三角函数和差公式

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教育学科教师辅导讲义

学员编号：年级：高一课时数：

学员姓名：辅导科目：数学学科教师：

课题三角函数和差公式和倍角公式

授课日期及时段

教学目的

1、学习并掌握三角函数的和差公式的推导过程；

2、理解并掌握倍角公式的推导过程及其应用；

3、能灵活利用和差公式进行分析求解问题。

教学内容

一、上次作业检查与讲解；

二、学习要求及方法的培养：

三、知识点分析、讲解与训练：

一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，

注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三

观察代数式的结构特点。基本的技巧有:

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变

换.如()()，2()()，2()()，

2

2







，

222









等），

(2)三角函数名互化(切割化弦)，

(3)公式变形使用（tantantan1tantan。

(4)三角函数次数的降升(降幂公式：2

1cos2

cos

2







，2

1cos2

sin

2







与升幂公式：

21cos22cos，21cos22sin)。

(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。

(6)常值变换主要指“1”的变换（221sincosxx22ctantancotxxxx

tansin

42



等），

(7)正余弦“三兄妹—sincossincosxxxx、”的内存联系――“知一求二”，

三、辅助角公式：22sincossinaxbxabx

(其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由tan

b

a

确定)在求最值、化简时起着重要作用。

例一、（1）下列各式中，值为

1

2

的是（）

A、1515sincosB、22

1212

cossin



C、

2

225

1225

tan.

tan.

D、

130

2

cos

；

（2）命题P：0tan(AB)，命题Q：0tanAtanB，则P是Q的（）

典例精讲

知识回顾

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A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件；

（3）已知

3

5

sin()coscos()sin，那么2cos的值为；

（4）

13

1080sinsin

的值是；

(5)已知0tan110a，求0tan50的值（用a表示）甲求得的结果是

3

13

a

a





，乙求得的结果是

21

2

a

a



，对

甲、乙求得的结果的正确性你的判断是。

例二、（1）化简tan(cossin)

sintan

cotcsc











；（2）求证：

2

1tan

1sin

2

12sin1tan

22















；

例三、(1)若

3

2

(,)，化简

1111

2

2222

cos为_____；

（2）函数2553f(x)sinxcosxcosx

5

3

2

(xR)的单调递增区间为_______

例四、（1）若方程

sin3cosxxc

有实数解，则

c

的取值范围是___________；

（2）当函数23ycosxsinx取得最大值时，tanx的值是；

（3）如果sin2cos()fxxx是奇函数，则tan=；

（4）求值：







20sin64

20cos

1

20sin

3

2

22

；

例五、（1）已知函数()sin()(0,0),fxAxaxR的最大值是1，其图像经过点

1

(,)

32

M



。

（1）求()fx的解析式；

（2）已知,(0,)

2



，且

312

(),(),

513

ff求()f的值。

（2）[2014·江西卷]已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈









－

π

2

，

π

2

。

(1)当a＝2，θ＝

π

4

时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；

(2)若f







π

2

＝0，f(π)＝1，求a，θ的值。

例六、（2012年高考（安徽理））设函数2

2

()cos(2)sin

24

fxxx





(I)求函数()fx的最小正周期；

(II)设函数()gx对任意xR,有()()

2

gxgx



,且当[0,]

2

x



时,

1

()()

2

gxfx,求函数()gx在

[,0]上的解析式。

1、（08北京）若角的终边经过点(12)P，，则

cos

=；tan2=。

巩固练习

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2

、化简

1sin4cos4

1sin4cos4









=()

2



2







3、tanθ和tan(

4



-θ)是方程x2+px+q=0的两根，则p、q之间的关系是()

A.p+q+1=0B.p-q-1=0

C.p+q-1=0D.p-q+1=0

4、[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，

终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)

在[0，π]上的图像大致为()

ABCD

5、[2014·全国卷]直线l

1

和l

2

是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l

1

与l

2

的交点为(1，3)，则l

1

与l

2

的夹角的正切值

等于________。

6、（1）化简

42

2

1

2cos2cos

2

2tan()sin()

44

xx

xx







（2）已知α是第一象限的角，且cosα

=

)42cos(

)

4

sin(

,

13

5









＋

求的值。

7、已知

)cos(

)2

2

sin(

sin3













·cosθ=1，θ∈(0，π)，求θ的值。

8、已知

4

0,sin

25



。

（Ⅰ）求

2

2

sinsin2

coscos2









的值；（Ⅱ）求

5

tan()

4



的值。

9、（2012年高考（北京理））已知函数

(sincos)sin2

()

sin

xxx

fx

x



。

(1)求()fx的定义域及最小正周期；

(2)求()fx的单调递增区间。

10、（2012年高考（福建理））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。

(1)2sin13cos17sin13cos17

(2)2sin15cos15sin15cos15

(3)2sin18cos12sin18cos12

(4)2sin(18)cos48sin(18)cos48

(5)2sin(25)cos55sin(25)cos55

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Ⅰ试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数

Ⅱ根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.

11、（2012年高考（广东理））(三角函数)已知函数2cos

6

fxx













(其中0xR)的最小正周期为10。

(Ⅰ)求



的值；

(Ⅱ)设



、0,

2













,

56

5

35

f









,

516

5

617

f









,求cos

的值。

12、[2014·广东卷]已知函数f(x)＝Asin









x＋

π

4

，x∈R，且f







5π

12

＝

3

2

。

(1)求A的值；

(2)若f(θ)＋f(－θ)＝

3

2

，θ∈









0，

π

2

，求f







3π

4

－θ

。

13、[2014·辽宁卷]已知函数f(x)＝(cosx－x)(π＋2x)－

8

3

(sinx＋1)，g(x)＝3(x－π)cosx－4(1＋sinx)ln









3－

2x

π

。

证明：

(1)存在唯一x

0

∈









0，

π

2

，使f(x

0

)＝0；

(2)存在唯一x

1

∈







π

2

，π

，使g(x

1

)＝0，且对(1)中的x

0

，有x

0

＋x

1

<π。

答案：证明：(1)当x∈









0，

π

2

时，f′(x)＝－(1＋sinx)·(π＋2x)－2x－

2

3

cosx<0，函数f(x)在









0，

π

2

上为减

函数．又f(0)＝π－

8

3

>0，f







π

2

＝－π2－

16

3

<0，所以存在唯一x

0

∈









0，

π

2

，使f(x

0

)＝0.

(2)记函数h(x)＝

3（x－π）cosx

1＋sinx

－4ln









3－

2

π

x

，x∈







π

2

，π

.

令t＝π－x，则当x∈







π

2

，π

时，t∈









0，

π

2

.

记u(t)＝h(π－t)＝

3tcost

1＋sint

－4ln









1＋

2

π

t

，则u′(t)＝

3f（t）

（π＋2t）（1＋sint）

.

由(1)得，当t∈(0，x

0

)时，u′(t)>0，

当t∈









x

0

，

π

2

时，u′(t)<0.

故在(0，x

0

)上u(t)是增函数，又u(0)＝0，从而可知当t∈(0，x

0

]时，u(t)>0，所以u(t)在(0，x

0

]上无零点．

在









x

0

，

π

2

上u(t)为减函数，由u(x

0

)>0，u







π

2

＝－4ln2<0，知存在唯一t

1

∈









x

0

，

π

2

，使u(t

1

)＝0，

故存在唯一的t

1

∈









0，

π

2

，使u(t

1

)＝0.

因此存在唯一的x

1

＝π－t

1

∈







π

2

，π

，使h(x

1

)＝h(π－t

1

)＝u(t

1

)＝0.

因为当x∈







π

2

，π

时，1＋sinx>0，故g(x)＝(1＋sinx)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x

1

∈







π

2

，π

，使g(x

1

)＝0.

因为x

1

＝π－t

1

，t

1

>x

0

，所以x

0

＋x

1

<π.