分步积分

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《高职数学》公开课教案

课题：§4.4分部积分法

课型：讲授

教学目的、要求：理解分部积分法的思想方法，正确选取u、dv，熟练掌握分部

积分法公式

教学重点、难点：分部积分法及其应用,恰当选取u、dv

教学内容：

一、分部积分法

设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数那么两个函数乘积的导数公式为

uvu(uv)v

移项得vu(uv)uv

对这个等式两边求不定积分得







vdxuuvdxvu或vduuvudv称为不定积分的分部积分公式。

二、例题

例1Cexedxexexdedxxexxxxxx

例2xdxxxxxdxdxxsinsinsincos

Cxxxcossin

利用这个公式的关键在于选取适当的u和dv

选取的一般原则:1.v容易求得(凑微分法);

比udv容易求.

例3求dxexx2

解：xxdexdxex22

Cexeex

dxexeex

dxxeex

dxeex

xxx

xxx

xx

xx















22

)(2

2

2

2

2

22

2/3

例4求xdxxarctan

解：2arctan

2

1

arctanxdxxdxx



Cxxxx

dx

x

xx

dx

x

x

xx

xdxxx











































arctanarctan

2

1

)

1

1

1(arctan

2

1

1

arctan

2

1

arctanarctan

2

1

2

2

2

2

2

2

22

例5344344

11111

lnln()lnln

444416

xxxdxxxxdxxxxC

分部积分法的使用技巧

(1)被积函数是两个不同类型函数的乘积；

(2)u的选取按“反、对、幂、三、指”顺序。

例6求xdxexsin

解因为xdexexdexdxexxxxsinsinsinsin

xxxxxdexexdxexecossincossin

xdexexexxxcoscossin

xdxexexexxxsincossin

所以Cxxexdxexx)cos(sin

2

1

sin

练习:(1)

(2)xdxxln2

例7求dxex

解：令tx，则2tx，

tdtdx2

，因此



Cxe

Cete

dtte

tdtedxe

x

tt

t

tx













)1(2

2

2

2

3/3

三、小结

使用分部积分公式vduuvudv

(1)原则:v容易求得(凑微分法);uvd比udv容易求;

(2)U的选取按“反对幂三指”的顺序。

四、作业

习题4.3P

109

2、（1）（4）（6）,习题4.4P

111

1、（3）（5）（6）