解二元一次方程的方法

二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）

【学习目标】

1.理解消元的思想；

2.会用代入法解二元一次方程组.

【要点梳理】

要点一、消元法

1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二

元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出

另一个未知数.这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.

2.消元的基本思路：未知数由多变少.

3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.

要点二、代入消元法

通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元

法，简称代入法．

要点诠释：

(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个

未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．

(2)代入消元法的技巧是：

①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；

②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形

比较简便；

③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比

较简便．

【典型例题】

类型一、用代入法解二元一次方程组

1．用代入法解方程组：

5

341

xy

xy











.

【思路点拨】直接将上面的式子代入下面的式子，化简整理即可.

【答案与解析】

解：

5

341

xy

xy











①

②

将①代入②得：3(5)41yy③

去括号，移项，合并，系数化1得：2y④

把④代入①得：3x

∴原方程组的解为：

3

2

x

y











【总结升华】当方程组中出现一个未知量代替另一个未知量的方程时，一般用直接代入法解

方程组.

举一反三：

【变式】若方程y＝1－x的解也是方程3x＋2y＝5的解，则x＝____，y＝____.

【答案】3，﹣2.

2.用代入法解二元一次方程组：

5240

50

xy

xy











①

②

【思路点拨】观察两个方程的系数特点，可以发现方程②中x的系数为1，所以把方程②中

的x用y来表示，再代入①中即可.

【答案与解析】

解：由②得x＝5-y③

将③代入①得5(5-y)-2y-4＝0，

解得：y＝3，把y＝3代入③，得x＝5-y＝5-3＝2

所以原方程组的解为

2

3

x

y











．

【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元

一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、

四“代”、五“写”．

举一反三：

【高清课堂：二元一次方程组的解法369939例3】

【变式1】与方程组

20

20

xy

xy











有完全相同的解的是（）

A．x+y－2=0

B．x+2y=0

C．(x+y－2)(x+2y)=0

D．22(2)0xyxy

【答案】D

【变式2】若∣x－2y＋1∣＋(x＋y－5)2＝0，则x=，y=.

【答案】3,2

类型二、由解确定方程组中的相关量

3.方程组

43

235

xyk

xy











的解xy与的值相等，则k的值是.

【思路点拨】将xy代入上式，可得,xy的值，再代入下面的方程可得k值.

【答案】1

【解析】

解：

43

235

xyk

xy











①

②

将xy代入②得1xy，再代入①得1k.

【总结升华】一般地，先将k看作常数，解关于x，y的二元一次方程组再令x=m或y=m，

得到关于m的方程，解方程即可．

【高清课堂：二元一次方程组的解法369939例8（4）】

举一反三：

【变式】若方程组

231

(1)(1)4

xy

kxky











的解x与y相等，求k.

【答案】将xy代入上式得

1

5

xy，再代入下式得10k.

4.若方程组

ax+by=11

(5-a)x-2by+14=0







的解为

1

4

x

y











，试求ab、的值.

【答案与解析】

解：将

1

4

x

y











代入得

a+4b=11

(5-a)-2b4+14=0









，即

a+4b=11

a+8b=19







，

解得

a=3

b=2







.

【总结升华】将已知解代入原方程组得关于ab、的方程组，再解关于ab、方程组得ab、的

值.

【巩固练习】

一、选择题

1．用代入消元法解方程组

32

3211

xy

xy











①

②

代入消元法正确的是（）.

A．由①②得y＝3x+2，代入②，得3x＝11-2(3x+2)

B．由②得

112

3

y

x



，代入①，得

112

3112

3

y

y





C．由①得

2

3

y

x



，代入②，得2-y＝11-2y

D．由②得3x＝11-2y，代入①，得11-2y-y＝2

2．用代入法解方程组

342

25

xy

xy











①

②

使得代入后化简比较容易的变形是（）.

A．由①得

24

3

y

x



B．由①得

23

4

x

y



C．由②得

5

2

y

x



D．由②得y＝2x-5

3．对于方程3x-2y-1＝0，用含y的代数式表示x，应是（）.

A．

1

(31)

2

yxB．

31

2

x

y



C．

1

(21)

3

xyD．

21

3

y

x





4．已知x+3y＝0，则

32

32

yx

yx





的值为（）.

A．

1

3

B．

1

3

C．3D．-3

5.

一副三角板按如图摆放，∠

1

的度数比∠

2

的度数大

50

°，若设，，则

可得到方程组为

().

A.B.C.D.

6．已知

2

1

x

y











是二元一次方程组

7

1

axby

axby











的解．则a-b的值为（）.

A．-1B．1C．2D．3

二、填空题

7．解方程组

523,

61,

xy

xy











①

②

若用代入法解，最好是对方程________变形，用含_______

的代数式表示________．

8．如果-x+3y＝5，那么7+x-3y＝________．

9．方程组

5

25

xy

xy











的解满足方程x+y-a＝0，那么a的值是________．

10.若方程3x-13y＝12的解也是x-3y＝2的解，则x＝________，y＝_______．

11.小刚解出了方程组

33

2

xy

xy











▲

的解为

4x

y











▉

，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了

方程组中的一个数和解中的一个数，则▲＝________，▇＝________.

12.三年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，三年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，则父亲现

在的年龄是________岁，儿子现在的年龄是________岁．

三、解答题

13．用代入法解下列方程组：

(1)

522

33

xy

xy











①

②

(2)

23

3511

xy

xy











①

②

14．小明在解方程组时，遇到了困难，你能根据他的解题过程，帮他找出原因吗？并求出原

方程组的解．

解方程组

1237

61

xy

xy











①

②

解：由②，得y＝1-6x③

将③代入②，得6x+(1-6x)＝1（由于x消元，无法继续）

15．m为何值时，方程组

52

2312

xym

xym











的解互为相反数？

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】D；

2.【答案】D；

3.【答案】D；

【解析】移项，得321xy，系数化1得

21

3

y

x



.

4.【答案】B；

【解析】由x+3y＝0得3y＝﹣x，代入

3221

3223

yxxx

yxxx







.

5.【答案】D；

6.【答案】A；

【解析】将

2

1

x

y











代入

7

1

axby

axby











得

27

21

ab

ab











，解得

2

3

a

b











.

二、填空题

7.【答案】②；x，y；

8.【答案】2；

【解析】由-x+3y＝5得x－3y＝﹣5，代入7+x-3y=7+（﹣5）＝2.

9.【答案】-5；

【解析】由

5

25

xy

xy











解得

0

5

x

y











，代入x+y-a＝0，得a＝-5.

10．【答案】﹣2.5，﹣1.5；

【解析】联立方程组

31312

32

xy

xy











，解得

2.5

1.5

x

y











.

11.【答案】17，9；

【解析】将4x代入

33xy

得

9y

，即▇＝9，再将4x，

9y

代入

2xy▲

，

得▲＝

17.

12.【答案】51，15；

【解析】设父亲现在的年龄是

x

岁，儿子现在的年龄是y．由题意得：

34(3)

33(3)

xy

xy











，解得

51

15

x

y











.

三、解答题

13.【解析】

解：(1)由②得x＝3-3y③，将③代入①得，5(3-3y)-2y＝-2，解得y＝1，将y＝1代入③

得x＝0，故

0

1

x

y











．

(2)由①得y＝3-2x③，将③代入②得，3x-5(3-2x)＝11，解得x＝2，将x＝2代入③得

y＝-1，故

2

1

x

y











．

14.【解析】

解：无法继续的原因是变形所得的③应该代入①，不可代入②．

由②，得y＝1-6x③，将③代入①，得12x-3(1-6x)＝7．

解得

1

3

x，将

1

3

x代入③，得y＝-1．所以原方程组的解为

1

3

1

x

y















．

15.【解析】

解：由题意得x＝-y，把x＝-y代入方程得

52

2312

yym

yym











，

整理得

3

12

my

ym











①

②

．把②代入①，得m＝9．

所以m为9时，原方程组的解互为相反数．