圆的有关性质

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经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

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如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯

圆的有关性质

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垂径定理

弧、弦、圆心角的关系

圆的有关性质

圆周角定理及推论

圆内接四边形的性质

知识点1垂径定理

①弦和直径：

(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.

(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。

②弧：

(1)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B为端点的的弧记

作AB

⌒

,读作弧AB.

(2)半圆、优弧、劣弧：

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如

ACB

.

小于半圆的弧叫做劣弧，如AB。

（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是

等弧。

③弦心距：

（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。

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（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧

相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，则

其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

④圆的性质：

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对

称图形，对称中心是圆心．

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，

那么它所对应的其他各组分别相等．

(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。

⑤垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

(2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．

(5)平行弦夹的弧相等．

⑥同心圆与等圆

（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为r

1

与半径为r

2

的⊙O叫做同心圆。

（图一）

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（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的⊙O

1

与⊙O

2

的半径都是

r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。

（图二）

（3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。

【典例】

例1（2020•泰兴市模拟）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半

径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（）

A．5B．4C．D．2

【方法总结】

本题考查了垂径定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．

例2据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆

弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径

OC为13m，河面宽AB为24m，则桥高CD为__________.

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【方法总结】

1、在遇有求弦长或半径长的问题时，常添加的辅助线是弦心距。

2、在运用垂径定理解决线段长度问题时，一般都与勾股定理复合运用。

【随堂练习】

1．（2019•庐阳区二模）如图，

AC

是

O

的直径，弦

BDAC

于点E，连接

BC

过点

O

作

OFBC

于点F，若

12BDcm

，

4AEcm

，则

OF

的长度是

()

A．13cmB．213cmC．10cmD．

3cm

2．（2019•滨州模拟）如图，某下水道的横截面是圆形的，水面

CD

的宽度为

2m

，F是线段

CD

的中点，EF经过圆心

O

交

O

与点E，

3EFm

，则

O

直径的长是

()

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A．

2

3

m

B．

5

3

m

C．

4

3

m

D．

10

3

m

3．（2019•黔东南州一模）如图，

O

的直径为

10cm

，弦AB为

8cm

，P是弦AB上一点且

不与点A、B重合．若

OP

的长为整数，则符合条件的点P有

()

A．2个B．3个C．4个D．5个

4．（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧()AB，点

O

是这段弧所在圆的圆心，

40ABm

，点

C

是

AB

的中点，且

10CDm

，则这段弯路所在圆的半径为

()

A．

25m

B．

24m

C．

30m

D．

60m

5．（2019•滨湖区一模）如图，在

O

中，已知弦AB长为

16cm

，

C

为

AB

的中点，

OC

交AB

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于点M，且

:3:2OMMC

，则

CM

长为

()

A．

2cm

B．

4cm

C．

6cm

D．

8cm

6．（2019•阳谷县一模）已知在半径为5的

O

中，AB，

CD

是互相垂直且相等的两条弦，

垂足为点P，且

32OP

，则弦AB的长为

()

A．4B．6C．8D．10

知识点2弧、弦、圆心角、圆周角的关系

与圆有关的角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数．

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。

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在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等，弦也相等。

（3）直径所对的圆周角是直角。

【典例】

例1如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是

的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于_________.

例2如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=38°，则∠AEO的度数是

例3如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是

【方法总结】

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1、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角相等圆周角也相等，可进行角度转换。

2、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可进行角度倍数转换。

【随堂练习】

1．（2019•东台市模拟）如图，AB是

O

的弦，半径

OCAB

，D为圆周上一点，若

BC

的

度数为

50

，则

ADC

的度数为

()

A．

20

B．

25

C．

30

D．

50

2．（2019•资中县一模）如图，

AB

，CD是O的直径，

AEBD

，若32AOE，

则COE的度数是

()

A．32B．60C．68D．64

3．（2020•眉山）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD

＝45°，则∠ADB的度数为（）

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A．55°B．60°C．65°D．70°

4．（2020•武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC

与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）

A．B．3C．3D．4

知识点3圆周角定理及推论

圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．

圆周角的性质：

圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．

圆周角的推论：

①同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．

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②90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．

③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．

【典例】

例1如图所示，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数

为

【方法总结】

1、在圆中利用圆的半径处处相等，可迅速构造等腰三角形.

2、利用直径所对的圆周角是直角，可便捷构造直角三角形.

例2（2020•淮安）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（）

A．54°B．27°C．36°D．108°

【方法总结】

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本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角

形的内角和定理等知识点，能求出圆心角∠AOB的度数是解此题的关键．

【随堂练习】

1．（2019•温州三模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ACB＝112°，则∠α＝（）

A．68°B．112°C．136°D．134°

2．（2019•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP

＝55°，则∠POB的度数为（）

A．30°B．45°C．55°D．60°

3．（2019•宜昌）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）

A．50°B．55°C．60°D．65°

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4．（2019•眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，

则CD的长为（）

A．6B．3C．6D．12

5．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，⊙O中，若OA⊥BC、∠AOB＝66°，则∠ADC的

度数为（）

A．33°B．56°C．57°D．66°

知识点4圆内接四边形的性质

1.圆内接四边形的对角互补

2.外角等于它的内对角

【典例】

例1如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠B+∠D的度数为．

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例2如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E+∠

F=70°，则∠A的度数是

【方法总结】

证明四点共圆的一般方法：

1、逆用同弦所对圆周角相等

2、逆用圆的内接四边形对角互补

【随堂练习】

1．（2019•兰州）如图，四边形

ABCD

内接于

O

，若

40A

，则

(C)

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A．

110

B．

120

C．

135

D．

140

2．（2019•富顺县三模）四边形

ABCD

内接于圆，A、B、

C

、D的度数比可能是

(

)

A．

1:3:2:4

B．

7:5:10:8

C．

13:1:5:17

D．

1:2:3:4

3．（2019•海淀区校级三模）如图，点A，B，

C

，D是

O

上的四个点，点B是弧

AC

的

中点，如果

70ABC

，那ADB___________．

4．（2019•台州）如图，

AC

是圆内接四边形

ABCD

的一条对角线，点D关于

AC

的对称点E

在边

BC

上，连接AE．若

64ABC

，则BAE的度数为_________．

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综合运用：圆的有关性质

1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求

球的半径。

2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于

E，连接BE，若AC=8，DE=2，求

（1）求半圆的半径长；

（2）BE的长度。

3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，

AB=3cm，求⊙O的半径。

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4.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC，

F为CD的中点，求EF的最大值。

5.如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，BC=8cm，CD

平分∠ACB．

（1）求AC与BD的长；

（2）求四边形ADBC的面积．

6.如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．

（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；

（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．

（3）求证：PA+PB=PC．

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一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。这位习惯观察思考的人，突然，对主人家地面上一块

块漂亮的正方形大理石感兴趣。他没有心思听别人闲聊，沉思于脚下排列规则，大小如一的大理

石彼此间产生的数的关系中。

他越想越兴奋，完全被自己的思考迷住，索性蹲到地上，拿出笔尺。在4块大理石拼成的大

正方上，均以每块大理石的对角线为边，画出一个新的正方形，他发现这个正方形的面积正好等

于2块大理石的面积;他又以2块大理石组成的矩形对角线为边，画成一个更大的正方形，而这

个正方形正好等于5块大理石的面积。于是，毕达哥拉斯根据自己的推算得出结果：直角三角形

斜边的平方等于两条直角边的平方和。

著名的毕达哥拉斯定理就这样产生了。

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