数学证明方法

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高中数学正弦定理的五种证明方法

——王彦文青铜峡一中

1.利用三角形的高证明正弦定理

（1）当



ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，

有

sinCDaB

,

sinCDbA

。

由此，得

sinsin

ab

AB



，

同理可得

sinsin

cb

CB



，

故有

sinsin

ab

AB



sin

c

C



.从而这个结论在锐角三角形中成立.

（2）当



ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，

根据锐角三角函数的定义，有

sinsinCDaCBDaABC

，

sinCDbA

。由此，

得



sinsin

ab

AABC

，

同理可得



sinsin

cb

CABC

故有



sinsin

ab

AABCsin

c

C



.

由(1)(2)可知，在



ABC中，

sinsin

ab

AB



sin

c

C



成立.

从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即

sinsin

ab

AB



sin

c

C



.

2.利用三角形面积证明正弦定理

已知△ABC,设BC＝a,CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足为D.则Rt△ADB

中,

AB

AD

Bsin

,∴AD=AB·sinB=csinB.

∴S

△ABC

=

BacADasin

2

1

2

1

•

.同理,可证S△ABC

=

AbcCabsin

2

1

sin

2

1



.

∴S

△ABC

=

BacAbcCabsin

2

1

sin

2

1

sin

2

1



.∴absinc=bcsinA=acsinB,

在等式两端同除以ABC,可得

b

B

a

A

c

Csinsinsin



.即

C

c

B

b

A

a

sinsinsin



.

3.向量法证明正弦定理

(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于

AC

,则j与

AB

的夹角为

90°-A,j与

CB

的夹角为90°-C.由向量的加法原则可得

ABCBAC

,

ab

D

A

B

C

A

B

C

D

b

a

D

C

B

A

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为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量

j的数量积运算,得到

ABjCBACj••)(

由分配律可得

ABjCBjAC••

.B

∴|j|

AC

Cos90°+|j|

CB

Cos(90°-C)=|j|

AB

Cos(90°-A).j

∴asinC=csinA.∴

C

c

A

a

sinsin



.A

另外,过点C作与

CB

垂直的单位向量j,则j与

AC

的夹角为90°+C,j与

AB

的

夹角为90°+B,可得

B

b

C

c

sinsin



.

(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与

AC

的夹

角为90°-C,j与

AB

的夹角为90°-B)∴

C

c

B

b

A

a

sinsinsin



.

(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与

AC

垂直的单位向量j,则

j与

AB

的夹角为A-90°,j与CB的夹角为90°-C.

由

ABCBAC

,得j·

AC

+j·

CB

=j·

AB

,

j

即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.∴

C

c

A

a

sinsin



另外,过点C作与

CB

垂直的单位向量j,则j与

AC

的夹角为90°+C,j与

AB

夹角为90°+B.同理,可得

C

c

B

b

sinsin



.∴

C

c

B

b

simA

a

sinsin



4.外接圆证明正弦定理

在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆,O为圆心,

连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧

所对的圆周角相等可以得到

∠BAB′=90°，∠C=∠B′，

∴sinC=sinB′=

R

c

BC

2

sinsin





.∴

R

C

c

2

sin



.

A

C

C

BA

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同理,可得

R

B

b

R

A

a

2

sin

,2

sin



.∴

R

C

c

B

b

A

a

2

sinsinsin



.

这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式

C

c

B

b

A

a

sinsinsin



.

法一(平面几何)：在△ABC中，已知

,,ACbBCaC及

，求c。

过A作

sinsinADBCDADACCBCC于，是＝

，

coscos,CDACbc

在Rt

ABD

中，2222222(sin)(cos)2cosABADBDbcabcababc，

法二（平面向量）：

222()()22||||ABABACBCACBCACACBCBCACACBC

2

22cos(180)2cosBBCbabBa，即：2222coscababc

法三（解析几何）：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于

△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，

asinC)，C(0，0)．

|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2

=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C

=a2+b2－2abcosC，

即c2=a2+b2－2abcosC．

.

法五（用相交弦定理证明余弦定理）:

如图，在三角形ABC中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c。

现在以B为圆心，以长边AB为半径做圆，这里要用长

边的道理在于，这样能保证C点在圆内。BC的延长线交

圆B于点D和E

这样以来，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因为AG=2acosα，

所以CG=2acosα-c。根据相交弦定理有：

DC×CE=AC×CG，带入以后就是

(a-b)(a+b)=c(2acosα-c)

化简以后就得b2=a2+c2+2accosα。也就是我们的余弦定理。

如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，角平分线AD＝2cm，求此三角形

A

C

B

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面积.

分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式S

△ABC

＝

1

2

AB·AC·sinA，需求出sinA，而△ABC面积可以转化为S

△ADC

＋S

△ADB

，而S

△ADC

＝

1

2

AC·ADsin

A

2

，S

△ADB

＝

1

2

AB·AD·sin

A

2

，因此通过S

△ABC

＝S

△ADC

＋S

△ADB

建立关于含

有sinA，sin

A

2

的方程，而sinA＝2sin

A

2

cos

A

2

，sin2

A

2

＋cos2

A

2

＝1，故sinA

可求，从而三角形面积可求.

解：在△ABC中，S

△ABC

＝S

△ADB

＋S

△ADC

，

∴

1

2

AB·ACsinA＝

1

2

·AC·AD·sin

A

2

＋

1

2

·AB·ADsin

A

2

∴

1

2

·4·3sinA＝

1

2

·3·2sin

A

2

，∴6sinA＝7sin

A

2

∴12sin

A

2

cos

A

2

＝7sin

A

2

∵sin

A

2

≠0，∴cos

A

2

＝

7

12

，又0＜A＜π，∴0＜

A

2

＜

π

2

∴sin

A

2

＝1－cos2

A

2

＝

95

12

，

∴sinA＝2sin

A

2

cos

A

2

＝

795

72

，

∴S

△ABC

＝

1

2

·4·3sinA＝

795

12

（cm2）.

在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长.

解：设BC边为x，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝

x

2

，

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在△ADB中，cosADB＝

AD2＋BD2－AB2

2AD·BD

＝

42＋（

x

2

）2－52

2×4×

x

2

在△ADC中，cosADC＝

AD2＋DC2－AC2

2AD·DC

＝

42＋（

x

2

）2－32

2×4×

x

2

又∠ADB＋∠ADC＝180°

∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC.

∴

42＋（

x

2

）2－52

2×4×

x

2

＝－

42＋（

x

2

）2－32

2×4×

x

2

解得，x＝2

所以，BC边长为2.

2.在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，

求AB.

解：在△ADC中，

cosC＝

AC2＋DC2－AD2

2AC·DC

＝

72＋32－52

2×7×3

＝

11

14

，

又0＜C＜180°，∴sinC＝

53

14

在△ABC中，

AC

sinB

＝

AB

sinC

∴AB＝

sinC

sinB

AC＝

53

14

·2·7＝

56

2

.

3.在△ABC中，已知cosA＝

3

5

，sinB＝

5

13

，求cosC的值.

解：∵cosA＝

3

5

＜

2

2

＝cos45°，0＜A＜π

∴45°＜A＜90°，∴sinA＝

4

5

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∵sinB＝

5

13

＜

1

2

＝sin30°，0＜B＜π

∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°

若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符.

∴0°＜B＜30°cosB＝

12

13

∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝

3

5

·

12

13

－

4

5

·

5

13

＝

16

65

又C＝180°－（A＋B）.

∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－

16

65

.