导数基本公式

1

根本初等函数求导公式

(1)

0)(



C

(2)

1)(

xx

(3)

xxcos)(sin



(4)

xxsin)(cos



(5)

xx2c)(tan



(6)

xx2csc)(cot



(7)

xxxtanc)(c



(8)

xxxcotcsc)(csc



(9)

aaaxxln)(



(10)

(e)exx



(11)

ax

x

aln

1

)(log



(12)

x

x

1

)(ln



，

(13)

21

1

)(arcsin

x

x







(14)

21

1

)(arccos

x

x







(15)

2

1

(arctan)

1

x

x







(16)

2

1

(arccot)

1

x

x







函数的和、差、积、商的求导法那么

设

)(xuu

，

)(xvv

都可导，那么

〔1〕

vuvu











)(

〔2〕

uCCu







)(

〔

C

是常数〕

〔3〕

vuvuuv











)(

〔4〕

2v

vuvu

v

u























反函数求导法那么

假设函数

)(yx

在某区间

y

I

内可导、单调且

0)(



y

，那么它的反函数

)(xfy

在

对应区间x

I

内也可导，且

)(

1

)(

y

xf







或

dy

dx

dx

dy1



复合函数求导法那么

2

设

)(ufy

，而

)(xu

且

)(uf

及

)(x

都可导，那么复合函数

)]([xfy

的导数为

dydydu

dxdudx



或

()()yfux



２.双曲函数与反双曲函数的导数.

双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法那么求

出．

可以推出下表列出的公式：

(sh)chxx



(ch)shxx





2

1

(th)

ch

x

x





2

1

(arsh)

1

x

x





2

1

(arch)

1

x

x





2

1

(arth)

1

x

x







一、一个方程的情形

在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程

),(yxf

=0(1)

求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导

出隐函数的导数公式.

隐函数存在定理1设函数

),(yxF

在点

),(

00

yxP

的某一邻域内具有连续的偏导数，

且

0),(

00

yxF

，,

0),(

00

yxF

y，那么方程

),(yxF

=0在点

),(

00

yx

的某一邻域内恒能

唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数

)(xfy

，它满足条件

)(

00

xfy

，并有

y

x

F

F

dx

dy



(2)

公式〔2〕就是隐函数的求导公式

这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。

将方程(1)所确定的函数

)(xfy

代入，得恒等式

3

0))(,(xfxF

,

其左端可以看作是

x

的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍

然恒等，即得

,0











dx

dy

y

F

x

F

由于y

F

连续，且

0),(

00

yxF

y，所以存在(x

0

,y

0

)的一个邻域，在这个邻域内

0

y

F

，于

是得

.

y

x

F

F

dx

dy



如果

),(yxF

的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作

x

的复合函数而再

一次求导，即得

dx

dy

F

F

yF

F

x

dx

yd

y

x

y

x

















































2

2

.

2

3

22

22

y

xyyyxxyyxx

y

x

y

xyyyxy

y

xyzyxx

F

FFFFFFF

F

F

F

FFFF

F

FFFF































例1验证方程

0122yx

在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导

数、当

x

=0时，

1y

的隐函数

)(xfy

，并求这函数的一阶和二阶导数在

x

=0的值。

解设

),(yxF

122yx

，那么

yFxF

yx

2,2

,

02)1,0(,0)1,0(

y

FF

.因

此由定理1可知，方程

0122yx

在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导

数、当

x

=0时，

1y

的隐函数

)(xfy

。

下面求这函数的一阶和二阶导数

y

x

F

F

dx

dy



=

y

x



，

0

0



x

dx

dy

;

2

2

dx

yd

=

,

1

)(

33

22

22yy

xy

y

y

x

xy

y

yxy

















1

0

2

2



x

dx

yd

。

4

隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函

数，那末一个三元方程

F

(

zyx,,

)=0(3)

就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1一样，我们同样可以由三元函数

F

(

zyx,,

)的性质来断定由方程

F

(

zyx,,

)=0

所确定的二元函数

z

=

),(yx

的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。

隐函数存在定理2设函数

F

(

zyx,,

)在点

),,(

000

zyxP

的某一邻域内具有连续的偏

导数，且

0),,(

000

zyxF

，

0),,(

000

zyxF

z，那么方程

F

(

zyx,,

)=0在点

),,(

000

zyx

的

某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数

),(yxfz

，它满足条件

),(

000

yxfz

，并有

x

z





=z

x

F

F



,

y

z





=z

y

F

F



.(4)

这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导.

由于

F

(

yx,

,

f),(yx

)≡0,

将上式两端分别对

x

和

y

求导，应用复合函数求导法那么得

x

F

+z

F

x

z





=0,y

F

+z

F

y

z





=0。

因为z

F

连续，且

0),,(

000

zyxF

z,所以存在点

),,(

000

zyx

的一个邻域，在这个邻域内z

F

≠0，于是得

x

z





=z

x

F

F



,

y

z





=z

y

F

F



。

例2设

04222zzyx

，求

.

2

2

x

z





解设

F

(

zyx,,

)=

zzyx4222

，那么x

F

=2

x

,z

F

=

42z

.应用公式(4)，得

x

z





=

z

x

2

。

再一次

x

对求偏导数，得

2

2

x

z





2)2(

)2(

z

x

z

xz











5

.

)2(

)2(

)2(

2

)2(

3

22

2z

xz

z

z

x

xz



























二、方程组的情形

下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且

增加方程的个数，例如，考虑方程组











.0),,,(

,0),,,(

zuyxG

vuyxF

(5)

这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二

元函数。在这种情形下，我们可以由函数

F

、

G

的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二

元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。

隐函数存在定理3设函数

),,,(vuyxF

、

),,,(vuyxG

在点

),,,(

00000

vuyxP

的某一邻

域内具有对各个变量的连续偏导数，又

0),,,(

0000

vuyxF

，

0),,,(

0000

vuyxG

,且偏导

数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):

J

),(

),(

vu

GF





=

v

G

u

G

v

F

u

F

















在点

),,,(

00000

vuyxP

不等于零，那么方程组

0),,,(vuyxF

，

0),,,(vuyxG

在点

),,,(

0000

vuyx

的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数

),(),,(yxvvyxuu

，它满足条件

),(),,(

000000

uxvvyxuu

，并有

x

u







),(

),(1

vx

GF

J





,

vu

vu

vx

vx

GG

FF

GG

FF

x

v







),(

),(1

xu

GF

J





,

vu

vu

xu

xu

GG

FF

GG

FF

(6)

6

y

u







),(

),(1

vy

GF

J





,

vv

vu

vy

vy

GG

FF

GG

FF

y

v







J

1

),(

),(

yu

GF







.

uy

uy

uv

uv

FF

GG

FF

GG

这个定理我们不证.

例3设

1,0xvyuyvxu

，求

x

u





,

y

u





,

x

v





和

y

v





.

解此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。下面我们利用后

一种方法来做。

将所给方程的两边对

x

求导并移项，得



































.

,

v

x

v

x

x

u

y

u

x

v

y

x

u

x

在

022



yx

xy

yx

J

的条件下，

.

,

22

22

yx

xvyu

xy

yx

vy

ux

x

v

yx

yvxu

xy

yx

xv

yu

x

u





































将所给方程的两边对

y

求导，用同样方法在

022yxJ

的条件下可得

,

22yx

yuxv

y

u











.

22yx

yvxu

y

v









