三角和差公式

和差化积和积化和差公式

1、正弦、余弦的和差化积

2

sin

2

sin2coscos













【注意右式前的负号】

证明过程sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，

将以上两式的左右两边分别相加，得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，

设α+β=θ，α-β=φ

那么

2







，

2









把α，β的值代入，即得

sinθ+sinφ=2sin





2



cos

2



2、正切和差化积

tanα±tanβ=





coscos

)sin(

•



cotα±cotβ=





sinsin

)sin(

•



tanα+cotβ=





sincos

)cos(

•



tanα-cotβ=





sincos

)cos(

•





证明：左边=tanα±tanβ=









cos

sin

cos

sin



=





coscos

sincoscossin

•

••

=





coscos

)sin(

•



=右边

在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化

为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次

3、积化和差公式



2

coscos

sinsin







•（注意：此时差的余弦在和的余

弦前面）

或写作：



2

coscos

sinsin







•（注意：此时公式前有负号）

证明

积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：

其他的3个式子也是相同的证明方法。

结果除以2

这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，

其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。

也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数

2，如：

cos(α-β)-cos(α+β)

=1/2[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]

=2sinα·sinβ

故最后需要除以2。