建模方法

数学建模简介及数学建

模常用方法

Documentrialnumber【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

数学模型是对于

现实世界的一个特定

对象，一个特定目

的，根据特有的内在

规律，做出一些必要

的假设，运用适当的

数学工具，得到一个

数学结构。简单地

说：就是系统的某种

特征的本质的数学表

达式（或是用数学术

语对部分现实世界的

描述），即用数学式

子（如函数、图形、

代数方程、微分方

程、积分方程、差分

方程等）来描述（表

述、模拟）所研究的

客观对象或系统在某

一方面的存在规律。

随着社会的发

展，生物、医学、社

会、经济……各学

科、各行业都涌现现

出大量的实际课题，

亟待人们去研究、去

解决。但是，社会对

数学的需求并不只是

需要数学家和专门从

事数学研究的人才，

而更大量的是需要在

各部门中从事实际工

作的人善于运用数学

知识及数学的思维方

法来解决他们每天面

临的大量的实际问

题，取得经济效益和

社会效益。他们不是

为了应用数学知识而

寻找实际问题（就像

在学校里做数学应用

题），而是为了解决

实际问题而需要用到

数学。而且不止是要

用到数学，很可能还

要用到别的学科、领

域的知识，要用到工

作经验和常

识。特别是在

现代社会，要

真正解决一个

实际问题几乎

都离不开计算

机。可以这样

说，在实际工

作中遇到的问

题，完全纯粹

的只用现成的数学知

识就能解决的问题几

乎是没有的。你所能

遇到的都是数学和其

他东西混杂在一起的

问题，不是“干净

的”数学，而是

“脏”的数学。其中

的数学奥妙不是明摆

在那里等着你去解

决，而是暗藏在深处

等着你去发现。也就

是说，你要对复杂的

实际问题进行分析，

发现其中的可以用数

学语言来描述的关系

或规律，把这个实际

问题化成一个数学问

题，这就称为数学模

型。

数学模型具有下

列特征：数学模型的

一个重要特征是高度

的抽象性。通过数学

模型能够将形象思维

转化为抽象思维，从

而可以突破实际系统

的约束，运

用已有的数

学研究成果

对研究对象

进行深入的

研究。数学

模型的另一

个特征是经

济性。用数

学模型研究

不需要过多的专用设

备和工具，可以节省

大量的设备运行和维

护费用，用数学模型

可以大大加快研究工

作的进度，缩短研究

周期，特别是在电子

计算机得到广泛应用

的今天，这个优越性

就更为突出。但是，

数学模型具有局限

性，在简化和抽象过

程中必然造成某些失

真。所谓“模型就是

模型”(而不是原

型)，即是该性质。

数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、

假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模

型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行

求解。简而言之,建立数学模型的这个过程就称为

数学建模。

模型是客观实

体有关属性的模

拟。陈列在橱窗中的飞机模型

外形应当像真正的飞机，至于

它是否真的能飞则无关紧要；然而参

加航模比赛的飞机模型则全然不同，

如果飞行性能不佳，外形再像飞机，

也不能算是一个好的模型。模型不一

定是对实体的一种仿照，也可以是对

实体的某些基本属性的抽象，例如，

一张地质图并不需要用实物来模拟，

它可以用抽象的符号、文字和数字来

反映出该地区的地质结构。数学模型

也是一种模拟，是用数学符号、数学

式子、程序、图形等对实际课题本质

属性的抽象而又简洁的刻画，它或能

解释某些客观现象，或能预测未来的

发展规律，或能为控制某一现象的发

展提供某种意义下的最优策略或较好

策略。数学模型一般并非现实问题的

直接翻版，它的建立常常既需要人们

对现实问题深入细微的观察和分析，

又需要人们灵活巧妙地利用各种数学

知识。这种应用知识从实际课题中抽

象、提炼出数学模型的过程就称为数

学建模。实际问题中有许多因素，在

建立数学模型时你不可能、也没有必

要把它们毫无遗漏地全部加以考虑，

只能考虑其中的最主要的因素，舍弃

其中的次要因素。数学模型建立起来

了，实际问题化成了数学问题，就可

以用数学工具、数学方法去解答这个

实际问题。如果有现成的数学工具当

然好。如果没有现成的数学工具，就

促使数学家们寻找和发展出新的数学

工具去解决它，这又推动了数学本身

的发展。例如，开普勒由行星运行的

观测数据总结出开普勒三定律，牛顿

试图用自己发现的力学定律去解释

它，但当时已有的数学工具是不够用

的，这促使了微积分的发明。求解数

学模型，除了用到数学推理以外，通

常还要处理大量数据，进行大量计

算，这在电子计算机发明之前是很难

实现的。因此，很多数学模型，尽管

从数学理论上解决了，但由于计算量

太大而没法得到有用的结果，还是只

有束之高阁。而电子计算机的出现和

迅速发展，给用数学模型解决实际问

题打开了广阔的道路。而在现在，要

真正解决一个实际问题，离了计算机

几乎是不行的。数学模型建立起来

了，也用数学方法或数值方法求出了

解答，是不是就万事大吉了呢不是。

既然数学模型只能近似地反映实际问

题中的关系和规律，到底反映得好不

好，还需要接受检验，如果数学模型

建立得不好，没有正确地描述所给的

实际问题，数学解答再正确也是没有

用的。因此，在得出数学解答之后还

要让所得的结论接受实际的检验，看

它是否合理，是否可行，等等。如果

不符合实际，还应设法找出原因，修

改原来的模型，重新求解和检验，直

到比较合理可行，才能算是得到了一

个解答，可以先付诸实施。但是，十

全十美的答案是没有的，已得到的解

答仍有改进的余地，可以根据实际情

况，或者继续研究和改进；或者暂时

告一段落，待将来有新的情况和要求

后再作改进。

应用数学知识去研究和和解决实

际问题，遇到的第一项工作就是建立

恰当的数学模型。

从这一意义上讲，可以说数学建

模是一切科学研究的基础。没有一个

较好的数学模型就不可能得到较好的

研究结果，所以，建立一个较好的数

学模型乃是解决实际问题的关键之

一。数学建模将各种知识综合应用于

解决实际问题中，是培养和提高同学

们应用所学知识分析问题、解决问题

的能力的必备手段之一。

建立数学模型的方法并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统

的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性?

建模的一般方法：

数学建模的一般方法

1．机理分析?

机理分析就是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机

理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。

（1）比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。

（2）代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。

（3）逻辑方法--是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际

问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。

（4）常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"

的表达式。

（5）偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。

2．测试分析方法?

测试分析方法就是将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻

求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事

先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。

回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函

数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。

时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。

将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试

方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法,在实际过程中用那一种方法建模

主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。

3．仿真和其他方法?

计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。

离散系统仿真--有一组状态变量。

连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图。

因子试验法--在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得

所需的模型结构。

人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到

系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。

建模的步骤一般分为下列几步：

1．模型准备。

首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，搜集各种必要的信息。

2．模型假设。

在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，找出

起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设，使

问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。一般地说，一个实际问题不

经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解。不同的简化假

设会得到不同的模型。假设作得不合理或过分简单，会导致模型失败或部分失

败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面

因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作。通常，作假设的

依据，一是出于对问题内在规律的认识。二是来自对数据或现象的分析，也可

以是二者的综合。作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等

数学建模的一般步骤

方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，

果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化，经验在这

里也常起重要作用。写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那

样。

3．模型构成。

根据所作的假设以及事物之间的联系，利用适当的数学工具去刻画各变量

之间的关系，建立相应的数学结构——即建立数学模型。把问题化为数学问

题。要注意尽量采取简单的数学工具，因为简单的数学模型往往更能反映事物

的本质，而且也容易使更多的人掌握和使用。

4．模型求解。

利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，这时往往还要做出

进一步的简化或假设。在难以得出解析解时，也应当借助计算机求出数值解。

5．模型分析。

对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖

关系或稳定状况，有时是根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能要给出

数学上的最优决策或控制，不论哪种情况还常常需要进行误差分析、模型对数

据的稳定性或灵敏性分析等。

6．模型检验。

分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果

结果不够理想，应该修改、补充假设或重新建模，有些模型需要经过几次反复,

不断完善。

7．模型应用。

所建立的模型必须在实际中应用才能产生效益，在应用中不断改进和完

善。应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的。

1.美国大学生数学建模竞赛简介?

1985年在美国出现了一种叫做

MCM的一年一度的大学生数学模型竞

赛（1987年全称是

MathematicalCompetitionin

Modeling，1988年改全称为Mathe-

-maticalContestinModeling,其缩写

均为MCM）。这并不是偶然的，在

1985年以前美国只有一种大学生数学

竞赛

（TheWilliamLowellPutnammathemat

icalCompetition,简称Putman或普

特南数学竞赛），这是由美国数学协

会（MAA--

MathematicalAssociationofAmerica

的缩写）主持，于每年12月的第一

个星期六分两试进行，每年一次。在

国际上产生很大影响，现已成为国际

性的大学生的一项着名赛事。该竞赛

每年2月或3月进行。

我国自1989年首次参加这

一竞赛，历届均取得优异成绩。经过

数年参加美国赛表明，中国大学生在

数学建模方面是有竞争力和创新联想

能力的。为使这一赛事更广泛地展

开，1990年先与“中国工业与应用数

学学会”后与“国家教委”联合主办

全国大学生数学建模竞赛（简称

CMCM），该项赛事每年9月进行。

2.中国大学生数学建模竞赛简介?

全国大学生数学建模竞赛（以下

简称竞赛）是国家教委高教司和中国

工业与应用数学学会共同主办的面向

全国大学生的群众性科技活动，目的

在于激励学生学习数学的积极性，提

高学生建立数学模型和运用计算机技

术解决实际问题的综合能力，鼓励广

大学生踊跃参加课外科技活动，开拓

知识面，培养创造精神及合作意识，

推动大学数学教学体系、教学内容和

方法的改革。竞赛题目一般来源于工

程技术和管理科学等方面经过适当简

化加工的实际问题，不要求参赛者预

先掌握深入的专门知识，只需要学过

普通高校的数学课程。题目有较大的

灵活性供参赛者发挥其创造能力。参

赛者应根据题目要求，完成一篇包括

模型的假设、建立和求解、计算方法

的设计和计算机实现、结果的分析和

检验、模型的改进等方面的论文（即

答卷）。竞赛评奖以假设的合理性、

建模的创造性、结果的正确性和文字

表述的清晰程度为主要标准。竞

赛一般在每年9月末的三天内举行。

大学生以队为单位参赛，每队3人，

专业不限。研究生不得参加。每队可

设一名指导教师（或教师组），从事

赛前辅导和参赛的组织工作，但在竞

赛期间必须回避参赛队员，不得进行

指导或参与讨论，否则按违反纪律处

理。竞赛期间参赛队员可以使用各种

图书资料、计算机和软件，在国际互

联网上浏览，但不得与队外任何人

（包括在网上）讨论。工作人员将密

封的赛题按时启封发给参赛队员，参

赛队在规定时间内完成答卷，并准时

交卷。各赛区组委会聘请专家组

成评阅委员会，评选本赛区的一等、

二等奖（也可增设三等奖），获奖比

例一般不超过三分之一，其余凡完成

合格答卷者获得成功参赛奖。各赛区

组委会按规定的比例将本赛区的优秀

答卷送全国竞赛组委会。全国竞赛组

委会聘请专家组成全国评委会，按统

一标准从各赛区送交的优秀答卷中评

选出全国一等、二等奖，获奖比例为

全国参赛队数的百分之十左右。全国

与各赛区的一、二等奖均颁发获奖证

书。竞赛成绩记入学生档案，对成绩

优秀的参赛学生，各院校在评优秀

生、奖学金及报考（或免试直升）研

究生时应予以适当考虑。

3.竞赛过程简介?

数学模型竞赛与通常的数学竞赛不同，它来自实际问题或有明确的实际背

景。它的宗旨是培养大学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，整个赛事

是完成一篇包括问题的阐述分析，模型的假设和建立，计算结果及讨论的论

文。通过训练和比赛，同学们不仅用数学方法解决实际问题的意识和能力有很

大提高，而且在团结合作发挥集体力量攻关，以及撰写科技论文等方面将都会

得到十分有益的锻炼。

.题型:

赛题题型结构形式有三个基本组成部分：

实际问题背景

1.涉及面宽--有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，

现代科学中出现的新问题等。

2.一般都有一个比较确切的现实问题。

若干假设条件?有如下几种情况：

（1）.只有过程、规则等定性假设，无具体定量数据；

（2）.给出若干实测或统计数据；

（3）.给出若干参数或图形；

（4）.蕴涵着某些机动、可发挥的补充假设条件，或参赛者可以根据自

己收集或模拟产生数据。

要求回答的问题往往有几个问题（一般不是唯一答案）:

（1）.比较确定性的答案（基本答案）；

（2）.

更细致或更高层次的讨论结果（往往是讨论最优方案的提法和结果）。

.竞赛答卷:

提交一篇论文，基本内容和格式大致分三大部分：

标题、摘要部分：

（1）．题目--写出较确切的题目（不能只写A题、B题）。

（2）．摘要--200-300字，包括模型的主要特点、建模方法和主

要结果。

（3）．内容较多时最好有个目录。

中心部分：

（1）．问题提出，问题分析。

（2）．模型建立：

①补充假设条件，明确概念，引进参数；②模型形式（可有多个形式

的模型）；

③模型求解；④模型性质；

（3）．计算方法设计和计算机实现。

（4）．结果分析与检验。

（5）．讨论--模型的优缺点，改进方向，推广新思想。

（6）．参考文献--注意格式。

附录部分：

（1）．计算程序，框图。

（2）．各种求解演算过程，计算中间结果。

（3）．各种图形、表格。