弦切角

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切线长定理、弦切角（一）定理、切割线定理、

相交弦定理

以及与圆有关的比例线段

［学习目标］

1.切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一

条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理

对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线

平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得

到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹

角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）

4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段

定理图形已知结论证法

相交弦定

理

⊙O中，AB、CD为弦，

交于P.

PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证：

△APC∽△DPB.

相交弦定

理的推论

⊙O中，AB为直径，

CD⊥AB于P.

PC2＝PA·PB.用相交弦定理.

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切割线定

理

⊙O中，PT切⊙O于T，

割线PB交⊙O于A

PT2＝PA·PB连结TA、TB，证：

△PTB∽△PAT

切割线定

理推论

PB、PD为⊙O的两条割

线，交⊙O于A、C

PA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，

用两次切割线定理

圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O

于A，CD为弦

P'C·P'D＝r2－

OP'2

PA·PB＝OP2－r2

r为⊙O的半径

延长P'O交⊙O于M，延

长OP'交⊙O于N，用相

交弦定理证；过P作切

线用切割线定理勾股定

理证

8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之

积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统

称为圆幂定理。

【典型例题】

例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切

点为F，交CD于E，求DE：AE的值。

图1

解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE

设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理

∴，，

例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝

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_________cm。

图2

解：由相交弦定理，得

AE·BE＝CE·DE

∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，

，

∴，

即

∴CE＝3cm或CE＝4cm。

故应填3或4。

点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。

例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则________。

解：∵∠P＝∠P

∠PAC＝∠B，

∴△PAC∽△PBA，

∴，

∴。

又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得

∴，

即，

故应填PC。

点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。

例4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果

PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。

图3

解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4

∴PB＝4PA

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又∵PC＝12cm

由切割线定理，得

∴

∴，

∴

∴PB＝4×6＝24（cm）

∴AB＝24－6＝18（cm）

设圆心O到AB距离为dcm，

由勾股定理，得

故应填。

例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点

D，（1）求证：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。

图4

点悟：要证，即要证△CED∽△CBE。

证明：（1）连结BE

（2）

。

又∵，

∴厘米。

点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。

例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。

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图5

求证：

证明：连结BD，

∵AE切⊙O于A，

∴∠EAD＝∠ABD

∵AE⊥AB，又AB∥CD，

∴AE⊥CD

∵AB为⊙O的直径

∴∠ADB＝90°

∴∠E＝∠ADB＝90°

∴△ADE∽△BAD

∴

∴

∵CD∥AB

∴AD＝BC，∴

例7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB

图6

点悟：由结论AD·BC＝CD·AB得，显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC

证明：∵PA切⊙O于A，

∴∠PAD＝∠PBA

又∠APD＝∠BPA，

∴△PAD∽△PBA

∴

同理可证△PCD∽△PBC

∴

∵PA、PC分别切⊙O于A、C

∴PA＝PC

∴

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∴AD·BC＝DC·AB

例8.如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D

点作⊙O的切线交AC于E。

图7

求证：BC＝2OE。

点悟：由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。而OA＝OB，只须证AE＝CE。

证明：连结OD。

∵AC⊥AB，AB为直径

∴AC为⊙O的切线，又DE切⊙O于D

∴EA＝ED，OD⊥DE

∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB

在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B

∵∠ODE＝90°

∴

∴∠C＝∠EDC

∴ED＝EC

∴AE＝EC

∴OE是△ABC的中位线

∴BC＝2OE

例9.如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E

是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G

为切点。

当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点；

图8

解：由∠DEF＝45°，得

，

∴∠DFE＝∠DEF

∴DE＝DF

又∵AD＝DC

∴AE＝FC

因为AB是圆B的半径，AD⊥AB，所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C。

又因为EF切圆B于点G，所以AE＝EG，FC＝FG。

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因此EG＝FG，即点G为线段EF的中点。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一、选择题

1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（）

A.B.C.5D.8

2.下列图形一定有内切圆的是（）

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.梯形

3.已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（）

图1

A.50°B.40°C.60°D.55°

4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（）

A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm

5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与

△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）

A.B.

C.D.

切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若

CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（）

A.20B.10C.5D.

二、填空题

、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝

_____________度。

8.已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝

5，则⊙O的半径长为_____________。

9.若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，，则PC的

长为_____________。

10.正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于

P，则_____________。

三、解答题

11.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于

点M，且DE∥AC，求DE的长。

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图2

12.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB平

分∠DCP。

图3

13.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且

BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半径。

图4

【试题答案】

一、选择题

1.A2.C3.A4.B5.B6.A

二、填空题

7.908.19.3010.

三、解答题：

11.由切线长定理得△BDE周长为4，由△BDE∽△BAC，得DE＝1cm

12.证明：连结AC，则AC⊥CB

∵CD⊥AB，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠1

∵PC为⊙O的切线，∴∠A＝∠2，又∠1＝∠2，

∴BC平分∠DCP

13.设BM＝MN＝NC＝xcm

又∵

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∴

又∵OA是过切点A的半径，∴OA⊥AB即AC⊥AB

在Rt△ABC中，由勾股定理，得，

由割线定理：，又∵

∴

∴半径为。