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不等式的基本公式

更新时间:2023-03-10 12:11:12 阅读: 评论:0

过春节的画-喜洋洋与灰太狼的故事

不等式的基本公式
2023年3月10日发(作者:炒豆腐的家常做法)

三角形内角的嵌入不等式三角形内角的嵌入不等式,在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。该不等式指出,若A、B、C是一个三角形

的三个内角,则对任意实数x、y、z,有:

算术-几何平均值不等式在数学中,算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式,表现了两类平均数:算术平均数和几何平均数之间

恒定的不

等关系。设为n个正实数,它们的算术平均数是,它们的几何平均数是

。算术-几何平均值不等式表明,对任意的正实数,总有:

等号成立当且仅当。

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数,是对数函数之凹性的体现,在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式(或均值不等式),尽管后者是一组包括它的不等式的合称。

例子在n=4的情况,设:,那么可见。

历史上的证明历史上,算术-几何平均值不等式拥有众多证明。n=2的情况很早就为人所知,但对于一般的n,不等式并不容易证明。1729

年,英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明,用的是调整法,然而这个证明并不严谨,是错误的。

柯西的证明

1821年,法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]

1.当n=2时,P2显然成立。

2.假设Pn成立,那么P2n成立。证明:对于2n个正实数,

综合以上三点,就可以得到结论:对任意的自然数,命题Pn都成立。这是因为由前两条可以得到:对任意的自然

数k,命题都成立。因此对任意的,可以先找k使得,再结合第三条就可以得到命题Pn成立了。

归纳法的证明

使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托(GeorgeChrystal)在其著作《代数论》(algebra)的第二卷中给出的

[2]

根据二项式定理,

命题Pn:对任意的n个正实数

3.假设Pn成立,那么Pn-1成立。证明:对于

n-1个正实数,设

,那么由于Pn成立

但是,因此上式正好变成

由对称性不妨设xn+1是中最大的,由于

,设,则

并且有

于是完成了从n到n+1的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明

[3]:

在n的情况下有不等式和成立,于是:

所以,从而有

基于琴生不等式的证明

注意到几何平均数实际上等于,因此算术-几何平均不等式等价于:

由于对数函数是一个凹函数,由琴生不等式可知上式成立。

此外还有基于排序不等式、伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

推广

算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。

加权算术-几何平均不等式

不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式,加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设

和为正实数,并且,那么:

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩阵形式

算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵,一样有类似的不等式:正实数的矩阵

对于系数都是

也就是说:对k个纵列取算术平均数,它们的几何平均大于等于对n个横行取的n个几何平均数的算术平均。极限形式

也称为积分形式:对任意在区间[0,1]上可积的正值函数f,都有

两边的黎曼和中的n趋于无穷大后得到的形式。

伯努利不等式

数学中的伯努利不等式是说:对任意整数,和任意实数,

如果是偶数,则不等式对任意实数x成立。

可以看到在n=0,1,或x=0时等号成立,而对任意正整数和任意实数,,有严格不等式:

伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。

[编辑]证明和推广伯努利不等式可以用数学归纳法证明:当n=0,1,不等式明显成立。假设不等式对正整数n,实数

下面是推广到实数幂的版本:如果x>-1,那么:

若或,有;

若,有。

这不等式可以用导数比较来证明:

时成立,那么

,那么有:

这实际上是在算术-几何平均值不等式取成

当r=0,1时,等式显然成立。

在上定义f(x)=(1+x)r-(1+rx),其中,对x微分得f'(x)=r(1+x)r-1-r,则f'(x)=0当且仅

当x=0。分情况讨论:

00,f'(x)<0;对-10。因此f(x)在x=0时取最大值0,故得

r<0或r>1,则对x>0,f'(x)>0;对-1

在这两种情况,等号成立当且仅当x=0。

[编辑]相关不等式

下述不等式从另一边估计(1+x)r:对任意x,r>0,都有

几何学的佩多不等式,是关连两个三角形的不等式,以唐·佩多(DonPedoe)命名。这不等式指出:如果第一个三角形的边长为a,b,c,面积

为f,第二个三角形的边长为A,B,C,面积为F,那么:

等式成立当且仅当两个三角形为一对相似三角形,对应边成比例;

也就是a/A=b/B=c/C。

[编辑]证明

由海伦公式,两个三角形的面积可用边长表示为

16f2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a2+b2+c2)2-2(a4+b4+c4)

16F2=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A2+B2+C2)2-2(A4+B4+C4),再由柯西不等式,

16Ff+2a2A2+2b2B2+2c2C2

=(a2+b2+c2)(A2+B2+C2)

于是,

=A2(b2+c2-a2)+B2(a2+c2-b2)+C2(a2+b2-c2),命题得证。

等号成立当且仅当,也就是说两个三角形相似。

ABC是第一个三角形,A'B'C'是取相似后的第二个三角形,BC与B'C'重合

几何证法

三角形的面积与边长的平方成正比,因此在要证的式子两边同乘一个系数λ2

,使得λA=a,几何意义是将第二个三角形取

相似(如右图)。

设这时A、B、C变成x、y、z,F变成F'。

考虑AA'的长度。由余弦公式,

,代入就变成:

两边化简后同时乘以,并注意到a=x,就可得到原不等式。

等号成立当且仅当A与A'重合,即两个三角形相似。

内斯比特不等式

[编辑]证明此不等式证明方法很多,例如从平均数不等式我们有:

移项得出:

整理左式:

因而不等式得证。

如图,埃尔德什-莫德尔不等式说明点O到三个顶点的距离之和(绿色线段)大于到三边距离之和(蓝色线段)的两倍

在几何学中,埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式。埃尔德什-莫德尔不等式说明了:对于任何三角形

ABC和其内部的一点O,点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。

埃尔德什-莫德尔不等式可以认为是几何学中的欧拉定理的一个推广。欧拉定理声称三角形外接圆的半径总是大于等于内切圆

半径的两倍。

[编辑]历史

该不等式最早由埃尔德什在1935年在《美国数学月刊》上提出,作为第3740号问题。两年之后,由路易斯·莫德尔和D.F.巴罗证明。1957

年,卡扎里诺夫提出了一个更简捷的证明

[1]。之后不断有更简洁、更基本的证明出现。1958年班考夫(Bankoff)给出了运用正交投影和相似

三角形的证明,1997年和2004年出现了使用面积不等式的证明,1993年和2001年发现了根据托勒密定理的证明。

[编辑]证明

如右图,O为三角形ABC中的一个点。O到三角形三边的垂线分别交三条边于D、E、F。设线段OA、OB、OC的长度分别是x、y、z,线

段OD、OE、OF的长度分别是p、q、r,那么埃尔德什-莫德尔不等式为:

一个初等的证明方式是使用三角函数以及均值不等式。

首先,由于OF垂直于AF,OE垂直于AE,A、F、O、E四点共圆且OA为直径,因此线段(角A为顶点A对应的内角)。

过点F、E作关于BC的垂线交BC于X、Y。过O作BC的平行线分别交FX、EY于U、V。由于OF垂直于AF,OE垂直于

AE,,。于是:

另一方面,注意到在直角梯形中FUVE中,斜腰EF的长度大于等于直角腰UV。因此:

类似地,还有:

三式相加,得到:

根据均值不等式,

这就是埃尔德什-莫德尔不等式。

是最终得到:

外森比克不等式设三角形的边长为a,b,c,面积为A,则外森比克不等式(Weitzenb?ck'sinequality

当且仅当三角形为等边三角形,等号成立。佩多不等式是外森比克不等式的推广。

[编辑]证明一

除了“所有平方数非负”以外,这个证明不用到其它任何不等式。

两边取平方根,即得证。

舒尔不等式

舒尔不等式说明,对于所有的非负实数x、y、z和正数t,都有:

当且仅当x=y=z,或其中两个数相等而另外一个为零时,等号“=t”是成正立的。偶当数时,不等式对所有的实数

x、y

和z都成立。

[编辑]证明由于不等式是对称的,我们不妨设。则不等式

显然成立,这是因为左边的每一项都是非负的。把它整理,即得舒尔不等式。

[编辑]推广舒尔不等式有一个推广:

)成立。

假设a、b、c是正的实数。如果(a,b,c)和(x,y,z)是顺序的,则以下的不等式成立:

2007年,罗马尼亚数学家ValentinVornicu证明了一个更一般的形式:

考虑,其中,而且要么,要么。设,并设

要么是凸函数,要么是单调函数。那么:

当x=a、y=b、z=c、k=1、?(m)=mr时,即化为舒尔不等式。[1]

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