胡克定律内容

胡克定律

摘要：关于胡克定律的发展历史，推导过程以及历史地位。

正文：胡克定律（Hooke'slaw），又译为虎克定律，是力学弹性理论中的一条基本定律，

表述为：固体材料受力之后，材料中的应力与应变（单位变形量）之间成线性关系。满足胡

克定律的材料称为线弹性或胡克型（英文Hookean）材料。从物理的角度看，胡克定律源于

多数固体（或孤立分子）内部的原子在无外载作用下处于稳定平衡的状态。

胡克证明了弹簧震动是等时的，还把弹簧应用于钟表制造。在物理学中主要用于研究与

弹簧有关的问题。测力计(有时叫弹簧秤):利用金属的弹性体制成标有刻度用以测量力的大

小的仪器，谓之“测力计”。测力计有各种不同的构造形式，但它们的主要部分都是弯曲有弹

性的钢片或螺旋形弹簧。当外力使弹性钢片或弹簧簧发生形变时，通过杠杆等传动机构带动

指针转动，指针停在刻度盘上的位置，即为外力的数值。有握力计等种类，而弹簧秤则是测

力计的最简单的一种。

关于胡克定律的推导过程：

许多实际材料，如一根长度为L、横截面积A的棱柱形棒，在力学上都可以用胡克定

律来模拟——其单位伸长（或缩减）量ε（应变）在常系数E（称为弹性模量）下，与拉（或

压）应力σ成正比例，即：

σ=Eε

或

其中ΔL为总伸长（或缩减）量。胡克定律用17世纪英国物理学家罗伯特·胡克的名字

命名。胡克提出该定律的过程颇有趣味，他于1676年发表了一句拉丁语字谜，谜面是：

ceiiinosssttuv。两年后他公布了谜底是：uttensiosicvis，意思是“力如伸长（那样变化）”，

这正是胡克定律的中心内容。胡克定律仅适用于特定加载条件下的部分材料。钢材在多数工

程应用中都可视为线弹性材料，在其弹性范围内（即应力低于屈服强度时）胡克定律都适用。

另外一些材料（如铝材）则只在弹性范围内的一部分区域行为符合胡克定律。对于这些材料

需要定义一个应力线性极限，在应力低于该极限时线性描述带来的误差可以忽略不计。还有

一些材料在任何情况下都不满足胡克定律（如橡胶），这种材料称为“非胡克型”

（non-hookean）材料。橡胶的刚度不仅和应力水平相关，还对温度和加载速率十分敏感。

胡克定律在磅秤制造、应力分析和材料模拟等方面有广泛的应用。

胡克定律应用的一个常见例子是弹簧。在弹性限度内，弹簧的弹力F和弹簧的长度变

化量x成线性关系，即：

F=−kx

式中k是弹簧的劲度系数（或称为倔强系数），它由弹簧材料的性质和几何外形所决定，负

号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反，这种弹力称为回复力，表示它有

使系统回复平衡的趋势。满足上式的弹簧称为线性弹簧。通过变形储存在弹簧中的弹性势能

为：

该式可以理解为弹簧在压缩过程中逐小段做负功的极限累加，数学上就是作用力对作用距离

的定积分（注意势能恒为正值）。

势能函数在U−x平面内是一段抛物线。随着弹簧沿x方向变形（无论拉伸还是压缩），

势能相应增加。非平衡状态时的势能总是高于平衡状态（x=0）时的势能。所以弹簧力的

作用总是使系统向势能减少的方向运动，正如在半山上的球在重力的作用下总是要往山下

（重力势能小的地方）滚一样。

如果将一块质量悬挂在这样一个弹簧的末端，然后对它施加一个轴向扰动（可以是敲打

或拉开一段距离突然松手），质量和弹簧组成的系统将会以下列固有角频率（又称共振角频

率）开始振动：

若要对处于三维应力状态下的材料进行描述，需要定义一个包含81个弹性常数的四阶

张量cijkl以联系二阶应力张量σij和应变张量（又称格林张量）εkl。

由于应力张量、应变张量和弹性系数张量存在对称性（应力张量的对称性就是材料力学

中的剪应力互等定理），81个弹性常数中对于最一般的材料也只有21个是独立的。

由于应力的单位量纲（力/面积）与压强相同，而应变是无量纲的，所以弹性常数张量cijkl中

每一个元素（分量）都具有压强的量纲。

对于固体材料大变形力学行为的描述需要用到新胡克型固体模型（neo-Hookeansolids）

和Mooney-Rivlin型固体模型。

各向同性材料（isotropicmaterials，也译作等向性材料）顾名思义就是（力学）性能沿

空间中不同方向不发生变化的材料。显然描述这种材料的物理方程的形式不应随坐标系的旋

转而改变。材料内部的应变张量也应该是对称的。由于任何张量的迹都是一个与所选坐标系

无关的量，所以可以完备地将一个对称张量分解为一个常张量（即除主对角线上的分量以外

均为0的张量）和一个迹为0的对称张量之和。即：

其中δij是一个二阶单位张量（通过克罗内克δ记号来定义）。上式右边第一项是一个常

张量，称为应变张量的静水压分量；右边第二项是一个迹为0的对称张量，称为剪应变分量。

对于各向同性材料，胡克定律最普遍的形式是将应力张量写成上述两个应变张量分量的线性

组合：

式中K称为体积模量（bulkmodulus），G是材料的剪切模量。利用弹性力学理论中的

弹性常数和实际工程应用中使用的弹性模量之间的关系，以上的关系还可写成其他形式，譬

如下面这组方程用应力张量来表示了应变张量：

式中Y称为杨氏模量，ν为泊松比。

正交各向异性材料

正交各向异性材料是非常常见的一种材料模型，这种材料有三个互相正交的材料对称

面；其三维胡克定理可以用矩阵表示为

此式中独立的材料常数为9个。注意式中三个剪切应力和三个剪切应变的顺序，不同

教科书可能会不同的选择。

各向同性材料也是正交各向异性材料的一种特例，即有无数个对称平面的情况。这时独

立材料常数只有2个，即杨氏模量和泊松比。

虽然现在看来，胡克定律只是一个简单而基础的定律，

人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例

子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从

17世纪开始的。

弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规

律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力

成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。

同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性

力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理

一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完

全错误的。

在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国

的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一

系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学

的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定

了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。

第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力

学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了

许多有效的计算方法。

结论：虽然现在看来，胡克定律只是一个简单而基础的定律，但是，显然它在弹性力学

发展的历史中依然有着重要的地位。弹性力学初期的发展几乎就是以胡克定律为标志的。百

尺高楼平地起，大约可以说明胡克定律的作用。

参考文献

▪[1]（冯元桢）,FoundationsofSolidMechanics,Prentice-HallInc.,

EnglewoodCliffs,NewJery,1965

▪[2],r,AdvancedStrengthandAppliedElasticity,4thed