凸函数的性质

.

;.

凹凸函数的性质

李联忠1文丽琼2

1营山中学四川营山6377002营山骆市中学四川营山638150

摘要：若函数f(x)为凹函数，则

n

fff

n

f

xxxxxxnn

)()()(

)(2121







若函数f(x)为凸函数，则

n

fff

n

f

xxxxxxnn

)()()(

)(2121







从而使一些重要不等式的证明更简明。

中图分类号：文献标识号：文章编号：

高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅

读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的

学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。下面介绍凹凸函数的

性质，并用来证明之，较简便易行。

凹函数定义若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)

叫做凹函数。如图（一）

凸函数定义若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)

叫做凸函数。如图（二）

性质定理若函数f(x)是凹函数，则

n

fff

n

f

xxxxxxnn

)()()(

)(2121







若函数f(x)是凸函数，则

n

fff

n

f

xxxxxxnn

)()()(

)(2121







证明：若函数f(x)是凹函数，如下图

.

;.

点P（)(,2121

n

f

n

xxxxxxnn



）在f(x)上

设过P点的切线方程为：y=ax+b则

b

n

a

n

f

xxxxxxnn







2121)(（1）

∵f(x)是凹函数，切线在函数图像下方

∴bafxx

11

)(;bafxx

22

)(;…;bafxxnn

)(

∴b

n

a

n

fffxxxxxxnn







2121

)()()(

(2)

由（1），（2）得

n

fff

n

f

xxxxxxnn

)()()(

)(2121







若函数f(x)为凸函数，如下图

点P（)(,2121

n

f

n

xxxxxxnn



）在f(x)上

设过P点的切线方程为：y=ax+b则

b

n

a

n

f

xxxxxxnn







2121)(（1）

∵f(x)是凸函数，切线在函数图像上方

∴bafxx

11

)(;bafxx

22

)(;…;bafxxnn

)(

.

;.

∴b

n

a

n

fffxxxxxxnn







2121

)()()(

(2)

由（1），（2）得

n

fff

n

f

xxxxxxnn

)()()(

)(2121







定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。下面证明均值不等式和高

斯不等式。

均值不等式：n

n

nxxx

xxx

n









21

21（0,,,

21

＞xxxn

）

证明：∵y=lgx是凸函数

∴

nn

xxxxxxnn

)lg()lg()lg(

)lg(2121







∴n

n

nxxx

xxx

n









21

21lg)lg(即

n

n

nxxx

xxx

n









21

21（0,,,

21

＞xxxn

）

高斯不等式：

xxxxxx

n

nn

111

2121

2









（0,,,

21

＞xxxn

）

证明：∵

x

y

1



(x>0)是凹函数

∴

n

n

xxx

xx

xn

n

111

)

1

21

2

1

(









／

即

xxxxxx

n

nn

111

2121

2









（0,,,

21

＞xxxn

）

以上两个不等式的证明，非常简明，下面再举几个性质定理应用的例子。

例1A、B、C为三角形三内角，求证sinA+sinB+sinC≤

2

33

证明：∵A、B、C为三角形三内角

∴A+B+C=πA>0B>0C>0

又∵y=sinx(0

∴

3

sin

3

sinsinsinCBACBA





.

;.

∴

3

sin

3

sinsinsinπ



CBA

即

SinA+sinB+sinC≤

2

33

例2求证

n

nxxx

n

xxxn

22

2

2

1

2

)(21







证明：∵xy2

为凹函数

∴

n

nxxx

n

xxxn

22

2

2

1

2

)(21







例3求证

n

nxxx

n

xxxk

n

kk

k

22

2

2

1

2

)(21







（k∈N

）

证明：∵xky2（k∈N

）为凹函数

∴

n

nxxx

n

xxxk

n

kk

k

22

2

2

1

2

)(21







通过以上例子，可以看出，关键在于找到合适的凹函数或凸函数，再用性质定

理，问题可得解决。