“参变量〞等概念,一直沿用到现在,这个定义仅

是在几何围提醒某些量之问所存在的依赖关系,并无给出函数的解析定义,因此,莱布

尼兹所给出的函数的定义可看成是“函数概念的几何起源"。

总之，到了17世纪末，人们还没有从普遍意义上对函数这一概念的本质认识

清楚。

二、函数概念的开展阶段—对应说

正如所知,微积分是一门研究变量和函数的学科。尽管牛顿和莱布尼兹创立了微

积分，但由于他们对包括函数在的一些根本概念，特别是对微积分赖以建立的根底

一无穷小量的认识含混不清，出现了运算过程中的逻辑矛盾，导致了数学开展史上

所谓的第二次数学危机。从而促使了数学家进一步寻找微积分可靠的根底，在这艰

辛的探索过程中，函数自然也就成为数学家必须研究的对象。

第一个在莱布尼兹工作的根底上作出函数概念推广的是约翰·贝努里。1718年

约翰·贝努利(bernoullijohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的根底上，对

函数概念进展了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变

量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数〞，表示为，其在函数概念中所说的

任一形式，包括代数式子和超越式子。

18世纪中叶欧拉(l．euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至

今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数

以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，

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并进一步把它区分为代数函数〔只有自变量间的代数运算〕和超越函数〔三角函数、

对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数〕，还考虑了“随意函数〞〔表示任意画

出曲线的函数〕，不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更

具有广泛意义。

除此之外，欧拉还规定一个给定的函数在它的整个“定义域〞是由同样一个“解

析表达式"来描述的，这种观点在数学家拉格朗日的著作中也有所表达,如在他的名

著?解析函数论?中,他把函数定义为在其中可以按任何形式出现并对计算有用的表达

式。他在?函数计算教程?中说：“函数代表着要得到未知量的值而对量要完成的那些

不同运算，未知量的值本质上只是计算的最终结果。也就是说，函数是运算的一个

组合。〞尽管后来由于欧拉、达朗贝尔和丹尼尔·贝努里在偏微分方程的研究中发

现：整条曲线并不能用一个方程来表示，这迫使数学家修正函数的概念，但到了18

世纪，甚至19世纪初，函数由一个解析式给出的观点仍然占统治地位，并认为连

续曲线给出的连续函数一定能由一个解析表达式表示，由不连续的曲线或折线所表

示的函数不可能由一个解析式表示。由于受到多项式函数的影响，即假设对于n+1

个x的值多项式01

1

1

axaxaxan

n

n

n







与01

1

1

bxbxbxbn

n

n

n







都相等，那

么这两个多项式相等。人们普遍认为，对区间

ba，

上的一切值，恒有一样函数值的

两个函数是完全一样的，而对

ba，

以外的x值，这两个函数的值也相等。

与此类似，由于受到三角函数特性的影响，许多数学家认为，只有周期性的曲

线才能用周期函数来表示。在这一时期，既没有得到任何广泛采用的定义，也没有

解决什么样的函数可用三角级数来表示，

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所有这些说明，函数的概念还有待于继续开展。

三、十九世纪的函数概念——关系说

1800年前后，数学家开场关心分析的严密化问题，函数概念自然也成为严密化

的对象。具体地表现在两个方面：一方面对原来有关函数的错误看法和片面的观点

进展橙清纠正；另一方面继续探讨函数概念的本质，建立含义更广泛的函数概念第

一个冲破用解析式给出函数的观点是拉克鲁瓦，他在1797年给出的函数的定义是：

每一个量，如果它依赖一个或几个别的量，不管人们知道不知道用何种必要的运算

可以得到前者，就称前者为这个或这些量的函数。拉克鲁瓦还以五次方程的根是系

数的函数为例给出相应的说明，这无疑对函数的概念又作出一次扩展。

在这一时期，傅里叶对函数概念的开展做出了巨大的奉献，尽管他也支持用解

析式给出函数的观点，但他更深刻地提醒了函数的本质。1822年傅里(fourier，法，

1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，

从而完毕了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一

个新的层次。

1823年柯西(cauchy，法，1789－1857)从定义变量开场给出了函数的定义，指出

“人们把依次取许多互不一样的值的量叫做变量。当变量之网这样联系起来的时候，

即给定了这些变量中的一个值，就可以决定所有其它变量的值的时候，人们通常想

象这些量是用其中的一个来表示的，这时这个量就取名为自变量，而由这自变量表

示的其它的量就叫做这个自变量的函数。〞他同时还指出，虽然无穷级数是规定函

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数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数

关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。

1837年，出色数学家狄利克雷(dirichlet，德，1805－1859)突破了这一限制，他

给出函数数的定义是：假设对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，不管建

立起的这种对应方式如何，都称y是x的函数。由这个定义不难看出，狄利克雷是

用对应的观点给出函数定义的，至于自变量之间的连接方式如何，即y是按照一种

或多种规律依赖于x，或者y依赖于x是否可用数学运算表示，这是无关紧要的。

并且他还构造一个以他自己名字命名的著名的狄利克雷函数

ax为有理数

f(x)=a、b为不同的常数

bx为无理数

上述对应的思想是数学开场由过去研究的“算〞到以后研究“观念〞性质和构

造的转变的标志，具有重要的理论意义。

随后的斯铎克斯、罗巴切夫斯基、黎曼等都分别给出了函数的定义。例如，黎

曼于1851年给出这样一个定义：我们假定z是一个变量，它可以逐次取所有可能

的实数值。假设对它的每个值都有未定量w的唯一的一个值与之对应，那么w称为

y的函数.黎曼指出，这个定义完全没有规定在单个的函数值之间存在一种规律，此

时，如果函数在某个区问已有定义，它在该区问外的延拓方式是完全任意的，人们

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所定义的量w对量z的依赖关系是任意给定的或是由量的某种运算所确定并没有什

么差异。

在分析严格化的过程中，集合论的思想逐渐形成。皮亚诺开展了?无穷悖论?标

志他第一个朝着建立集合的明确理论的方向迈出积极步伐的人。

戴德金于1887年给出了这样一个定义：系统S上的一个映射蕴含了一种规那

么，按照这种规那么，S中的每一个确定的元素都对应着一个确定的对象，它称为

S的映像,记作

S

,我们可以说，

S

中对应于元素S，

S

由映射中作用于s而

产生或导出，s经映射变换成

S

。

这里至于系统s的对象是什么，并无限制。这是函数概念的一次极大扩大，最

终给出完善的现代函数定义的是法国的布尔巴基学派，定义如下：设E和F是两个

集合，它们可以不同，也可以一样。E中的一个变元x和F中的变元y之问的一个

关系称为一个函数关系，如果对每一个xE，都存在唯一的yF，,它满足与x的给

定关系。我们称这样的运算为函数，它以上述方式将与x有给定关系的元素yF与

每一个元素xE相联系，我们称y是函数在元素x处的值，函数由给定的关系所确

定，两个等价的函数关系确定同一个函数。

等到康托尔(cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之

后，维布伦(veblen，美，1880－1960)用“集合〞和“对应〞的概念给出了近代函数

定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破

了“变量是数〞的极限，变量可以是数，也可以是其它对象〔点、线、面、体、向

量、矩阵等〕。

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就这样，函数概念从变量说开展到对应说，又从对应说进一步完善到现在的关

系说，这就是函数概念的整个历史开展过程。

完毕语

函数概念是全部数学最重要的概念之一。从函数的演变历史，我们可以看到函

数概念的涵不断被挖掘、丰富和准确刻画的历史过程。同时可以看出，数学概念并

非生来就有、一成不变的，是人们在对客观世界深入了解的过程中得到的，我们的

知识只是其中很少的一局部，所以还需要加以开展，以适应新的需要。

参考文献

[1]朱家生.数学史[M]，高等教育.

[2]M.克莱因.古今数学思想[M]，科技.

[3]欧拉.无穷分析引论[M]，教育.

[4]鹏奇.函数概念300年[J]，载自：自然辩证法研究，2001〔3〕.

[5]长明，周焕山.初等数学研究[M]，高等教育.