标准正态分布表

1

正态分布的应用

1、用Z的公式将原始分数转换成标准分数

条件是原始分数的分布是正态的。

例如：已知某班期末考试中语文的平均分为76，标准差为10，数学的平均分为83，标准差为15。某学生在这次期

末考试的语文成绩为79，数学成绩为87，问该生这两科成绩哪一个更好一些？

答：该考生的语文成绩更好一些。

2、确定录用分数线

在选拔兴或竞赛性的考试中，录取或授奖的人数（或比赛）往往是事先确定的。这就是用标准分数的作用发挥。假定为

正态分布，可将录取或授奖的人数比率作为正态分布中分线右侧，即上端的面积，由此找出相应标准分数Z值，然后根据Z

公式计算出原始分数X.

例如：在某年的高考中某省的平均分为420，标准差为100，分数呈正态分布，某考生得了456分。设当年的该省的

录取率为40%，问该生的成绩是否上线？

解：根据Z分数的计算公式，得

当P=0.40时，0.5-0.40=0.10

然后查附表，找到对应的Z=0.25因为0.36>0.25,所以该考生上线了。

又如：某年某市参加数学竞赛的学生有850人，考试的平均分为68，标准差为9。而这次计划只给最优秀的5%颁

奖，问授奖分数线为多少？某个考生在这次考试中得了76分，问这位考生是否获奖？

解：根据0.05的P值计算差表，得Z=1.65

因为82.85>76,所以该考生不可能获奖。

例.某区拟对参加数学竞赛的2000人中的前500人予以奖励，考试的平均分数为75分，标准差为9

分，问授奖的分数线是多少？（授奖分数线为81.03分。）

例：某考试2500人参加，成绩服从正态分布，μ＝80σ2＝25，求分数在88分以上的人数。

解:

n＝N·P＝2500×0.0548＝137（人）

例：某招生考试，选拔２０％，考生成绩服从正态分布，μ＝70σ＝10，录取标准应划在哪里？

解

Z＝0.84X＝10×0.84+70＝78.4

分数线为78.4

例：某地13岁女孩118人的身高(cm)资料，估计该地13岁正常女孩身高在135厘米以下及155

厘米以上者各占正常女孩总人数的百分比。

身高（X）～N(μ，σ2)，但μ和σ未知，只知来自该总体的样本的身高均数x=144.29(cm)和标准

差s=5.41(cm)，由于样本含量n=118很大，所以可以用x和s估计μ和σ来计算u值。

身高（X）小于135(cm)的概率为:

11

135uUPxXP

8880

1.6

5

Z





0

0

()0.20

(0)0.3

pZZ

pZZ





2

72.1

41.5

29.144135

1

1











s

xx

u

04272.072.172.1135

111

uUPuUPxXP

身高（X）大于155(cm)的概率为：

22

155uUPxXP

98.1

41.5

29.144155

2

2











s

xx

u

02385.097615.0198.1198.1155

222

uUPuUPxXP

该地13岁正常女孩身高在135厘米以下者占正常女孩总人数的4.272%，身高在155厘米以

上者占正常女孩总人数的2.385%。

3、确定等级评定的人数

因为人的许多属性为正态分布，因此在教育生活中，许多情况下，用正态分布来计算各等级的人数。

例如：假定某年级有250人，我们要对这些人某种能力作一等级评定，假定这种能力为正态分布，且准备划分为

五个等级：甲乙丙丁戊，问各个等级各有多少人？

解：首先要把正态分布基线平均分一下。因为这里要分为5个等级，因此各等级所包含区间为6除

以5，等于1.2个标准差。然后确定每一等级的取值范围。通常我们从最高开始，最高等级为甲，应该从

Z=3开始往下，则3减去1.2等于1.8，甲等就分布在这个区间1.8~3；往下顺延，得乙所在区间为0.6~1.8；

丙再往下顺延1.2个标准差，得到丙的所在区间为-0.6~0.6；根据对称性，得丁的区间为-1.8~-0.6，戊的区

间为-3~-1.8。

再次，要查正态表。计算各个区间的面积，即人数比率。

要查两个定点之间的面积为多少。

（1）查Z=0到Z=1.8的面积，为0.46407，用0.5减去0.46407得到0.03593，即为甲的区间面积。

（2）查Z=0到Z=0.6的面积，为0.22575，这时用0.46407减去0.22575得0.22832，即为乙的区间面

积。

（3）0.22575乘以2得0.45150，即为丙的区间面积。

（4）根据对称性得到丁的区间面积为0.22832，戊的区间面积为0.03593。

最后，将各个等级的比率乘以总人数，即得到各个等级的人数。

计算得甲等为9人，乙等为60人，丙等为112人，丁等为60人，戊等为9人。

答：甲乙丙丁戊五个等级依次有9、60、112、60、9人。

4、品质评定数量化

一般在教育中可以综合各个老师对某一个学生的评定。

5、独立样本平均数差异的显著性检验综合应用

例1：某省在高考后，为了分析男、女考生对语文学习上的差异，随机抽取了各20名男、女考生的语文成绩，并且

计算得到男生平均成绩=54.6，标准差=16.9，女生的平均成绩=59.7，标准差=10.4，试分析男、女考生语文高考成绩是否有

显著差异？

解：先进行方差齐性检验：

1．提出假设

2．计算检验的统计量

3．统计决断查附表3，得F(19,19)0.05=2.16F=2.64>F(19,19)0.05=2.16，p<0.05，即方差不齐性。

然后，进行平均数差异的显著性检验：

1．提出假设

2．计算检验的统计量

3．确定检验形式双侧检验

4．统计决断1.12<2.093，P>0.05

所以，要保留零假设，即男、女考生语文高考成绩无显著差异。

3

例2：为了对某门课的教学方法进行改革，某大学对各方面情况相似的两个班进行教改实验，甲班32人，采用教师面

授的教学方法，乙班25人，采用教师讲授要点，学生讨论的方法。一学期后，用统一试卷对两个班学生进行测验，得到以

下结果：甲班平均成绩=80.3，标准差=11.9，乙班平均成绩=86.7，标准差=10.2，试问两种教学方法的效果是否有显著性差

异？

解：先进行方差齐性检验：

1．提出假设

2．计算检验的统计量

3．统计决断查附表3，得F(31,24)0.05=1.94F=1.350.05，即方差齐性。

然后，进行平均数差异的显著性检验：

1．提出假设2．计算检验的统计量3．确定检验形式双侧检验

4．统计决断当df=55时，t=2.105>2.009，P<0.05

所以，要在0.05的显著性水平上零假设，即两种教学方法的效果有显著性差异。

例3为了研究一种新语文教学方法是否能提高学生语文学习成绩，采用了实验方法进行研究，选择了学习情况基本

相同的两个班分别作为实验班与对照班，实验结果如下：

班别人数平均分标准差教学方法

实验班428010新教学方法

对照班447511传统教学方法

试分析新语文教学方法是否比传统教学方法在提高学生学习成绩更有效？（双总体Z体验）

原假设H0:μ1≤μ2，备择假设：μ1>μ2.n1=42,x1ˉ=80,ο1=10,n2=44,x2ˉ=75,ο2=11,

取显著性水平为0.05，得拒绝域为z≥z0.05=1.645,Z=(80-75)/√(10^2/42+11^2/44)=2.207>1.645,

拒绝原假设H0,即可以认为新方法显著有效。

例9.某市全体7岁男童体重平均数为21.61kg，标准差为2.21kg，某小学70个7岁男童体重的平均

数为22.9kg。问该校7岁男童体重与全市是否一样？

（|Z|=4.88**＞2.58=Z0.01P＜0.01，在0.01显著性水平上拒绝H0，接受H1，即该校7岁男童体重与全市

有极其显著的差异。

一．总体平均数的显著性检验

例１：某小学历届毕业生汉语拼音测验平均分数为66分，标准差为11.7。现以同样的试题测验应届

毕业生（假定应届与历届毕业生条件基本相同），并从中随机抽18份试卷，算得平均分为69分，问该校

应届与历届毕业生汉语拼音测验成绩是否一样？

⑴.提出假设

H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0

或H0：μ＝66，H1：μ≠66

⑵.选择检验统计量并计算统计量的值

学生汉语拼音成绩可以假定是从正态总体中抽出的随机样本。总体标准差已知，样本统计量的抽

样分布服从正态，以Z为检验统计量计算

⑶.确定显著性水平和检验形式

显著性水平为α=0.05，双侧检验

⑷.做出统计结论

查表得Zα=1.96，而计算得到的Z=1.09

|Z|＜Ｚα，则概率P＞0.05

差异不显著,应在0.05显著性水平接受零假设

结论:该校应届毕业生与历届毕业生汉语拼音测验成绩一致，没有显著差异。

n

X

Z





0





18

7.11

6669



09.1

4

例.某次数学竞赛，甲校6名男同学的成绩为69，73，84，91，86和76；13个女同学的得分为90，62，

58，74，69，85，87，92，60，76，81，84，77。问男女同学数学竞赛成绩是否有显著性差异？

（查表知:F(12,5)0.05=4.68＞1.297=F∴保留H0,拒绝H1,方差齐性.）

例.某区某年高考化学平均分数为72.4，标准差为12.6，该区某校28名学生此次考试的平均分数

为74.7。问该校此次考试成绩是否高于全区平均水平？

(Z|=0.97＜1.65=Z0.05，P＞0.05，保留H0，拒绝H1，即该校成绩并不高于全区平均水平。

例2：某市高中入学考试数学平均分数为68分，标准差为8.6。其中某所中学参加此次考试的46名学

生的平均分数为63。过去的资料表明，该校数学成绩低于全市平均水平，问此次考试该校数学平均分数是

否仍显著低于全市的平均分数？Ｚ＝-3.94

例３：某区初三英语统一测验平均分数为65，该区某校20份试卷的平均分数为69.8，标准差为9.234。

问该校初三年级英语平均分数与全区是否一样？

t＝2.266

例４：某校上一届初一学生自学能力平均分数为38，这一届初一24个学生自学能力平均分数为42，

标准差为5.7，假定这一届初一学生的学习条件与上一届相同，试问这一届初一学生的自学能力是否高于

上一届？t＝3.365

例5：某年高考某市数学平均分数为60，现从参加此次考试的文科学生中，随机抽取94份试卷，算得

平均分数为58，标准差为9.2，问文科学生的数学成绩与全市考生是否相同？Ｚ＝-2.11

例5.6单侧检验（右）

某一小麦品种的平均产量为5200㎏/公顷。一家研究机构对小麦品种进行了改良以期提

高产量。为检验改良后的新品种产量是否有显著提高，随机抽取了36个地块进行试种，得到的样

本平均产量为5275㎏/公顷，标准差为120/公顷。试检验改良后的新品种产量是否有显著提高。

(a=0.05)

解：研究机构自然希望新品种产量能提高，因而想收集证据支持“产量有显著提高”的假

设，也就是m是否大于5200。因此属于单侧检验问题，而且属于右侧检验。提出的假设如下：

H0：m≤5200，H1：m>5200

计算检验统计量的具体数值：

根据给定的显著性水平a=0.05，查标准正态分布表得za=z0.05=1.645。由于z=3.75>z0.05

=1.645，所以拒绝原假设。检验结果表明：改良后的新品种产量有显著提高。

计算P值为0.000088

例3：某校高一进行数学教改实验，若实验前两班的化学成绩无显著性差异，实验一段时间后的数学

测验成绩，实验班51名为均分为62.37，标准差为13.65，对照班45名学生的均分为56.16，标准差为16.37，

试进行差异性检验。

（1）提出假设

虚无假设H0：μ1=μ2（实验班和对照班样本来自同一个总体）。

备择假设H1：μ1≠μ2（实验班和对照班样本不是来自同一个总体）。

（2）选择统计量，计算其值

（3）确定显著水平α=0.05。

（4）统计决断

|Ｚ|＝２.0>1.96，则Ｐ＜0.05，拒绝零假设。实验班和对照的化学成绩存在显著差异．

75.3

36/120

52005275





z

00.2

45

37.16

51

65.13

16.5637.62

22

2

2

2

1

2

1

21













NN

XX

Z



5

例有人在某小学的低年级做了一项英语教学实验，在实验的后期，分别从男女学生中抽取一个样本进行

统一的英语水平测试，结果如下表所示。问在这项教学实验中男女生英语测验成绩有无显著性差异？（假

定方差齐性）

解：1.提出假设

2．计算检验的统计量

3．确定检验形式

双侧检验

4．统计决断

当自由度df=25+28-2=51时，

因为|t|=0.917<2.009，P>0.05

所以，要接受零假设，其结论是：在这项教学实验中男女生英语测验成绩无显著性差异。

例：某市初中毕业班进行了一次数学考试，为了比较该市毕业班男女生成绩的离散程度，从男生中抽

出一个样本，容量为31，从女考生中也抽出一个样本，容量为21。男女生成绩的方差分别为49和36，请

问男女生成绩的离散程度是否一致？

解：1．提出假设

2．选择检验统计量并计算其值

3．统计决断查附表3，

性别人数平均数样本标准差

男

女

25

28

92.2

95.5

13.23

12.46

21

21

21

2

22

2

11

21

2nn

nn

nn

nn

XX

t

XX















917.0

2825

2825

22825

46.122823.1325

5.952.92

22

















210

:H

211

:H

009.2

05.0)51(

t

,:2

2

2

10

H2

2

2

11

:H

)1/(

)1/(

2

2

22

1

2

11







nn

nn

F

X

X





34.1

8.37

63.50

)121(3621

)131(4931









6

得F(19,19)0.05=2.04

F=1.340.05，即男女生成绩的差异没有达到显著性差异。

例1：某省在高考后，为了分析男、女考生对语文学习上的差异，随机抽取了各20名男、女考生的语文

成绩，并且计算得到男生平均成绩=54.6，标准差=16.9，女生的平均成绩=59.7，标准差=10.4，试分析男、

女考生语文高考成绩是否有显著差异？

解：先进行方差齐性检验：

1．提出假设

2．计算检验的统计量

3．统计决断查附表3，

得F(19,19)0.05=2.16

F=2.64>F(19,19)0.05=2.16，p<0.05，即方差不齐性。

然后，进行平均数差异的显著性检验：

1．提出假设

2．计算检验的统计量

3．确定检验形式

双侧检验

4．统计决断

1.12<2.093，P>0.05

所以，要保留零假设，即男、女考生语文高考成绩无显著差异。

11

2

2

2

1

2

1

21

'











nn

XX

t



120

4.10

120

9.16

7.596.54

22











12.1

)1/()1/(

)]1/([)]1/([

2

2

21

2

1

05.0)2(2

2

205.0)1(1

2

1

'

05.0





nn

tntn

t

XX

dfXdfX





)120/(4.10)120/(9.16

093.2)]120/(4.10[093.2)]120/(9.16[

22

22







093.2

,:2

2

2

10

H2

2

2

11

:H

)1/(

)1/(

2

2

22

1

2

11







nn

nn

F

X

X





)120(4.1020

)120(9.1620

2

2







64.2

)0(:,0(:

211210



DD

或H）或H

7

例2：为了对某门课的教学方法进行改革，某大学对各方面情况相似的两个班进行教改实验，甲班32

人，采用教师面授的教学方法，乙班25人，采用教师讲授要点，学生讨论的方法。一学期后，用统一试

卷对两个班学生进行测验，得到以下结果：甲班平均成绩=80.3，标准差=11.9，乙班平均成绩=86.7，标准

差=10.2，试问两种教学方法的效果是否有显著性差异？

解：先进行方差齐性检验：

1．提出假设

2．计算检验的统计量

3．统计决断查附表3，

得F(31,24)0.05=1.94

F=1.350.05，即方差齐性。

然后，进行平均数差异的显著性检验：

1．提出假设

2．计算检验的统计量

3．确定检验形式双侧检验

4．统计决断

当df=55时，t=2.105>2.009，P<0.05

所以，要在0.05的显著性水平上零假设，即两种教学方法的效果有显著性差异。

例5.7一种汽车配件的平均长度要求为12cm，高于或低于该标准均被认为是不合格的。汽车生产企业在购

)1/(

)1/(

2

2

22

1

2

11







nn

nn

F

X

X





)125(2.1025

)132(9.1132

2

2





35.1

21

21

21

2

22

2

11

21

2nn

nn

nn

nn

XX

t

XX















2532

2532

22532

2.10259.1132

7.863.80

22













105.2

,:2

2

2

10

H2

2

2

11

:H

)0(:,0(:

211210



DD

或H）或H

009.2

05.0)55(

t

8

进配件时，通常是经过招标，然后对中标的配件提供商提供的样品进行检验，以决定是否购进。现对一个

配件提供商提供的10个样本进行了检验，结果如下：

12.210.812.011.811.9

12.411.312.212.012.3

假定该供货商生产的配件长度服从正态分布，在0.05的显著性水平下，检验该供货商提供的配件

是否符合要求？

解：依题意建立如下原假设与备择假设：

H0：m=12，H1：m≠12

根据样本数据计算得：

由于n<30为小样本，计算检验统计量：

根据自由度(n-1)=10-1=9，查t分布表得：

ta/2(n-1)=t0.025(9)=2.262，TINV(0.05，9)

由于|t|=0.7053

例7-5】某厂采用自动包装机分装产品，假定每包产品的重量服从正态分

布，每包标准重量为1000克，某日随机抽查9包，测得样本平均重量为

986克，样本标准差是24克。试问在α=0.05的显著性水平上，能否认为

这天自动包装机工作正常？

解：第一步：确定原假设与备择假设。

0

H

：=1000，

1

H：1000

第二步：构造出检验统计量，计算检验统计量的观测值。

由于总体标准差未知，用样本标准差代替，相应检验统计量是t-统计量。样本平均数986x，n=9，

s=24，代入t-检验统计量得：

75.1

924

1000986

0









ns

X

t



第三步：确定显著性水平，确定拒绝域。

α=0.05，查t-分布表(自由度n-1=8),得临界值是81

025.0

2

tnt



=2.306，拒绝域是t2.306。

第四步：判断。

由于t2.306，检验统计量的样本观测值落入接受域，所以不能拒绝

0

H。样本数据没有充分说明这天的

自动包装机工作不正常。

【例7-7】一项调查结果声称，某市小学生每月零花钱达到200元的比例为40%，某科研机构为了检验这

7053.0

10/4932.0

1289.11





t

9

个调查是否可靠，随机抽选了100名小学生，发现有47人每月零花钱达到200元，调查结果能否证实早

先调查40%的看法？

解：由条件

100n

充分大，可以利用正态近似的公式进行计算

0

:40%H

1

:40%H

47%P100n0

00

0.470.4

1.43

(1)0.4*(10.4)

100

P

Z

n













确定临界值拒绝域

0.025

1.96Z，拒绝域

(,1.96][1.96,)

43.1Z

0.025

1.96Z

0.025

ZZ

0764.0_P

P值大于，故不能拒绝

0

H，调查结果还不能推翻40%比重这个看法。

招工问题某公司在某次招工考试中，准备招工300名（其中280名正式工，20名临时工），而报考的

人数是1657名，考试满分为400分．考试后不久，通过当地新闻媒介得到如下信息：考试总评成绩是166

分，360分以上的高分考生31名．某考生A的成绩是256分，问他能否被录取？如被录取能否是正式工？

6、总体均数的估计——区间估计

（1）未知时。一般用t分布的原理作区间估计。根据

于是得可信度为1-时，计算总体均数可信区间的通式为：

习惯上，常取1-=0.95，即95%可信区间；或取1-=0.99，即99%可信区间。

例题1、对某人群随机抽取20人，用某批号的结核菌素作皮试，平均侵润直径为10.9mm，标准

差为3.86mm。问这批结核菌素在该人群中使用时，皮试的平均侵润直径的95%可信区间是多少？

本例，n=20,=n-1=20-1=19,=0.05（双側）查附表，得t

0.05,19

=2.093

所以，该人群皮试的平均侵润直径的95%可信区间为9.1~12.7mm。

（2）已知或样本例数n足够大时，按正态分布原理作区间估计。

例题2由某地成年男子中抽得144人的样本，求得红细胞数的均数为5.381012/L,标准差为

12.7),(9.1)

20

3.86

2.09310.9,

20

86.3

093.29.10(

)

n

s

uX,u-X(

)uX,u-X(















n

s

n

nn

大未知但

已知时

)-(11)t(

,,

为可信度



ttP











1)

/

P(-t

,,

t

ns

x

得

)(tX)(

,,n

s

n

s

tX





10

0.441012/L,试估计该地成年男子红细胞均数的95%可信区间。

该地成年男子红细胞均数的95%可信区间为(5.31,5.45)。

例题

某地调查正常成年男子144人的红细胞数，得均数5.38（1012/L）,标准差0.44（1012/L），试估计该

地成年男子红细胞数的95%参考值范围。

因红细胞数过多或过少均为异常，用双侧界值。

下限：-1.96s=5.38-1.96×0.44=4.52

上限：+1.96s=5.38+1.96×0.44=6.24

该地成年男子红细胞数的95%参考值范围（4.52—6.24）1012/L。

例题已知某地120名正常人血浆铜含量(μmol/L)的均数＝14.48、ｓ＝2.27，估计该地120名正常人血

浆铜含量在14.20～15.60(μmol/L)范围内的人数。

1.计算u值

当μ和σ未知时，u＝(x－)/s。

x

1

＝14.20，u

1

＝(14.20－14.48)/2.27＝-0.12x

2

＝15.60，u

2

＝(15.60－14.48)/2.27＝0.49

2.查表

-0.12左侧的面积就是0.12右侧的面积。

当u＝0.12时，在表的左侧找到0.1，在表的上方找到0.02，二者相交处为0.5478，

Ф(-0.12)＝1－0.5478＝0.4522，即标准正态变量u值小于-0.12的概率为0.4522；

当u＝0.49时，Ф(0.49)＝0.6879，即u值小于0.49的概率为0.6879。

3.确定概率

u值在-0.12～0.49范围内的面积为：Ф(0.49)－Ф(-0.12)＝0.6879－0.4522＝0.2357，

即血浆铜含量在14.20～15.60(μmol/L)范围内的概率为23.57％。

4.估计区间内人数

120名正常人血清铜含量在14.20～15.60(μmol/L)范围的人数为120×23.57％＝28人

例1某地区成年男子身高服从正态分布，其均值是169cm，标准差为7cm。求满足满足以下条件的男子

的比例：⑴、155cm以下；⑵、176cm以上；⑶155cm～176cm之间

解：题目所要求的三个概率，如下图的P1、P2、P3所示：

5.45),31.5()

144

0.44

1.965.38,

144

44.0

1.96-(5.38

96.1un0.05,0.44,s5.38,x144,n

0.05



较大可取由于本例

x

x

x

11

因此题目所要求的三个概率，转化为标准正态分布中的相应部分，如下图所示：

查正态分布，当Z=2时，P=0.47725，当Z=1时，P=0.34134。所以：

P1=0.5-0.47725=0.02275=2.275%；

P2=0.5-0.34134=0.15866=15.866%;

P3=0.47725+0.34134=81.859%

例5.4一种罐装饮料采用自动生产线生产，每罐的容量是255ml，标准差为5ml。为检验每罐容量是否符合

要求，质检人员在某天生产的饮料中随机抽取了40罐进行检验，测得每罐平均容量为255.8ml。取显著性

水平a=0.05，检验该天生产的饮料容量是否符合标准要求。

解：这里所关心的焦点是饮料容量是否符合要求，也就是m是否为255ml。大于或小于255ml都

不符合要求，因而属于双侧检验问题。提出的原假设和备择假设为：

H0：m=255，H1：m≠255

计算检验统计量的具体数值：

检验统计量数值的含义是：样本均值与检验的总体均值相比，相差1.01个抽样标准差。

根据给定的显著性水平a=0.05，查书后所附的标准正态分布表得za/2=z0.025=1.96。由于

|z|=1.01

因此不能证明该天生产的饮料不符合标准要求。



例、已知某地健康成年男子的红细胞计数是以μ=5.00×1012/L，σ=0.25×1012/L的正态分布，试问红细

胞计数在4.50×1012/L至5.20×1012/L之间，占该地健康成年男子的百分之几？

将变量值标准正态转换为u。

当x=4.50时，u1=（4.50-5.00）/0.25=-2.00

当x=5.20时，u2=（5.20-5.00）/0.25=0.80

查附表1标准正态曲线下面积得

Φ(u1)=Φ(-2.00)=0.0228

Φ(u2)=1-Φ(-0.80)=0.7881

D=Φ(u2)-Φ(u1)=0.7881-0.0228=0.7653

所以，该地健康成年男子中，估计有76.53%的人红细胞数在（4.50~5.20）×1012/L范

围内。

01.1

40/5

2558.255





z