三角形面积计算

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[教学内容]五（上）第15～16页例4、例5，“试一试”和“练一练”，

练习三第1～3题。

[教材简析]三角形面积计算公式的推导，是研究探究性学习的一个比较典

型的案例。教材在推导三角形面积计算公式时先通过例４用图呈现了一个三角形

的面积是它所在的平行四边形面积的一半这个十分重要的数量关系。由此产生研

究三角形面积计算的方向和思路：能否从平行四边形面积算出三角形的面积?再

通过例5“从第127页上选一个三角形剪下来，看看与下面哪个三角形可以拼成

平行四边形”的思维策略，组织学生动手操作、合作交流，经历探索面积计算公

式的过程，这就为学生提供了操作的物质条件和具体的方法指导。

本设计充分重视直观操作对三角形面积的认识的支撑作用，通过看、比、贴、

剪、旋转等活动，调动学习的主动性和积极性，感受并探索三角形面积计算公式

的推导过程。通过创设问题情境，凸显数学思考，让学生经历猜想、实验、发现、

归纳等数学活动，积累探索学习的经验，提升数学思维水平，与此同时注重数学

学习与生活实际紧密联系，适当引导学生在数学知识学习过程中感受数学的文化

价值。

[教学目标]

1.引导学生用多种方法来推导三角形面积计算公式，沟通长方形、平行四边

形和三角形间的内在联系。

2.理解三角形的面积与形状无关，与底与高有联系，并会用面积计算公式

计算三角形面积。

3.通过操作让学生进一步学习用转化的思想方法解决新的问题。引导学生

积极探索解决问题的策略，发展动手操作、观察、分析推理能力，培养创新的意

识。

[教学重点]探究三角形面计算公式的由来，掌握三角形面积计算方法。

[教学难点]理解三角形面积与平行四边形、长方形面积之间的关系，沟通

相互之间的联系。

[教学准备]

课件、学具（剪下书后三角形、剪刀等）、教具：准备三个三角形、以及长

方形、正方形、平行四边形纸片各一张。

[教学过程]

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一、创设情境，引发猜想

1.教师出示一张三角形图片，要求学生指出它的底和高。并提问：猜想一下，

它会与我们已经学过的什么图形的面积有关？

(学生可能回答与平行四边形、长方形有关)

2.观察与联想：这里有几幅图，你们觉得三角形的面积可能与哪幅图的面积

有关，能根据这几幅图很快地说出刚才这个三角形的面积吗？

预设1：与第一个平行四边形的面积有关，三角形正好是它的一半，面积是

4×2÷2＝4平方分米。

引导讨论三角形与第一个平行四边形之间的关系：

提问：为什么三角形面积是它的一半？！能比划一下是怎么看的？

生比划，教师将三角形图片贴上去（如图）追问：另一半跟这个三角形有什

么关系？你怎么看出来的？

（一模一样大。用这个三角形跟上面的三角形比

一比就知道了。）

电脑演示：先旋转180度，再平移重合（略）

预设2：三角形与正方形的面积一样大。

教师引导学生说说你的发现。

（将三角形分成两半，正好可以拼成正方形。）

电脑演示割拼过程（略）

进而引导发现三角形的面积正好是正方形面积的一半。

预设3：三角形与中间长方形面积也有一半的关系。

教师适时引问：为什么呢？

在学生猜想后指出：没关系。这个问题，我们后面再讨论！

【设计意图】⑴研究新的数学问题，需要明确的方向和清晰的思路。这一点

在教学中尤为重要。这里的“转化”是启迪学生思维的关键，教学中创设了才想

的情景，旨在帮助学生迅速地江三角形的面积予以有的旧知识联结起来。这个情

4dm

2dm

2dm

2dm

4dm4dm

2dm

1dm

2dm

4dm

3

景的创设，既保留了一定的空间，又巧妙地点名了思路。⑵这里提供三个图，意

图有二：一是尽可能地丰富联结旧知的点，避免教学探究过于单调直接，而是为

后面的拓展进行孕伏，虽然学生没有说清楚这些图与三角形的联系。

二、实践探索，验证猜想

1.出示第二个三角形。⑴提问：这个三角形还能像上面一

样，割拼成一个长方形、正方形或者平行四边形吗？

在学生大胆猜想后引导想像一下，并在比划出来。

指导实践：我们来动手做一个这样的平行四边形。先来说

说，怎样做？然后指导学生有选择地利用书后P127

的三角形图形做一做。

学生动手实践，教师巡视，再组织集体交流。

教师先请学生演示，然后电脑演示（略）

⑵提问：观察一下，原来一个三角形的面积可以怎么算出来？

（3×2÷2＝3平方厘米）

3×2算的是什么？为什么除以2？

（是拼成的平行四边形的面积。因为一个三角形的面积应该等于平行四边形

面积的一半。）

2.出示第三个三角形（贴在黑板上）。

⑴提问：现在我们不摆了。你们能想象出与它有联系

的图形面积，再计算出这个三角形的面积？

⑵预设1：可以把它转成平行四边形

来计算（如图），4×1÷2＝2平方厘米，

预设2：还可以转化成长方形来计算

（如图），4×1÷2＝2平方厘米，

3.观察推理

⑴引导学生仔细观察：这三个三角形，求它们的面积都运用了什么办法？（都

转成平行四边形或者长方形。）

⑵先填表，再观察：三角形与转化后的平行四边形面积有什么关系？底与高

又有什么联系？

2dm

3cm

2dm

3cm

1dm

4cm

1dm

4cm

1dm

1dm

4cm

4

拼成的平行四边形三角形

底/cm高/cm面积/cm2底/cm高/cm面积/cm2

⑶计算任意一个三角形的面积你们有办法计算吗？怎么计算？

特别指出：这里的底乘以高其实就是哪个图形的面积？

（就是转化后的平行四边形的面积。）

板书：三角形的面积=底×高÷2.

如字母来表示三角形的面积公式，怎么表示？

板书：S＝a×h÷2

【设计意图】这里从动手实践到空间想想，较好地实现知识的内化。同时，

这里呈现的三角形，包含了各种形状的图形，素材丰富全面，促使学生对三角形

面积认识不再是个案的体会，而是实现了三角形本质联系的体验，同时也体现了

数学学习的严谨性和确定性。从这一片段的教学来看，教师在学生学习活动中的

引领作用不可忽视。

三、拓展延伸，文化渗透

1.现在我们回过头来看，第一个三角形与第二个平行四边形有什么联系。教

师将三角形移至第二个平行四边形上面（如图），指导学

生观察：这个三角形面积与平行四边形的面积有什么关

系？

引导学生发现，三角形的面积正好等于平行四边形的面积。只要把露出的三

角形的尖部分剪下来，再帖到右边，就能得到平行四边形了。

教师适时引问：上面的尖子，是不是随便剪呢？

指导学生开展小组讨论一下，并边尝试剪一剪：沿着三角形两条要的中点连

线剪下来就能拼成平行四边形了。

电脑演示剪贴过程（略）

观察一下，现在三角形的面积、底和高分别于平行四边形有什么联系？

学生回答后板书：平行四边形面积=底×高

5

三角形面积=底×（高÷2）=底×高÷2

2.再看第三幅图（如下），你们能看懂这个三角形与长方形的联系吗？

引导学生观察发现，这种转化的办法和刚才差不多，只是分别

从左右两边分别见下一个三角形，在分别贴上出，就能拼成一个正

方形了。电脑演示（略）

教师适时指出：这个办法，我们古人早就想出来了。请大家自学课本P16“你

知道吗？”

提问：什么叫“半广以乘正从”？

（广就是三角形的底，半广就是低的一半，用底的一半乘高，就是三角形的

面积。因为三角形的面积就是长方形的面积，长方形的面积是长乘宽，这里的长

就是三角形的底的一半，宽就是高。）

板书：长方形面积=长×宽

三角形面积=底÷2×高=底×高÷2

适时让学生说说读后感想，进行我国数学史文化教育。

【设计意图】这里的拓展，既拓宽了学生计算三角形面积计算新思路，又有

机教学渗透文化历史教育。尽管要解决的问题具有挑战性，探究的过程也有一定

的难度，但由于前面由浅入深的认知铺垫，学生的原有认知经验不断被激活，探

究意识与能力不断增强，相信学生在这一环节中一定会有更多的收获。

四、练习巩固，内化新知

⑴你能求出下列三角形的面积吗？

先独立练习，然后交流反馈：第二题围绕如何选条件来展开，第四题讨论能

不能用20×12÷2来计算？为什么？

【设计意图】突出三角形面积计算与底与高之间的对应关系。

⑵思考：比较下面两个涂色的三角形面积，哪个大？为什么？

12c

12dm

8dm

14m

10m

5m

20d

m

12d

m

6dm

6

【设计意图】引导学生探究三角形面积与哪些因素有关系，与形状有没有关

系。

五、总结全课，布置作业

1.说说本节课有哪些收获？

2.作业：完成练习三第2、3题。

[资料链接]

《九章算术》方田章论述了许多平面图形的面积计算方法。如：方田章第一

题“今有田广十五步，从(音纵zong)十六步。问为田几何。”“答曰：一亩”。这

里“广”就是宽，“从”即纵，指其长

度。“方田术曰：广从步数相乘得积步，

(得积步就是得到乘积的平方步数)以

亩法二百四十步(实质应为积步)除

之，即亩数。百亩为一顷。”当时称长方形为方田或直田。称三角形为圭田，面

积公式为“术曰：半广以乘正从”。这里广是指三角形的底边，正从是指底边上

的高，刘徽在注文中对这一计算公式实质上作了证明：“半广者，以盈补虚，为

直田也。”“亦可以半正从以乘广”(如图)。盈是多余，虚乃不足。“以盈补虚”

就是以多余部分填补不足的部分，这就是我国古代数学推导平面图形面积公式所

用的传统的“出入相补”的方法，由上图“以盈补虚”变圭田为与之等积的直田，

于是得到了圭田的面积计算公式。

5cm

5cm

3cm

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