圆锥的所有公式

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圆锥曲线

1.椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的参数方程是

cos

sin

xa

yb















离心率

2

2

1

cb

e

aa

，

准线到中心的距离为

2a

c

，焦点到对应准线的距离（焦准距）

2b

p

c

.通径的一半(焦参数)：

2b

a

.

2.椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:

2

1

()

a

PFexaex

c

，

2

2

()

a

PFexaex

c

；

12

2

1tan

2FPF

FPF

Sb





.

3.椭圆的的内外部:（1）点

00

(,)Pxy在椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的内部

22

00

22

1

xy

ab

.

（2）点

00

(,)Pxy在椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的外部

22

00

22

1

xy

ab

.

4.双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的离心率

2

2

1

cb

e

aa

，准线到中心的距离为

2a

c

，焦点到对应准线

的距离（焦准距）

2b

p

c

通径的一半(焦参数)：

2b

a

焦半径公式

2

1

|()|||

a

PFexaex

c

，

2

2

|()|||

a

PFexaex

c

，

两焦半径与焦距构成三角形的面积

12

2

1cot

2FPF

FPF

Sb





.

5.双曲线的内外部:(1)点

00

(,)Pxy在双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的内部

22

00

22

1

xy

ab

.

(2)点

00

(,)Pxy在双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的外部

22

00

22

1

xy

ab

.

6.双曲线的方程与渐近线方程的关系:

(1）若双曲线方程为1

2

2

2

2



b

y

a

x

渐近线方程：

22

22

0

xy

ab



x

a

b

y.

(2)若渐近线方程为x

a

b

y

0

b

y

a

x

双曲线可设为

2

2

2

2

b

y

a

x

.

(3)若双曲线与1

2

2

2

2



b

y

a

x

有公共渐近线,可设为

2

2

2

2

b

y

a

x

（0,焦点在x轴上;0,焦点在y轴上）.(4)焦点到渐近线的距离总是b

7.抛物线

pxy22的焦半径公式:

抛物线22(0)ypxp焦半径

02

p

CFx.过焦点弦长pxx

p

x

p

xCD

212122

.

8.抛物线

pxy22上的动点可设为P),

2

(

2



y

p

y

或2(2,2)PptptP(,)xy，其中22ypx

.

9.二次函数

2

22

4

()

24

bacb

yaxbxcax

aa





(0)a的图象是抛物线：（1）顶点坐标为

24

(,)

24

bacb

aa



；（2）焦点的坐标为

241

(,)

24

bacb

aa



；（3）准线方程是

241

4

acb

y

a



.

10.以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切；

以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切.

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11.直线与圆锥曲线相交的弦长公式:22

1212

()()ABxxyy或

2222

211212

(1)()||1tan||1tABkxxxxyyco

（弦端点A),(),,(

2211

yxByx，由方程











0)y,x(F

bkxy

消去y得到02cbxax，0,为直线AB的

倾斜角，k为直线的斜率，2

121212

||()4xxxxxx.

12.圆锥曲线的两类对称问题:

（1）曲线(,)0Fxy关于点

00

(,)Pxy成中心对称的曲线是

00

(2-,2)0Fxxyy.

（2）曲线(,)0Fxy关于直线0AxByC成轴对称的曲线是

2222

2()2()

(,)0

AAxByCBAxByC

Fxy

ABAB







.

特别地，曲线(,)0Fxy关于原点O成中心对称的曲线是(,)0Fxy.

曲线(,)0Fxy关于直线

x

轴对称的曲线是(,)0Fxy.

曲线(,)0Fxy关于直线y轴对称的曲线是(,)0Fxy.

曲线(,)0Fxy关于直线yx轴对称的曲线是(,)0Fyx.

曲线(,)0Fxy关于直线yx轴对称的曲线是(,)0Fyx.

13.圆锥曲线的第二定义：动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数

e

，若01e，M的轨迹

为椭圆；若1e，M的轨迹为抛物线；若1e，M的轨迹为双曲线.

注意：1、还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？

2、还记得圆锥曲线方程中的：

（1）在椭圆中：

a

是长半轴，b是短半轴，

c

是半焦距，其中222bac，,(01)

c

ee

a

是离心率，

2a

c

是准心距，

2b

c

是准焦距，

2b

a

是半通径.

（2）在双曲线中：

a

是实半轴，b是虚半轴，

c

是半焦距，其中222bca，,(1)

c

ee

a

是离心率，

2a

c

是

准心距，

2b

c

是准焦距，

2b

a

是半通径.

（3）在抛物线中：p是准焦距，也是半通径.

3、在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？（到定点的距离比到定

直线的距离）

4、离心率的大小与曲线的形状有何关系（圆扁程度，张口大小）？等轴双曲线的离心率是多少？（2e）

5、在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限

制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.

注意：尤其在求双曲线与直线的交点时：当0时：直线与双曲线有两个交点（包括直线与双曲线一支交于

两点和直线与双曲线两支各交于一点两种情况）；当0时，直线与双曲线有且只有一个交点（此时称指向

与双曲线相切），反之，当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切，此时直线与双曲线的一

条渐近线平行，当0时，直线与双曲线没有交点.

6、椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形.此时222abc.

7、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.（想一想在双曲线中的结论？）

8、你知道椭圆、双曲线标准方程中,,abc之间关系的差异吗？

9、如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与

抛物线相交,只有一个交点.此时两个方程联立，消元后为方程变为一次方程.

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椭圆练习

1.过椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

x

(a>b>0)的左焦点F1任做一条不与长轴重合的弦AB,F2为椭圆的右焦点,则△ABF1的周长是

（）(A)2a(B)4a(C)2b(D)4b

2.设bababa则,62,,22R的最小值是（）

(A)22(B)

3

35



(C)－3(D)

2

7



3.椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点,是一个含600角的菱形的四个顶点,则椭圆的离心率为（）

（A）

2

1

（B）

2

3

（C）

3

3

（D）

2

1

或

2

3

4.设常数m>0，椭圆x2+m2y2=m2的长轴是短轴的两倍，则m的值等于（）

（A）2（B）2（C）2或

2

1

（D）2或

2

2

5.过椭圆

22

22

1

xy

ab

(0ab)的左焦点

1

F作

x

轴的垂线交椭圆于点P，

2

F为右焦点，若

12

60FPF，则

椭圆的离心率为()(A)

2

2

(B)

3

3

(C)

1

2

(D)

1

3

6.如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的（）

（A）18倍（B）12倍（C）9倍（D）4倍

7.当关于x,y的方程x2sin



－y2cos



=1表示的曲线为椭圆时,方程(x+cos



)2+(y+sin



)2=1所表示的圆的圆

心在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

8.已知椭圆的焦点为F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是（）

（A）圆（B）椭圆（C）直线（D）其它

9.已知椭圆

1

49

2

2



y

x

与圆(x-a)2+y2=9有公共点,则a的取值范围是()

(A)-6

10.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭

圆的离心率是（）（A）

2

2

（B）

21

2



（C）22（D）21

11.在椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

x

上取三点，其横坐标满足x1+x3=2x2,三点依次与某一焦点连结的线段长为r1,r2,r3,则有

（）（A）r1,r2,r3成等差数列（B）

231

211

rrr

（C）r1,r2,r3成等比数列（C）以上都不对

12.已知椭圆

2

2:1

2

x

Cy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若3FAFB,则

||AF

=()(A)2(B)2(C)

3

(D)3

13.已知

1

F、

2

F是椭圆的两个焦点，满足

12

0MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）

(A)

(0,1)

(B)

1

(0,]

2

(C)

2

(0,)

2

(D)

2

[,1)

2

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14.一个椭圆中心在原点,焦点

12

FF、

在x轴上,P（2，

3

）是椭圆上一点,且

1122

||||||PFFFPF、、

成等差数列，则

椭圆方程为()（A）

22

1

86

xy



（B）22

1

166

xy



（C）22

1

84

xy



（D）22

1

164

xy



15.若椭圆1

98

22





y

a

x

的离心率是

2

1

,则a的值为————————.

16.椭圆x2cos2α+y2=1(0<α<



,α≠

2



)的半长轴=——————，半短轴=——————，半焦距=——————，离心率=——————.

17.已知椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的左、右焦点分别为

12

(,0),(,0)FcFc，若椭圆上存在一点P使

1221

sinsin

ac

PFFPFF

，则该椭圆的离心率的取值范围为．

18.M是椭圆1

49

22



yx

上的一点,F1,F2是椭圆的焦点,且∠F1MF2=900,则△F1MF2的面积等于——————.

19.与圆(x+1)2+y2=1相外切,且与圆(x－1)2+y2=9相内切的动圆圆心的轨迹方程是——————

20.设椭圆



















sin32

cos4

y

x

(α为参数)上一点P与x轴正向所成角∠POx=

3



,则点P的坐标是__.

21.在平面直角坐标系

xOy

中，椭圆

2

2

22

1(0)

y

x

ab

ab



的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过2

(0)

a

P

c

，

作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为

22.已知直线l:y=mx+b,椭圆C:

2

2)1(

a

x

+y2=1,若对任意实数m,l与C总有公共点,则a,b应满足的条件

是.

23.椭圆

4cos

2sin

x

y















（为参数）上点到直线220xy的最大距离是.

24.

12

FF、

是椭圆2

21

4

x

y的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则

12

||||PFPF

的最大值是.

25.已知椭圆焦点为F1(0,－22),F2(0,22),长轴长为6,过焦点的弦的长等于短轴长,求这焦点弦的倾斜角.

26.在椭圆1

916

22



yx

上求一点M，使它到直线l:3x+4y－50=0的距离最大或最小.

27.在△ABC中，BC=24，AC、AB的两条中线之和为39,求△ABC的重心轨迹方程.

29.椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

x

与x轴、y轴正方向相交于A、B，在第一象限内的椭圆上求一点C，使得四边形OACB的面积

最大.

30.点A、B分别是椭圆1

20

2

36

2



y

x

长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于

x

轴上方，

PFPA.（1）求点P的坐标；

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于||MB,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

双曲线练习

1.F1、F2为双曲线1

4

2

2

y

x

的两个焦点,点P在双曲线上,且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是________________.

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2.双曲线焦点在y轴上,且一个焦点在直线5x－2y+20=0上,两焦点关于原点对称,

3

5



a

c

,则此双曲线的方程是

________.

3.已知双曲线

22

1

63

xy

的焦点为

1

F

、

2

F

，点M在双曲线上且

1

MFx

轴，则

1

F

到直线

2

FM

的距离为________________.

4.已知双曲线

2

2

a

x

－

2

2

b

y

＝1（a＞0,b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为

2

2

a

（O

为原点）,则两条渐近线的夹角为______________________.

5.已知定点A、B且|AB|=4,动点P满足|PA|－|PB|=3,则|PA|的最小值是_________________.

6.已知F1、F2是双曲线)0,0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在

双曲线上,则双曲线的离心率是_________________.

7.过双曲线

22

22

1

xy

ab

(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的

圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于_________.

8.双曲线1

124

22



yx

上点P到左焦点的距离为6,这样的点有______个.

9.直线y=x+3与曲线

1

4

||

9

2



xx

y

的交点个数是.

10.双曲线的两准线间的距离是焦距的

5

3

，则此双曲线的离心率为.

11.已知双曲线的渐近线方程是xy

3

2

,且双曲线过点（3，4），则双曲线的离心率为,双曲线的方程为.

12.设连接共轭双曲线四个顶点和四个焦点所成两个四边形的面积分别为S1,S2,则(

2

1

S

S

)max为.

13.已知双曲线的两个焦点坐标为F1(0,－10),F2(0,10)且一条渐近线方程是,则双曲线的标准方程

为

14.已知双曲线经过

)3,

4

53

(A,且与另一双曲线1

169

22



yx

,有共同的渐近线,则此双曲线的标准方程

是.

15.已知双曲线的一条渐近线方程是

043yx

,焦点是椭圆1

25100

22



yx

与坐标轴的交点,则双曲线的标准方程

是.

16.已知双曲线的两条渐近线所夹的锐角是,则此双曲线的离心率为.

9.直线被双曲线,3222yx所截得弦的中点坐标是，弦长是.

17.已知关于x，y的二次方程4814)16()4(222mmymxm表示的是双曲线，则m的取值范围是.

18.已知双曲线方程为1

916

22



yx

，经过它的右焦点F2，作一条直线，使直线与双曲线恰好有一个交点，则该直

线的斜率是.

19.已知双曲线方程为422xy,过一点P(0，1),作一直线l,使l与双曲线无交点,则直线l的斜率k的集合

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是.

20.双曲线1

916

22



yx

右支上一点P到左右两个焦点的距离之比是5:3,则P点右准线的距离为_____________.

21.以为渐近线,且经过点(1,2)的双曲线是.

22.双曲线的离心率e=2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是.

23.双曲线1

3

2

2

y

x的渐近线中,斜率较小的一条渐近线的倾斜角为.

24.若双曲线

2

2

2

2

b

y

a

x

=1的一条渐近线的倾斜角为锐角,则双曲线的离心率为____________.

25.已知双曲线的渐近线方程为

043yx

,一条准线的方程为0335y,则双曲线方程.

26.双曲线1

4

22



k

yx

的离心率，则k的取值范围是______________

.

27.椭圆1

42

22



a

yx

与双曲线1

2

22



y

a

x

的焦点相同,则a=.

28.如图，OA是双曲线的实半轴,OB是虚半轴,F为焦点，

且,)336(

2

1

,则该双曲线方程是.

29.已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且与圆相交于点A(4,－1)，若圆在点A的

切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程.

30.双曲线与椭圆

1

3627

2

2



y

x

有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程.

31.直线

2

3

1

xy

与双曲线

1

49

2

2



y

x

的两个交点与原点构成三角形，求此三角形的面积.

32.已知双曲线上有一点P，焦点为F1、F2，且，求证：

2

2

21



ctgbS

PFF

·



.

33.斜率为2的直线l被双曲线1

23

22



yx

截得的弦长为15

5

2

,求直线l的方程.

34.已知P为双曲线上的动点，Q是圆

4

1

)2(22yx上的动点，求的最小值。

35.双曲线的方程是1

4

2

2

y

x

.

（1）直线l的倾斜角为

4



,被双曲线截出的弦长为11

3

8

,求直线l的方程.

（2）过点P(3,1)作直线l,使它截出的弦长恰好被点P平分,求l的方程.

35.求与圆A:22)5(yx=49和圆B:22)5(yx=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程.

36.已知双曲线的焦点为Ｆ１（－ｃ,０）、Ｆ２（ｃ,０）,过F２且斜率为

5

3

的直线交双曲线于P、Q两点,

若ＯＰ⊥ＯＱ,｜ＰＱ｜＝４,求双曲线的方程.

抛物线练习

1.抛物线x2=4y的焦点弦的长为

3

16

,则此弦的倾斜角为（）

(A)60o(B)30o(C)60oor120o(D)30oor150o

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2.过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线（）

(A)有且仅有一条(B)有且仅有两条(C)有无穷多条(D)不存在

3.方程22)1(2)1(2yx=|x+y+2|表示的曲线是（）

（A）椭圆（B）双曲线（C）抛物线（D）原点

4.已知A(0,4),P为y=x2+1上一点,则|PA|的最小值是（）(A)

2

3

(B)

2

10

(C)

2

11

(D)3

5.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是

（）(A)[－

2

1

，

2

1

](B)[－2，2](C)[－1，1](D)[－4，4]

6.若曲线C与抛物线y2=4x－3关于直线x+y=0对称,则曲线C的方程是()

(A)x2－4y－3=0(B)x2+4y+3=0(C)y2+4x+3=0(D)x2－4y+3=0

7.抛物线顶点在坐标原点,以y轴为对称轴,过焦点且与y轴垂直的弦长为16,则抛物线方程为.

8.抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,点到焦点距离是6,则抛物线方程为__________.

9.抛物线)0(22ppxy上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则此抛物线焦点与准线的距离为.

是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,且|AB|=m,则△AOB的面积是————————.

11.一卡车要通过跨度为8米,拱高为4米的抛物线型隧道（从正中通过）,为保证安全,车顶离隧道顶部至少应有

0.5米的距离,如果卡车宽1.6米,则卡车的限高为米.（精确到0.01）.

12.抛物线(x－1)2=y上的点到直线x+y+1=0的最短距离是————————.

13.抛物线顶点在y轴上,对称轴平行于x轴,且过点（

2

1

，3）和（2，4）,求其方程.

14.抛物线有内接直角三角形,直角顶点在原点,一条直角边所在直线方程为

xy2

，斜边长为35,求

P的值.

15.k是什么实数时,直线

01ykx

与抛物线xy42有:两个交点;只有一个交点;无交点.

16.已知直线l在x，y轴上的截距分别为2和－1，并且与抛物线交于A、B两点.

求:（1）抛物线的焦点F到直线l的距离;（2）的面积.

17.有一抛物线,开口向右,对称轴为y=1,顶点在x+y+1=0上,若抛物线与y轴的两个交点之间的距离为6,求此抛

物线的方程.

18.过抛物线y2=4x的焦点引直线l交此抛物线于A,B两点,若S△AOF=2S△BOF,求直线l的方程.

19.若直线P1P2为抛物线C：22(0)ypxp的一条焦点弦，F为C的焦点。求证：

12

112

PFPFP



.