人教版九年级数学上册

-1-/260

成都戴氏高考中考学校荣县校区初中数学李庚老师

《人教版九年级上册全书教案》

第二十一章二次根式

教材内容

1．本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．

2．本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾

股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知

识的基础．

教学目标

1．知识与技能

（1）理解二次根式的概念．

（2）理解a（a≥0）是一个非负数，（a）2=a（a≥0），2a=a（a≥

0）．

（3）掌握a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b；

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0），

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）．

（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．

2．过程与方法

（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再

对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根

式的计算和化简．

（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规

定，•并运用规定进行计算．

（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它

进行化简．

（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简

-2-/260

二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，

成都戴氏高考中考学校荣县校区初中数学李庚老师

达到对二次根式进行计算和化简的目的．

3．情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，

经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、

发现问题的能力．

教学重点

1．二次根式a（a≥0）的内涵．a（a≥0）是一个非负数；（a）2＝a

（a≥0）；2a=a（a≥0）•及其运用．

2．二次根式乘除法的规定及其运用．

3．最简二次根式的概念．

4．二次根式的加减运算．

教学难点

1．对a（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（a）2＝a（a≥0）及

2a=a（a≥0）的理解及应用．

2．二次根式的乘法、除法的条件限制．

3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．

教学关键

1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．

2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学

生一丝不苟的科学精神．

单元课时划分

本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：

21．1二次根式3课时

21．2二次根式的乘法3课时

21．3二次根式的加减3课时

教学活动、习题课、小结2课时

21．1二次根式

第一课时

教学内容

-3-/260

二次根式的概念及其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重难点关键

1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

问题1：已知反比例函数y=

3

x

，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等

的点的坐标是___________．

问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么

AB边的长是__________．

B

A

C

问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这

次射击的方差是S2，那么S=_________．

老师点评：

问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以

x=3，所以所求点的坐标（3，3）．

问题2：由勾股定理得AB=10

问题3：由方差的概念得S=

4

6

.

二、探索新知

-4-/260

很明显3、10、

4

6

，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的

算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a

（a≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

（学生活动）议一议：

1．-1有算术平方根吗？

2．0的算术平方根是多少？

3．当a<0，a有意义吗？

老师点评:（略）

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、

1

x

、

x（x>0）、0、42、-2、

1

xy

、xy（x≥0，y•≥0）．

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开

方数是正数或0．

解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、xy（x≥0，y≥

0）；不是二次根式的有：33、

1

x

、42、

1

xy

．

例2．当x是多少时，31x在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥

0，•31x才能有意义．

解：由3x-1≥0，得：x≥

1

3

当x≥

1

3

时，31x在实数范围内有意义．

三、巩固练习

教材P练习1、2、3．

四、应用拓展

-5-/260

例3．当x是多少时，23x+

1

1x

在实数范围内有意义？

分析：要使23x+

1

1x

在实数范围内有意义，必须同时满足23x中的

≥0和

1

1x

中的x+1≠0．

解：依题意，得

230

10

x

x











由①得：x≥-

3

2

由②得：x≠-1

当x≥-

3

2

且x≠-1时，23x+

1

1x

在实数范围内有意义．

例4(1)已知y=2x+2x+5，求

x

y

的值．(答案:2)

(2)若1a+1b=0，求a2004+b2004的值．(答案:

2

5

)

五、归纳小结（学生活动，老师点评）

本节课要掌握：

1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

六、布置作业

1．教材P

8

复习巩固1、综合应用5．

2．选用课时作业设计．

3.课后作业:《同步训练》

第一课时作业设计

一、选择题

1．下列式子中，是二次根式的是（）

A．-7B．37C．xD．x

2．下列式子中，不是二次根式的是（）

A．

4

B．16C．8D．

1

x

3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）

-6-/260

A．5B．5C．

1

5

D．以上皆不对

二、填空题

1．形如________的式子叫做二次根式．

2．面积为a的正方形的边长为________．

3．负数________平方根．

三、综合提高题

1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需

要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？

2．当x是多少时，

23x

x



+x2在实数范围内有意义？

3．若3x+3x有意义，则2x=_______．

4.使式子2(5)x

有意义的未知数x有（）个．

A．0B．1C．2D．无数

5.已知a、b为实数，且5a+2102a=b+4，求a、b的值．

第一课时作业设计答案:

一、1．A2．D3．B

二、1．a（a≥0）2．a3．没有

三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=5．

2．依题意得：

230

0

x

x











，

3

2

0

x

x















∴当x>-

3

2

且x≠0时，

23x

x



＋x2在实数范围内没有意义．

3.

1

3

4．B

5．a=5，b=-4

-7-/260

21.1二次根式(2)

第二课时

教学内容

1．a（a≥0）是一个非负数；

2．（a）2=a（a≥0）．

教学目标

理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计

算和化简．

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负

数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后运用结

论严谨解题．

教学重难点关键

1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．

2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；•用探

究的方法导出（a）2=a（a≥0）．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）口答

1．什么叫二次根式？

2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？

老师点评（略）．

二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）

a（a≥0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

a（a≥0）是一个非负数．

-8-/260

做一做：根据算术平方根的意义填空：

（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）

2=_______；

（

1

3

）2=______；（

7

2

）2=_______；（0）2=_______．

老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平

方等于4的非负数，因此有（4）2=4．

同理可得：（

2

）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（

1

3

）2=

1

3

，（

7

2

）

2=

7

2

，（0）2=0，所以

（a）2=a（a≥0）

例1计算

1．（

3

2

）22．（35）23．（

5

6

）24．（

7

2

）2

分析：我们可以直接利用（a）2=a（a≥0）的结论解题．

解：（

3

2

）2=

3

2

，（35）2=32·（5）2=32·5=45，

（

5

6

）2=

5

6

，（

7

2

）2=

2

2

(7)7

24

．

三、巩固练习

计算下列各式的值：

（18）2（

2

3

）2（

9

4

）2（0）2（4

7

8

）2

22(35)(53)

四、应用拓展

-9-/260

例2计算

1．（1x）2（x≥0）2．（2a）23．（221aa）2

4．（24129xx）2

分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=

（a+1）≥0；

（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a≥0）的重要结论解题．

解：（1）因为x≥0，所以x+1>0

（1x）2=x+1

（2）∵a2≥0，∴（2a）2=a2

（3）∵a2+2a+1=（a+1）2

又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴221aa=a2+2a+1

（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2

又∵（2x-3）2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴（24129xx）2=4x2-12x+9

例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3（2）x4-4(3)2x2-3

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：

1．a（a≥0）是一个非负数；

2．（a）2=a（a≥0）;反之:a=（a）2（a≥0）．

六、布置作业

1．教材P

8

复习巩固2．（1）、（2）P

9

7．

2．选用课时作业设计．

3.课后作业:《同步训练》

第二课时作业设计

一、选择题

-10-/260

1．下列各式中15、3a、21b、22ab、220m、144，二次

根式的个数是（）．

A．4B．3C．2D．1

2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．

A．a>0B．a≥0C．a<0D．a=0

二、填空题

1．（-3）2=________．

2．已知1x有意义，那么是一个_______数．

三、综合提高题

1．计算

（1）（9）2（2）-（3）2（3）（

1

2

6）2（4）（-3

2

3

）2

(5)(2332)(2332)

2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:

（1）5（2）3.4（3）

1

6

（4）x（x≥0）

3．已知1xy+3x=0，求xy的值．

4．在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-2（2）x4-93x2-5

第二课时作业设计答案:

一、1．B2．C

二、1．32．非负数

三、1．（1）（9）2=9（2）-（3）2=-3（3）（

1

2

6）2=

1

4

×

6=

3

2

（4）（-3

2

3

）2=9×

2

3

=6(5)-6

2．（1）5=（5）2（2）3.4=（3.4）2

-11-/260

（3）

1

6

=（

1

6

）2（4）x=（x）2（x≥0）

3．

103

304

xyx

xy











xy=34=81

4.（1）x2-2=（x+2）（x-2）

（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+3）（x-3）

(3)略

21.1二次根式(3)

第三课时

教学内容

2a＝a（a≥0）

教学目标

理解2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．

通过具体数据的解答，探究2a=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问

题．

教学重难点关键

1．重点：2a＝a（a≥0）．

2．难点：探究结论．

3．关键：讲清a≥0时，2a＝a才成立．

教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式；

-12-/260

2．a（a≥0）是一个非负数；

3．(a)2＝a（a≥0）．

那么，我们猜想当a≥0时，2a=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个

问题．

二、探究新知

（学生活动）填空：

22=_______；20.01=_______；2

1

()

10

=______；

2

2

()

3

=________；20=________；2

3

()

7

=_______．

（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

22=2；20.01=0.01；2

1

()

10

=

1

10

；2

2

()

3

=

2

3

；20=0；2

3

()

7

=

3

7

．

因此，一般地：2a=a（a≥0）

例1化简

（1）9（2）2(4)（3）25（4）2(3)

分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，

（4）（-3）2=32，所以都可运用2a=a（a≥0）•去化简．

解：（1）9=23=3（2）2(4)=24=4

（3）25=25=5（4）2(3)

=23=3

三、巩固练习

教材P

7

练习2．

四、应用拓展

例2填空：当a≥0时，2a=_____；当a<0时，2a=_______，•并根据

这一性质回答下列问题．

-13-/260

（1）若2a=a，则a可以是什么数？

（2）若2a=-a，则a可以是什么数？

（3）2a>a，则a可以是什么数？

分析：∵2a=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格

就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，

2a=2()a

，那么-a≥0．

（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根

据（1）、（2）可知2a=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证

呢？a<0．

解：（1）因为2a=a，所以a≥0；

（2）因为2a=-a，所以a≤0；

（3）因为当a≥0时2a=a，要使2a>a，即使a>a所以a不存在；当

a<0时，2a=-a，要使2a>a，即使-a>a，a<0综上，a<0

例3当x>2，化简2(2)x

-2(12)x

．

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：2a=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，2a＝－a

的应用拓展．

六、布置作业

1．教材P

8

习题21．13、4、6、8．

2．选作课时作业设计．

3.课后作业:《同步训练》

第三课时作业设计

一、选择题

-14-/260

1．22

11

(2)(2)

33



的值是（）．

A．0B．

2

3

C．4

2

3

D．以上都不对

2．a≥0时，2a、2()a

、-2a，比较它们的结果，下面四个选项中

正确的是（）．

A．2a=2()a

≥-2aB．2a>2()a

>-2a

C．2a<2()a

<-2aD．-2a>2a=2()a

二、填空题

1．-0.0004=________．

2．若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________．

三、综合提高题

1．先化简再求值：当a=9时，求a+212aa的值，甲乙两人的解答如

下：

甲的解答为：原式=a+2(1)a

=a+（1-a）=1；

乙的解答为：原式=a+2(1)a

=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

2．若│1995-a│+2000a=a，求a-19952的值．

（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对

值）

3.若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+2(3)x

+21025xx。

答案:

一、1．C2．A

二、1．-0．022．5

三、1．甲甲没有先判定1-a是正数还是负数

2．由已知得a-•2000•≥0，•a•≥2000

-15-/260

所以a-1995+2000a=a，2000a=1995，a-2000=19952，

所以a-19952=2000．

3.10-x

21．2二次根式的乘除

第一课时

教学内容

a·b＝ab（a≥0，b≥0），反之ab=a·b（a≥0，b≥0）及其

运用．

教学目标

理解a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0），并

利用它们进行计算和化简

由具体数据，发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）并运用它进

行计算；•利用逆向思维，得出ab=a·b（a≥0，b≥0）并运用它进行

解题和化简．

教学重难点关键

重点：a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及

它们的运用．

难点：发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）．

关键：要讲清ab（a<0,b<0）=ab，如(2)(3)=(2)(3)或

(2)(3)=23=2×3．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题．

1．填空

-16-/260

（1）4×9=_______，49=______；

（2）16×25=_______，1625=________．

（3）100×36=________，10036=_______．

参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．

4×9_____49，16×25_____1625，100×

36________10036

2．利用计算器计算填空

（1）2×3______6，（2）2×5______10，

（3）5×6______30，（4）4×5______20，

（5）7×10______70．

老师点评（纠正学生练习中的错误）

二、探索新知

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．

老师点评：（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的

数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．

一般地，对二次根式的乘法规定为

a·b＝ab．（a≥0，b≥0）

反过来:ab=a·b（a≥0，b≥0）

例1．计算

（1）5×7（2）

1

3

×9（3）9×27（4）

1

2

×6

分析：直接利用a·b＝ab（a≥0，b≥0）计算即可．

解：（1）5×7=35

-17-/260

（2）

1

3

×9=

1

9

3



=3

（3）9×27=292793=93

（4）

1

2

×6=

1

6

2



=3

例2化简

（1）916（2）1681（3）81100

（4）229xy

（5）54

分析：利用ab=a·b（a≥0，b≥0）直接化简即可．

解：（1）916=9×16=3×4=12

（2）1681=16×81=4×9=36

（3）81100=81×100=9×10=90

（4）229xy

=23×22xy

=23×2x×2y

=3xy

（5）54=96=23×6=36

三、巩固练习

（1）计算（学生练习，老师点评）

①16×8②36×210③5a·

1

5

ay

(2)化简:20;18;

24

;54;2212ab

教材P

11

练习全部

四、应用拓展

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1）(4)(9)49

-18-/260

（2）

12

4

25

×25=4×

12

25

×25=4

12

25

×25=412=83

解：（1）不正确．

改正：(4)(9)=49＝4×9=2×3=6

（2）不正确．

改正：

12

4

25

×25=

112

25

×25=

112

25

25



=112=167＝47

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）a·b＝ab=（a≥0，b≥0），ab=a·b

（a≥0，b≥0）及其运用．

六、布置作业

1．课本P

15

1，4，5，6．（1）（2）．

2．选用课时作业设计．

3.课后作业:《同步训练》

第一课时作业设计

一、选择题

1．若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和

12

cm，•那么此直角

三角形斜边长是（）．

A．3

2

cmB．33cmC．9cmD．27cm

2．化简a

1

a



的结果是（）．

A．aB．aC．-aD．-a

3．等式2111xxx成立的条件是（）

A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-1

4．下列各等式成立的是（）．

A．45×25=85B．53×4

2

=205

-19-/260

C．43×32=75D．53×42=206

二、填空题

1．1014=_______．

2．自由落体的公式为S=

1

2

gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物

体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．

三、综合提高题

1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入

一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降

了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？

2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．

（1）2

2

3

=

2

2

3



验证：2

2

3

=22×

2

3

=

222

3



=

332(22)2

33





=

32

2222

2222(21)2

21212121







=

2

2

3



（2）3

3

8

=

3

3

8



验证：3

3

8

=23×

3

8

=

33

8

=

3

2

333

31





=

22

222

3(31)33(31)3

313131







=

3

3

8



同理可得：4

44

4

1515



5

55

5

2424



，……

-20-/260

通过上述探究你能猜测出：a

21

a

a

=_______（a>0）,并验证你的结论．

答案:

一、1．B2．C3.A4.D

二、1．1362．12s

三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，

则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，

x=3030×2=302．

2．a

21

a

a

=

21

a

a

a





验证：a

21

a

a

=

3

2

2211

aa

a

aa





=

33

222111

aaaaaa

aaa







=

2

22

(1)

11

aaa

aa







=

21

a

a

a





.

21．2二次根式的乘除

第二课时

教学内容

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0），反过来

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）及利用它们进行

计算和化简．

教学目标

理解

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）和

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）及利用它们进行运

算．

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向

-21-/260

思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．

教学重难点关键

1．重点：理解

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0），

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）及利用它

们进行计算和化简．

2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题：

1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．

2．填空

（1）

9

16

=________，

9

16

=_________；

（2）

16

36

=________，

16

36

=________；

（3）

4

16

=________，

4

16

=_________；

（4）

36

81

=________，

36

81

=________．

规律：

9

16

______

9

16

；

16

36

______

16

36

；

4

16

_______

4

16

；

36

81

_______

36

81

．

3．利用计算器计算填空:

（1）

3

4

=_________，（2）

2

3

=_________，（3）

2

5

=______，（4）

7

8

=________．

-22-/260

规律：

3

4

______

3

4

；

2

3

_______

2

3

；

2

5

_____

2

5

；

7

8

_____

7

8

。

每组推荐一名学生上台阐述运算结果．

（老师点评）

二、探索新知

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习

和回答，我们可以得到：

一般地，对二次根式的除法规定：

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0），

反过来，

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

例1．计算：（1）

12

3

（2）

31

28



（3）

11

416



（4）

64

8

分析：上面4小题利用

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）便可直接得出答案．

解：（1）

12

3

=

12

3

=

4

=2

（2）

31

28



=

313

834

282



=3×=23

（3）

11

416



=

111

16

4164



=

4

=2

（4）

64

8

=

64

8

=8=2

2

例2．化简：

（1）

3

64

（2）

2

2

64

9

b

a

（3）

2

9

64

x

y

（4）

2

5

169

x

y

-23-/260

分析：直接利用

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．

解：（1）

3

64

=

33

8

64



（2）

2

2

64

9

b

a

=

2

2

648

3

9

bb

a

a



（3）

2

9

64

x

y

=

2

93

8

64

xx

y

y



（4）

2

5

169

x

y

=

2

55

13

169

xx

y

y



三、巩固练习

教材P14练习1．

四、应用拓展

例3．已知

99

6

6

xx

x

x









，且x为偶数，求（1+x）

2

2

54

1

xx

x





的值．

分析：式子

a

b

=

a

b

，只有a≥0，b>0时才能成立．

因此得到9-x≥0且x-6>0，即6

解：由题意得

90

60

x

x











，即

9

6

x

x











∴6

∵x为偶数

∴x=8

∴原式=（1+x）

(4)(1)

(1)(1)

xx

xx





=（1+x）

4

1

x

x





-24-/260

=（1+x）

4

(1)

x

x





=(1)(4)xx

∴当x=8时，原式的值=49=6．

五、归纳小结

本节课要掌握

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）和

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）及其运

用．

六、布置作业

1．教材P

15

习题21．22、7、8、9．

2．选用课时作业设计．

3.课后作业:《同步训练》

第二课时作业设计

一、选择题

1．计算

112

121

335



的结果是（）．

A．

2

7

5B．

2

7

C．2D．

2

7

2．阅读下列运算过程：

133

3

333





，

22525

5

555





数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简

2

6

的结果是（）．

A．2B．6C．

1

3

6D．6

二、填空题

1．分母有理化:(1)

1

32

=_________;(2)

1

12

=________;(3)

10

25

=______.

-25-/260

2．已知x=3，y=4，z=5，那么yzxy的最后结果是_______．

三、综合提高题

1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为3：1，•现用

直径为315cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大

截面积是多少？

2．计算

（1）

32

nn

mm

·（-

3

3

1n

mm

）÷

32

n

m

（m>0，n>0）

（2）-3

22

2

33

2

mn

a



÷（

2

3

2

mn

a



）×

2a

mn

（a>0）

答案:

一、1．A2．C

二、1．(1)

3

6

;(2)

3

6

;(3)

10252

2

2525





2．

15

3

三、1．设：矩形房梁的宽为x（cm），则长为3xcm，依题意，

得：（3x）2+x2=（315）2，

4x2=9×15，x=

3

2

15（cm），

3x·x=3x2=

135

4

3（cm2）．

2．（1）原式＝-

4

252

nn

mm

÷

32

n

m

=-

43

25

2

2

nnm

mmn



=-

3

222

nnnn

n

mmmm

=-

2

3

n

n

m

-26-/260

（2）原式=-2

22

2

3()()

2

mnmnaa

amnmn







=-2

23

2

a

=-6a

21.2二次根式的乘除(3)

第三课时

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运

算．

教学目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次

根式．

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来

检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．

重难点关键

1．重点：最简二次根式的运用．

2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

1．计算（1）

3

5

，（2）

32

27

，（3）

8

2a

老师点评：

3

5

=

15

5

，

32

27

=

6

3

，

8

2a

=

2a

a

2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h

1

km，

h

2

km，•那么它们的传播半径的比是_________．

它们的比是1

2

2

2

Rh

Rh

．

二、探索新知

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下

两个特点：

1．被开方数不含分母；

2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

-27-/260

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次

根式．

学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．

老师点评：不是．

1

2

2

2

Rh

Rh

=12

11

222

2

2

hh

Rhh

Rhhh

.

例1．(1)

5

3

12

;(2)2442xyxy

;(3)238xy

例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的

长．

B

A

C

解：因为AB2=AC2+BC2

所以AB=222.56=2

516916913

()36

242

4



=6.5（cm）

因此AB的长为6.5cm．

三、巩固练习

教材P

14

练习2、3

四、应用拓展

例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简

二次根式：

1

21

=

1(21)21

21

(21)(21)









=2-1，

1

32

=

1(32)32

32

(32)(32)









=3-

2

，

同理可得：

1

43

=4-3，……

-28-/260

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

（

1

21

+

1

32

+

1

43

+……

1

20022001

）（2002+1）的值．

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有

理化后就可以达到化简的目的．

解：原式=（2-1+3-2+4-3+……+2002-2001）×

（2002+1）

=（2002-1）（2002+1）

=2002-1=2001

五、归纳小结

本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．

六、布置作业

1．教材P

15

习题21．23、7、10．

2．选用课时作业设计．

3.课后作业:《同步训练》

第三课时作业设计

一、选择题

1．如果

x

y

（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．

A．

x

y

（y>0）B．xy（y>0）C．

xy

y

（y>0）D．以

上都不对

2．把（a-1）

1

1a





中根号外的（a-1）移入根号内得（）．

A．1aB．1aC．-1aD．-1a

3．在下列各式中，化简正确的是（）

A．

5

3

=315B．

1

2

=±

1

2

2

-29-/260

C．4ab=a2bD．32xx=x1x

4．化简

32

27



的结果是（）

A．-

2

3

B．-

2

3

C．-

6

3

D．-2

二、填空题

1．化简422xxy

=_________．（x≥0）

2．a

2

1a

a





化简二次根式号后的结果是_________．

三、综合提高题

1．已知a为实数，化简：3a-a

1

a



，阅读下面的解答过程，请判断

是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：

解：3a-a

1

a



=aa-a·

1

a

a=（a-1）a

2．若x、y为实数，且y=

22441

2

xx

x





，求xyxy的值．

答案:

一、1．C2．D3.C4.C

二、1．x22xy

2．-1a

三、1．不正确，正确解答：

因为

30

1

0

a

a















，所以a<0，

原式＝2aa-a·

2

a

a



=a·2a-a·

2

a

a



=-aa+a=(1-a)

-30-/260

a

2．∵

2

2

40

40

x

x















∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y=

1

4

∴22

163

4

164

xyxyxy

.

21.3二次根式的加减(1)

第一课时

教学内容

二次根式的加减

教学目标

理解和掌握二次根式加减的方法．

先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法

的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．

重难点关键

1．重点：二次根式化简为最简根式．

2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．

教学过程

一、复习引入

学生活动：计算下列各式．

（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3

教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类

项合并就是字母不变，系数相加减．

二、探索新知

学生活动：计算下列各式．

（1）2

2

+3

2

（2）28-38+58

（3）7+27+397（4）33-23+

2

老师点评：

（1）如果我们把

2

当成x，不就转化为上面的问题吗？

-31-/260

22+32=（2+3）2=52

（2）把8当成y；

28-38+58=（2-3+5）8=48=82

（3）把7当成z；

7+27+97

=27+27+37=（1+2+3）7=67

（4）3看为x，2看为y．

33-23+2

=（3-2）3+2

=3+2

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如22与8表面上看是

不相同的，但它们可以合并吗？可以的．

（板书）3

2

+8=3

2

+2

2

=5

2

33+27=33+33=63

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被

开方数相同的二次根式进行合并．

例1．计算

（1）8+18（2）16x+64x

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将

相同的最简二次根式进行合并．

解：（1）8+18=2

2

+3

2

=（2+3）

2

=5

2

（2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x

-32-/260

例2．计算

（1）348-9

1

3

+312

（2）（48+20）+（12-5）

解：（1）348-9

1

3

+312=123-33+63=（12-3+6）3=153

（2）（48+20）+（12-5）=48+20+12-5

=43+25+23-5=63+5

三、巩固练习

教材P

19

练习1、2．

四、应用拓展

例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（

2

9

3

xx

+y2

3

x

y

）-（x2

1

x

-

5x

y

x

）的值．

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）

2+（y-3）2=0，即x=

1

2

，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化

成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．

解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0

∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0

∴（2x-1）2+（y-3）2=0

∴x=

1

2

，y=3

原式=

2

9

3

xx

+y2

3

x

y

-x2

1

x

+5x

y

x

=2xx+xy-xx+5xy

=xx+6xy

-33-/260

当x=

1

2

，y=3时，

原式=

1

2

×

1

2

+6

3

2

=

2

4

+36

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）

相同的最简二次根式进行合并．

六、布置作业

1．教材P

21

习题21．31、2、3、5．

2．选作课时作业设计．

3.课后作业:《同步训练》

第一课时作业设计

一、选择题

1．以下二次根式：①

12

；②22；③

2

3

；④27中，与3是同类二

次根式的是（）．

A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④

2．下列各式：①33+3=63；②

1

7

7=1；③2+6=8=22；④

24

3

=2

2

，其中错误的有（）．

A．3个B．2个C．1个D．0个

二、填空题

1．在8、

1

75

3

a

、

2

9

3

a

、125、3

2

3a

a

、30.2、-2

1

8

中，与

3a是同类二次根式的有________．

2．计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是________．

三、综合提高题

1．已知5≈2.236，求（80-

4

1

5

）-（

1

3

5

+

4

45

5

）的值．（结果

精确到0.01）

-34-/260

2．先化简，再求值．

（6x

y

x

+3

3

xy

y

）-（4x

x

y

+36xy），其中x=

3

2

，y=27．

答案:

一、1．C2．A

二、1．

1

75

3

a3

2

3a

a

2．6b-2a

三、1．原式=45-

3

5

5-

4

5

5-

12

5

5=

1

5

5≈

1

5

×2.236≈0.45

2．原式=6xy+3xy-（4xy+6xy）=（6+3-4-6）xy=-xy，

当x=

3

2

，y=27时，原式=-

3

27

2



=-

9

2

2

21.3二次根式的加减(2)

第二课时

教学内容

利用二次根式化简的数学思想解应用题．

教学目标

运用二次根式、化简解应用题．

通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解

应用题．

重难点关键

讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．

教学过程

一、复习引入

上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步

骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的

二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．

二、探索新知

例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1

厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的

-35-/260

速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少

厘米？（结果用最简二次根式表示）

B

A

C

Q

P

分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据

三角形面积公式就可以求出x的值．

解：设x后△PBQ的面积为35平方厘米．

则有PB=x，BQ=2x

依题意，得：

1

2

x·2x=35

x2=35

x=35

所以35秒后△PBQ的面积为35平方厘米．

PQ=2222245535PBBQxxx

=57

答：35秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为57厘米．

例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，•只需知

道这四段的长度．

解：由勾股定理，得

AB=22224220ADBD=25

-36-/260

BC=222221BDCD=5

所需钢材长度为

AB+BC+AC+BD

=25+5+5+2

=35+7

≈3×2.24+7≈13.7（m）

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材．

三、巩固练习

教材P19练习3

四、应用拓展

例3．若最简根式343abab与根式23226abbb是同类二次根式，求

a、b的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相

同；•事实上，根式23226abbb不是最简二次根式，因此把

23226abbb化简成|b|·26ab，才由同类二次根式的定义得3a-

•b=•2，2a-b+6=4a+3b．

解：首先把根式23226abbb化为最简二次根式：

23226abbb=2(216)ba

=|b|·26ab

由题意得

4326

32

abab

ab











∴

246

32

ab

ab











∴a=1，b=1

五、归纳小结

本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．

六、布置作业

1．教材P

21

习题21．37．

2．选用课时作业设计．

-37-/260

3.课后作业:《同步训练》

作业设计

一、选择题

1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为

（）．（•结果用最简二次根式）

A．52B．50C．25D．以上都不对

2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了

增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）

米．（结果同最简二次根式表示）

A．13100B．1300C．1013D．513

二、填空题

1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是

1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）

2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，•那么这个等腰直角三角

形的周长是________．（结果用最简二次根式）

三、综合提高题

1．若最简二次根式2

2

32

3

m

与21

2410nm是同类二次根式，求m、n

的值．

2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定

熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都

可以看作是一个数的平方，如3=（3）2，5=（5）2，你知道是谁的二次根

式呢？下面我们观察：

（2-1）2=（2）2-2·1·2+12=2-22+1=3-22

反之，3-22=2-22+1=（2-1）2

∴3-22=（2-1）2

∴322=

2

-1

求：（1）322；

-38-/260

（2）

423

；

（3）你会算412吗？

（4）若

2ab

=mn，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理

由．

答案:

一、1．A2．C

二、1．2022．2+22

三、1．依题意，得

22

2

32410

12

mm

n















，

2

2

8

3

m

n















，

22

3

m

n















所以

22

3

m

n















或

22

3

m

n















或

22

3

m

n















或

22

3

m

n















2．（1）322=2(21)=2+1

（2）

423

=2(31)=3+1

（3）412=2423(31)=3-1

（4）

mna

mnb











理由：两边平方得a±2b=m+n±2mn

所以

amn

bmn











-39-/260

21.3二次根式的加减(3)

第三课时

教学内容

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相

除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．

教学目标

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应

用．

复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等

运算．

重难点关键

重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题:

1．计算

（1）（2x+y）·zx（2）（2x2y+3xy2）÷xy

2．计算

（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单

项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平

方公式；（5）平方差公式的运用．

二、探索新知

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立

呢？•仍成立．

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一

切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根

式．

例1．计算:

（1）（6+8）×3（2）（46-3

2

）÷2

2

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可

用整式的运算规律．

解：（1）（6+8）×3=6×3+8×3

-40-/260

=18+24=32+26

解：（46-32）÷22=46÷22-32÷22

=23-

3

2

例2．计算

（1）（5+6）（3-5）（2）（10+7）（10-7）

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算

中仍然成立．

解：（1）（5+6）（3-5）

=35-（5）2+18-65

=13-35

（2）（10+7）（10-7）=（10）2-（7）2

=10-7=3

三、巩固练习

课本P

20

练习1、2．

四、应用拓展

例3．已知

xb

a



=2-

xa

b



，其中a、b是实数，且a+b≠0，

化简

1

1

xx

xx





+

1

1

xx

xx





，并求值．

分析：由于（1x+x）（1x-x）=1，因此对代数式的化简，可

先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化

简得结果即可．

解：原式=

2(1)

(1)(1)

xx

xxxx





+

2(1)

(1)(1)

xx

xxxx





=

2(1)

(1)

xx

xx





+

2(1)

(1)

xx

xx





-41-/260

=（x+1）+x-2(1)xx+x+2(1)xx

=4x+2

∵

xb

a



=2-

xa

b



∴b（x-b）=2ab-a（x-a）

∴bx-b2=2ab-ax+a2

∴（a+b）x=a2+2ab+b2

∴（a+b）x=（a+b）2

∵a+b≠0

∴x=a+b

∴原式=4x+2=4（a+b）+2

五、归纳小结

本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．

六、布置作业

1．教材P

21

习题21．31、8、9．

2．选用课时作业设计．

3.课后作业:《同步训练》

作业设计

一、选择题

1．（

24

-315+2

2

2

3

）×

2

的值是（）．

A．

20

3

3-330B．330-

2

3

3

C．230-

2

3

3D．

20

3

3-30

2．计算（x+1x）（x-1x）的值是（）．

A．2B．3C．4D．1

二、填空题

1．（-

1

2

+

3

2

）2的计算结果（用最简根式表示）是________．

2．（1-23）（1+23）-（23-1）2的计算结果（用最简二次根式表

示）是_______．

-42-/260

3．若x=2-1，则x2+2x+1=________．

4．已知a=3+22，b=3-22，则a2b-ab2=_________．

三、综合提高题

1．化简

57

10141521





2．当x=

1

21

时，求

2

2

1

1

xxx

xxx





+

2

2

1

1

xxx

xxx





的值．（结果用最简

二次根式表示）

课外知识

1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数

相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同

的二次根式．

练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．

A．2x与2yB．34

8

9

ab

与58

9

2

ab

C．mn与nD．mn与mn

2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用

平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根

式：如x+1-22xx与x+1+22xx就是互为有理化因式；x与

1

x

也是互

为有理化因式．

练习：

2

+3的有理化因式是________；

x-y的有理化因式是_________．

-1x-1x的有理化因式是_______．

3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一

个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．

练习：把下列各式的分母有理化

-43-/260

（1）

1

51

；（2）

1

123

；（3）

2

62

；（4）

3342

3342





．

4．其它材料：如果n是任意正整数，那么

21

n

n

n





=n

21

n

n

理由：

21

n

n

n





=

33

2211

nnnn

nn







=n

21

n

n

练习：填空

2

2

3

=_______；

3

3

8

=________；

4

4

15

=_______．

答案:

一、1．A2．D

二、1．1-

3

2

2．43-243．24．42

三、1．原式＝

57

25273537





=

57

2(57)3(57)





=

1

23

=-（

2

-3）=3-

2

2．原式＝

2222

222

(1)(1)

(1)()

xxxxxx

xxx





=

222(1)()2

1

xxx

x





=

2(1)(1)

1

xxx

x





=2（2x+1）

∵x=

1

21

=2+1原式＝2（22+3）=42+6.

-44-/260

二次根式复习课

教学目标

1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根

式的式子；

2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．

教学重点和难点

重点：含二次根式的式子的混合运算．

难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．

教学过程设计

一、复习

1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立

的条件．

指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化

简二次根式．

2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．

指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二

次根式相除，

计算结果要把分母有理化．

3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关

系式：

4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可

逆的式子：

-45-/260

二、例题

例1x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：

分析：

(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意

义；

(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意

义；

(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必

须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．

-46-/260

x≥-2且x≠0．

解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以

例3

-47-/260

分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因

式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，

化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．

解因为1-a＞0，3-a≥0，所以

a＜1，|a-2|＝2-a．

(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．

这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清

楚是怎样满足这些条件的．

-48-/260

问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完

全平方式？

分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计

算．

-49-/260

解

注意：

所以在化简过程中，

例6

-50-/260

分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行

计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个

式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简

捷．

a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，

三、课堂练习

1．选择题：

A．a≤2B．a≥2

C．a≠2D．a＜2

A．x+2B．-x-2

C．-x+2D．x-2

A．2xB．2a

C．-2xD．-2a

2．填空题：

-51-/260

4．计算：

四、小结

1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础

知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．

-52-/260

2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的

使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，

以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．

3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要

注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．

4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基

本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子

的化简、计算及求值等问题．

五、作业

1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？

2．把下列各式化成最简二次根式：

-53-/260

第二十三章旋转

单元要点分析

教学内容

1．主要内容：

图形的旋转及其有关概念：包括旋转、旋转中心、旋转角．图形旋转的有

关性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等

于旋转角，旋转前、后的图形全等．通过不同形式的旋转，设计图案．中心对

称及其有关概念：中心对称、对称中心、关于中心的对称点；关于中心对称的

两个图形．中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中

心所平分；关于中心对称的两个图形是全等图形．中心对称图形：概念及性

质：包括中心对称图形、对称中心．关于原点对称的点的坐标：两个点关于原

点对称时，它们的坐标符号都相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′

（-x，-y）．课题学习．图案设计．

2．本单元在教材中的地位与作用：

学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的

学习，初步积累了一定的图形变换数学活动经验．本章在此基础上，让学生进

行观察、分析、画图、简单图案的欣赏与设计等操作性活动形成图形旋转概

念．它又对今后继续学习数学，尤其是几何，包括圆等内容的学习起着桥梁铺

垫之作用．

教学目标

1．知识与技能

了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质．

了解中心对称的概念并理解它的基本性质．

了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通

过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法．

2．过程与方法

（1）让学生感受生活中的几何，•通过不同的情景设计归纳出图形旋转的

有关概念，并用这些概念来解决一些问题．

（2）•通过复习图形旋转的有关概念从中归纳出“对应点到旋转中心的距

离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全

-54-/260

等”等重要性质，并运用它解决一些实际问题．

（3）经历复习图形的旋转的有关概念和性质，分析不同的旋转中心，•不

同的旋转角，出现不同的效果并对各种情况进行分类．

（4）复习对称轴和轴对称图形的有关概念，•通过知识迁移讲授中心对称

图形和对称中心的有关内容，并附加练习巩固这个内容．

（5）通过几何操作题，探究猜测发现规律，并给予证明，附加例题进一

步巩固．

（6）复习中心对称图形和对称中心的有关概念，然后提出问题，让学生

观察、•思考，老师归纳得出中心对称图形和对称中心的有关概念，最后用一

些例题、练习来巩固这个内容．

（7）复习平面直角坐标系的有关概念，•通过实例归纳出两个点关于原点

对称时，坐标符号之间的关系，并运用它解决一些实际问题．

（8）通过复习平移、轴对称、旋转等有关概念研究如何进行图形设计．

3．情感、态度与价值观

让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，从事图形旋转基本

性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意

识．让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，

获得知识，体验成功，享受学习乐趣．让学生从事应用所学的知识进行图案设

计的活动，享受成功的喜悦，激发学习热情．

教学重点

1．图形旋转的基本性质．

2．中心对称的基本性质．

3．两个点关于原点对称时，它们坐标间的关系．

教学难点

1．图形旋转的基本性质的归纳与运用．

2．中心对称的基本性质的归纳与运用．

教学关键

1．利用几何直观，经历观察，产生概念；

2．利用几何操作，通过观察、探究，•用不完全归纳法归纳出图形的旋转

和中心对称的基本性质．

单元课时划分

本单元教学时间约需10课时，具体分配如下：

23．1图形的旋转3课时

23．2中心对称4课时

23．3课题学习；图案设计1课时

教学活动、习题课、小结2课时

23.1图形的旋转（1）

-55-/260

第一课时

教学内容

1．什么叫旋转？旋转中心？旋转角？

2．什么叫旋转的对应点？

教学目标

了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用

它们解决一些实际问题．

通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观

察，产生概念，应用概念解决一些实际问题．

重难点、关键

1．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用．

2．难点与关键：从活生生的数学中抽出概念．

教具、学具准备

小黑板、三角尺

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下面各题．

1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后

的图形．

2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′

B′C′．

3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？

（口述）老师点评并总结：

（1）平移的有关概念及性质．

（2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）•的对称图形并口述它既有

的一些性质．

（3）什么叫轴对称图形？

二、探索新知

我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回

-56-/260

答是肯定的，下面我们就来研究．

1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？•

从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？

（口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中

心．•如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了

______度．

2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新

的位置？（老师点评略）

3．第1、2两题有什么共同特点呢？

共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可

以绕着某一固定点转动一定的角度．

像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点

O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．

如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对

应点．

下面我们来运用这些概念来解决一些问题．

例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕

O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：

（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？

（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？

解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角．

（2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置．

例2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正

方形．

（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转

得到的？

（2）请画出旋转中心和旋转角．

（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位

置？

（老师点评）

（1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的．（2）•画

图略．（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H．

最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，•但旋转角

和对应点都是不唯一的．

三、巩固练习

教材P65练习1、2、3．

四、应用拓展

例3．两个边长为1的正方形，如图所示，•让一个正方形的顶点与另一个

-57-/260

正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为

1

4

，现把其中一个正方形固定不

动，•另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面

积是否发生变化？•说明理由．

分析：设任转一角度，如图中的虚线部分，•要说明旋转后正方形重叠部

分面积不变，只要说明S

△OEE`

=S

△ODD`

，那么只要说明△OEF′≌△ODD′．

解：面积不变．

理由：设任转一角度，如图所示．

在Rt△ODD′和Rt△OEE′中

∠ODD′=∠OEE′=90°

∠DOD′=∠EOE′=90°-∠BOE

OD=OD

∴△ODD′≌△OEE′

∴S△ODD`

=S

△OEE`

∴S四边形OE`BD`

=S

正方形OEBD

=

1

4

五、归纳小结（学生总结，老师点评）

本节课要掌握：

1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念．

2．旋转的对应点及其它们的应用．

六、布置作业

1．教材P66复习巩固1、2、3．

2．《同步练习》

一、选择题

1．在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（）．

A．6个B．7个C．8个D．9个

2．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）．

A．20°B．26°C．30°D．36°

3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中

心，•将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应

点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于

（）．

A．70°B．80°C．60°D．50°

-58-/260

(1)(2)(3)

二、填空题．

1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图

形运动称为________，这个定点称为________，转动的角为________．

2．如图2，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，•点

E•在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点

_________；旋转的度数是__________．

3．如图3，△ABC为等边三角形，D为△ABC•内一点，•△ABD•经过旋转后到

达△ACP的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）•旋转角度是

________；•（•3）•△ADP•是________三角形．

三、综合提高题．

1．阅读下面材料：

如图4，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位

置．

如图5，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置．

(4)(5)(6)(7)

如图6，以A点为中心，把△ABC旋转90°，可以变到△AED的位置，像

这样，•其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变

成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变

换．

回答下列问题

如图7，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，

AF=

1

2

AB．

（1）在如图7所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，•

使△ABE移到△ADF的位置？

（2）指出如图7所示中的线段BE与DF之间的关系．

2．一块等边三角形木块，边长为1，如图，•现将木块沿水平线翻滚五个三角

形，那么B点从开始至结束所走过的路径长是多少？

-59-/260

答案:

一、1．B2．C3．B

二、1．旋转旋转中心旋转角2．A45°3．点A60°等边

三、1．（1）通过旋转，即以点A为旋转中心，将△ABE逆时针旋转90°．

（2）BE=•DF，BE⊥DF

2．翻滚一次滚120°翻滚五个三角形，正好翻滚一个圆，所以所走路径

是2．

23.1图形的旋转(2)

第二课时

教学内容

1．对应点到旋转中心的距离相等．

2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．

3．旋转前后的图形全等及其它们的运用．

教学目标

理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹

角等于旋转角；理解旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本

性质的运用．

先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念，接着用操作几

何、实验探究图形的旋转的基本性质．

重难点、关键

1．重点：图形的旋转的基本性质及其应用．

2．难点与关键：运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质．

教学过程

-60-/260

一、复习引入

（学生活动）老师口问，学生口答．

1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？

2．什么叫旋转的对应点？

3．请独立完成下面的题目．

如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能

否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？

（老师点评）分析：能．看做是一条边（如线段AB）绕O

点，按照同一方法连续旋转60°、120°、180°、240°、300°形成的．

二、探索新知

上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题：

1．A、B、C、D、E、F到O点的距离是否相等？

2．对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠

FOA是否相等？

3．旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△

OEF、△OFA全等吗？

老师点评：（1）距离相等，（2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么

这个是否有一般性？下面请看这个实验．

请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，•再挖一

个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉

的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，•在黑板上再描出

这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移去硬纸板．

（分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明）

1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么

关系？

2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？

3．△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？

老师点评：1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就

是对应点到旋转中心相等．

2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我们把这三个相等

的角，•即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角．

3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等．

综合以上的实验操作和刚才作的（3），得出

（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

（3）旋转前、后的图形全等．

例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为

点D，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形．

-61-/260

分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对

应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=ACD，•又由对应点到

旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示．

解：（1）连结CD

（2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD

（3）在射线CE上截取CB′=CB

则B′即为所求的B的对应点．

（4）连结DB′

则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．

例2．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且

DE=

1

4

，△ABF是△ADE的旋转图形．

（1）旋转中心是哪一点？

（2）旋转了多少度？

（3）AF的长度是多少？

（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？

分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要

求AF•的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定

理很容易得到．•△ABF与△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形．

解：（1）旋转中心是A点．

（2）∵△ABF是由△ADE旋转而成的

∴B是D的对应点

∴∠DAB=90°就是旋转角

（3）∵AD=1，DE=

1

4

∴AE=22

1

1()

4



=

17

4

∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点

∴AF=

17

4

（4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE

∴△EAF是等腰直角三角形．

三、巩固练习

教材P64练习1、2．

四、应用拓展

例3．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正

-62-/260

方形AKLM，使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段

BK与DM的关系．

分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来

说明．

解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形

∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°

∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的

∴BK=DM

五、归纳小结（学生总结，老师点评）

本节课应掌握：

1．对应点到旋转中心的距离相等；

2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用．

六、布置作业

1．教材P66复习巩固4综合运用5、6．

2．作业设计．

作业设计

一、选择题

1．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，•

则旋转角等于（）

A．50°B．210°C．50°或210°D．130°

2．在图形旋转中，下列说法错误的是（）

A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等

B．图形上每一点移动的角度相同

C．图形上可能存在不动的点

D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等

3．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是

（）

二、填空题

1．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________．

2．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、

-63-/260

DE分别是底边，图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是________，它们

之间的关系是______，•其中BD=_________．

3．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD

于E、F，•∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点

E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+•DF•与EF的关系是

________．

三、综合提高题

1．如图，正方形ABCD的中心为O，M为边上任意一点，过OM随意连一条曲

线，•将所画的曲线绕O点按同一方向连续旋转3次，每次旋转角度都是

90°，这四个部分之间有何关系？

2．如图，以△ABC的三顶点为圆心，半径为1，作两两不相交的扇形，•则图

中三个扇形面积之和是多少？

3．如图，已知正方形ABCD的对角线交于O点，若点E在AC的延长线上，

•AG•⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，则△

OAF与△OBE重合吗？如果重合给予证明，如果不重合请说明理由？

答案:

一、1．C2．A3．D

二、1．相等2．△ACE图形全等CE3．相等

三、1．这四个部分是全等图形

-64-/260

2．∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴绕AB、AC的中点旋转180°，可以得到一个半圆，

∴面积之和=

1

2



．

3．重合：证明：∵EG⊥AF

∴∠2+∠3=90°

∵∠3+∠1+90°=180°

∵∠1+∠3=90°

∴∠1=∠2

同理∠E=∠F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC

∴△ABF≌△BCE，∴BF=CE，∴OE=OF，∵OA=OB

∴△OBE绕O点旋转90°便可和△OAF重合．

23.1图形的旋转(3)

第三课时

教学内容

选择不同的旋转中心或不同的旋转角，设计出不同的美丽的图案．

教学目标

理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根

据需要用旋转的知识设计出美丽的图案．

复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知

识作图，设计出美丽的图案．

重难点、关键

-65-/260

1．重点：用旋转的有关知识画图．

2．难点与关键：根据需要设计美丽图案．

教具、学具准备

小黑板

教学过程

一、复习引入

1．（学生活动）老师口问，学生口答．

（1）各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？

（2）各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？

（3）两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？

2．请同学独立完成下面的作图题．

如图，△AOB绕O点旋转后，G点是B点的对应

点，作出△AOB旋转后的三角形．

（老师点评）分析：要作出△AOB旋转后的三角

形，应找出三方面：第一，旋转中心：O；第二，旋

转角：∠BOG；第三，A点旋转后的对应点：A′．

二、探索新知

从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、

对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因

此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究．

1．旋转中心不变，改变旋转角

画出以下图所示的四边形ABCD以O点为中心，旋转角分别为30°、60°

的旋转图形．

2．旋转角不变，改变旋转中心

画出以下图，四边形ABCD分别为O、O为中心，旋转角都为30•°的旋转

图形．

-66-/260

因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转

角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美

丽的图案．

例1．如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以O•为旋转中心画出分别旋转

45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案．

分析：只要以O为旋转中心、旋转角以上面为变化，•旋转

长度为菊花的最长OA，按菊花叶的形状画出即可．

解：（1）连结OA

（2）以O点为圆心，OA长为半径旋转45°，得A．

（3）依此类推画出旋转角分别为90°、135°、180°、

225°、270°、315°的A、A、A、A、A、A．

（4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶．

那么所画的图案就是绕O点旋转后的图形．

例2．（学生活动）如图，如果上面的菊花一

叶，绕下面的点O′为旋转中心，•请同学画出图

案，它还是原来的菊花吗？

老师点评：显然，画出后的图案不是菊花，而是

另外的一种花了．

三、巩固练习

教材P65练习．

四、应用拓展

例3．如图，如何作出该图案绕O点按逆时针旋转90°的图形．

分析：该备案是一个比较复杂的图案，是作出几个

复合图形组成的图案，因此，要先画出图中的关键点，

这些关键点往往是图案里线的端点、角的顶点、圆的圆

心等，然后再根据旋转的特征，作出这些关键点的对应

点，最后再按原图案作出旋转后的图案．

解：（1）连结OA，过O点沿OA逆时针作∠AOA′

=90°，在射线OA′上截取OA′=OA；

（2）用同样的方法分别求出B、C、D、E、F、G、H

的对应点B′、C′、D′、E′、F′、G′、H′；

-67-/260

（3）作出对应线段A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′F′、F′

A′、A•′G′、G′D′、D′H′、H′A′；

（4）所作出的图案就是所求的图案．

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案；

2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，•要先求出图中的关键点

──线的端点、角的顶点、圆的圆心等．

六、布置作业

1．教材P67综合运用7、8、9．

2．选作课时作业设计．

第三课时作业设计

一、选择题

1．如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）

（•）

A．左上角的梅花只需沿对角线平移即可

B．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针

旋转45°

C．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针

旋转180

D．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋

转90°

2．同学们曾玩过万花筒吧，它是由三块等宽等长的玻璃镜片围成的，如图

23-•33是看到的万花筒的一个图案，图中所有三角形均是等边三角形，其

中的菱形AEFG可以看成把菱形ABCD以A为中心（）

A．顺时针旋转60°得到的B．顺时针旋转120°得到的

C．逆时针旋转60°得到的D．逆时针旋转120°得到的

3．下面的图形23-34，绕着一个点旋转120°后，能与原来的位置重合的是

（）

A．（1），（4）B．（1），（3）C．（1），（2）

D．（3），（4）

-68-/260

二、填空题

1．如图，五角星也可以看作是一个三角形绕中心点旋转_______次得到的，每

次旋转的角度是________．

2．图形之间的变换关系包括平移、_______、轴对称以及它们的组合变换．

3．如图，过圆心O和图上一点A连一条曲线，将OA绕O点按同一方向连续旋

转三次，每次旋转90°，把圆分成四部分，这四部分面积_________．

三、综合提高题．

1．请你利用线段、三角形、菱形、正方形、圆作为“基本图案”绘制一幅以

“校运动会”为主题的徽标．

2．如图，是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转的方法，•将

该图案绕原点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出图形，•你来

试一试吧！但是涂阴影时，要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，

否则你将得不到理想的效果，并且还要扣分的噢！

-69-/260

3．如图，△ABC的直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，

能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长．

答案:

一、1．D2．D3．C

二、1．472°2．旋转3．相等

三、1．答案不唯一，学生设计的只要符合题目的要求，都应给予鼓励．

2．略

3．∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，

∴AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，

∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，

△PAP′为等腰直角三角形，PP′为斜边，

∴PP′=2AP=32．

23.2中心对称(1)

第一课时

教学内容

两个图形关于这个点对称或中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概

念及其运用它们解决一些实际问题．

教学目标

了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决

一些问题．

复习运用旋转知识作图，•旋转角度变化，•设计出不同的美丽图案来引入

旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题．

重难点、关键

1．重点：利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问

题．

2．难点与关键：从一般旋转中导入中心对称．

教具、学具准备

小黑板、三角尺

教学过程

一、复习引入

请同学们独立完成下题．

如图，△ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，

画出旋转后的三角形，•并写出简要作法．

-70-/260

老师点评：分析，本题已知旋转后点A的对应点是点D，且旋转中心也已

知，所以关键是找出旋转角和旋转方向．显然，逆时针或顺时针旋转都符合要

求，•一般我们选择小于180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时

针方向；•已知一对对应点和旋转中心，很容易确定旋转角．如图，连结OA、

OD，则∠AOD即为旋转角．接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所

成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即

可．

作法：（1）连结OA、OB、OC、OD；

（2）分别以OB、OB为边作∠BOM=∠CON=

∠AOD；

（3）分别截取OE=OB，OF=OC；

（4）依次连结DE、EF、FD；

即：△DEF就是所求作的三角形，如图所

示．

二、探索新知

问题：作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问

题：

1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？

2．各对称点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？

老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，

即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合．

像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形

重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中

心．

这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出

-71-/260

作法并回答．

（1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不

是，请说明理由．

（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．

分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图

形，•对称中心就是旋转中心．

（3）旋转后的对应点，便是中心的对称点．

解：作法：（1）延长AD，并且使得DA′=AD

（2）同样可得：BD=B′D，CD=C′D

（3）连结A′B′、B′C′、C′D，则四边形A′B′C′D为所求的四边

形，如图23-44所示．

答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中

心是D点．

（2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的

D′与D重合．

例2．如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD•

成中心对称的三角形．

分析：因为D是对称中心且AD是△ABC的中线，所以C、B为一对的对应

点，因此，只要再画出A关于D的对应点即可．

解：（1）延长AD，且使AD=DA′，因为C点关于D的中心对称点是B

（C′），B•点关于中心D的对称点为C（B′）

（2）连结A′B′、A′C′．

则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示．

-72-/260

三、巩固练习

教材P74练习2．

四、应用拓展

例3．如衅，在△ABC中，∠C=70°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向

平移到△A′B′C′的位置．

（1）若平移的距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积．

（2）若平移的距离为x（0≤x≤4），求△ABC与△A′B′C′重叠部分的

面积y，写出y与x的关系式．

分析：（1）∵BC=4，AC=4

∴△ABC是等腰直角三角形，易得△BDC′也是等腰直角三角形且BC′=1

（2）∵平移的距离为x，∴BC′=4-x

解：（1）∵CC′=3，CB=4且AC=BC

∴BC′=C′D=1

∴S

△BDC`

=

1

2

×1×1=

1

2

（2）∵CC′=x，∴BC′=4-x

∵AC=BC=4

∴DC′=4-x

∴S

△BDC`

=

1

2

（4-x）（4-x）=

1

2

x2-4x+8

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1．中心对称及对称中心的概念；

2．关于中心的对称点的概念及其运用．

六、布置作业

1．教材P73练习1．

2．选作课时作业设计．

第一课时作业设计

一、选择题

-73-/260

1．在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有（）个．

A．1B．2C．3D．4

2．下面的图案中，是中心对称图形的个数有（）个

A．1B．2C．3D．4

3．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED′与BC的交点为

G，•点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=

（）

A．55°B．125°C．70°D．110°

二、填空题

1．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点连线必通过_________．

2．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重

合，•那么就说这两个图形是_________图形．

3．用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：

_______（•填序号）

（1）长方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）一般的平行四边形；

（5）等腰三角形；（6）•梯形．

三、综合提高题

1．仔细观察所列的26个英文字母，将相应的字母填入下表中适当的空格

内．

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

对称

形式

轴对称旋转

对称

中心

对称

只有一条对称轴有两条对称轴

2．如图，在正方形ABCD中，作出关于P点的中心对称图形，并写出作

法．

-74-/260

3．如图，是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，•画出此图

形关于点B成中心对称的图形．

答案:

一、1．B2．D3．D

二、1．这一点（对称中心）2．中心对称3．（1）（4）（5）

三、1．略

2．作法：（1）延长CB且BC′=BC；

（2）延长DB且BD′=DB，延长AB且使BA′=BA；

（3）连结A′D′、D′C′、C′B

则四边形A′BC′D′即为所求作的中心对称图形，如图所示．

3.略.

-75-/260

23.2中心对称(2)

第二课时

教学内容

1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，•而且被

对称中心所平分．

2．关于中心对称的两个图形是全等图形．

教学目标

理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被

对称中心所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质

的运用．

复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点），

提出问题，让学生分组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质．

重难点、关键

1．重点：中心对称的两条基本性质及其运用．

2．难点与关键：让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质．

教学过程

一、复习引入

（老师口问，学生口答）

1．什么叫中心对称？什么叫对称中心？

2．什么叫关于中心的对称点？

3．请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，•画出这个三角

形关于这个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论．

（每组推荐一人上台陈述，老师点评）

（老师）在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形

（1）作△ABC一顶点为对称中心的对称图形；

（2）作关于一定点O为对称中心的对称图形．

第一步，画出△ABC．

第二步，以△ABC的C点（或O点）为中心，旋转180°画出△A′B′和

△A′B′C′，如图1和用2所示．

-76-/260

(1)(2)

从图1中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形；

分别连接对称点AA′、BB′、CC′，点O在这些线段上且O平分这些线

段．

下面，我们就以图2为例来证明这两个结论．

证明：（1）在△ABC和△A′B′C′中，

OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′

∴△AOB≌△A′OB′

∴AB=A′B′

同理可证：AC=A′C′，BC=B′C′

∴△ABC≌△A′B′C′

（2）点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O•旋转

180•°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA=OA′，即点O是线段

AA′的中点．

同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB=OB′，OC=OC′，即点O是

BB′和CC′的中点．

因此，我们就得到

1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被

对称中心所平分．

2．关于中心对称的两个图形是全等图形．

例1．如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成

中心对称．

分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转

180°，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．

解：（1）连结AO并延长AO到D，使OD=OA，于是得到点A的对称点D，

如图所示．

-77-/260

（2）同样画出点B和点C的对称点E和F．

（3）顺次连结DE、EF、FD．

则△DEF即为所求的三角形．

例2．（学生练习，老师点评）如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形

A′B•′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称

（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．

二、巩固练习

教材P70练习．

三、应用拓展

例3．如图等边△ABC内有一点O，试说明：OA+OB>OC．

分析：要证明OA+OB>OC，必然把OA、OB、OC转为在一个三角形内，应用

两边之和大于第三边（两点之间线段最短）来说明，因此要应用旋转．以A为

旋转中心，•旋转60°，便可把OA、OB、OC转化为一个三角形内．

解：如图，把△AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO′B•

的位置，则△AOC≌△AO′B．

∴AO=AO′，OC=O′B

-78-/260

又∵∠OAO′=60°，∴△AO′O为等边三角形．

∴AO=OO′

在△BOO′中，OO′+OB>BO′

即OA+OB>OC

四、归纳小结（学生总结，老师点评）

本节课应掌握：

中心对称的两条基本性质：

1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，•而且被对

称中心所平分；

2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用．

五、布置作业

1．教材P74复习巩固1综合运用6、7．

2．选作课时作业设计．

第二课时作业设计

一、选择题

1．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．直角B．等边三角形C．直角梯形D．两条相交直

线

2．下列命题中真命题是（）

A．两个等腰三角形一定全等

B．正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少

C．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形

D．两直线平行，同旁内角相等

3．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的所示的图形，已知∠CED′

=60°，则∠AED的大小是（）

A．60°B．50°C．75°D．55°

二、填空题

1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__________，而且

被对称中心所________．

2．关于中心对称的两个图形是_________图形．

3．线段既是轴对称图形又是中心对称图形，它的对称轴是_________，•

它的对称中心是__________．

三、综合提高题

-79-/260

1．分别画出与已知四边形ABCD成中心对称的四边形，使它们满足以下条

件：（1）•以顶点A为对称中心，（2）以BC边的中点K为对称中心．

2．如图，已知一个圆和点O，画一个圆，使它与已知圆关于点O成中心对

称．

3．如图，A、B、C是新建的三个居民小区，我们已经在到三个小区距离

相等的地方修建了一所学校M，现计划修建居民小区D，其要求：（1）

到学校的距离与其它小区到学校的距离相等；（2）控制人口密度，有

利于生态环境建设，试写居民小区D•的位置．

答案:

一、1．D2．C3．A

二、1．对称中心平分2．全等3．线段中垂线，线段中点．

三、1．略2．作出已知圆圆心关于O点的对称点O′，以O′为圆心，

已知圆的半径为半径作圆．

3．连结AB、AC，分别作AB、AC的中垂线PQ、GH相交于M，学校M所在

位置，•就是△ABC外接圆的圆心，小区D是在劣弧BC的中点即满足题

意．

23.2中心对称(3)

-80-/260

第三课时

教学内容

1．中心对称图形的概念．

2．对称中心的概念及其它们的运用．

教学目标

了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个

概念的应用．

复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形

是中心对称图形的有关概念及其它的运用．

重难点、关键

1．重点：中心对称图形的有关概念及其它们的运用．

2．难点与关键：区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形．

教具、学具准备

小黑板、三角形

教学过程

一、复习引入

1．（老师口问）口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？

（老师口述）：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中

心，而且被对称中心所平分．

关于中心对称的两个图形是全等图形．

2．（学生活动）作图题．

（1）作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示．

A

O

（2）作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示．

B

A

O

（2）延长AO使OC=AO，

延长BO使OD=BO，

连结CD

则△COD为所求的，如图所示．

-81-/260

B

A

C

D

O

二、探索新知

从另一个角度看，上面的（1）题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，

因为OA=•OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它重合．

上面的（2）题，连结AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，

就成平行四边形，如图所示．

∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD

∴△AOB≌△COD

∴AB=CD

也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合．

因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形

能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对

称中心．

（学生活动）例1：从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，

每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形．

老师点评：老师边提问学生边解答．

（学生活动）例2：请说出中心对称图形具有什么特点？

老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳．

例3．求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形．

B

A

C

D

O

分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线

段中点，因此，直接可得到对角线互相平分．

证明：如图，O是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段

AC、•BD必过点O，且AO=CO，BO=DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因

此，•四边形ABCD是平行四边形．

三、巩固练习

教材P72练习．

-82-/260

四、应用拓展

例4．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点和A点重

合，•求折痕EF的长．

分析：将矩形折叠，使C点和A点重合，折痕为EF，就是A、C两点关于

O点对称，这方面的知识在解决一些翻折问题中起关键作用，对称点连线被对

称轴垂直平分，进而转化为中垂线性质和勾股定理的应用，求线段长度或面

积．

解：连接AF，

∵点C与点A重合，折痕为EF，即EF垂直平分AC．

∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°，又四边形ABCD为矩形，∠B=90°，

AB=CD=3，AD=•BC=4

设CF=x，则AF=x，BF=4-x，

由勾股定理，得AC2=BC2+AB2=52

∴AC=5，OC=

1

2

AC=

5

2

∵AB2+BF2=AF2∴32+（4-x）=2=x2

∴x=

25

8

∵∠FOC=90°

∴OF2=FC2-OC2=（

25

8

）2-（

5

2

）2=（

15

8

）2OF=

15

8

同理OE=

15

8

，即EF=OE+OF=

15

4

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1．中心对称图形的有关概念；

2．应用中心对称图形解决有关问题．

六、布置作业

1．教材P74综合运用5P75拓广探索8、9．

2．选用作业设计

作业设计

一、选择题

-83-/260

21085

1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A．等边三角形B．等腰梯形

C．平行四边形D．正六边形

2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）．

A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形

3．如图所示，平放在正立镜子前的桌面上的数码“21085•”在镜子中的像

是（）

A．21085B．28015C．58012D．51082

二、填空题

1．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的

图形重合，那么这个图形叫做__________．

2．请你写出你所熟悉的三个中心对称图形_________．

3．中心对称图形具有什么特点（至少写出两个）_____________．

三、解答题

1．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重

合，•那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个

旋转角，例如：•正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合，•

所以正方形是旋转对称图形，应有一个旋转角为90°．

（1）判断下列命题的真假（在相应括号内填上“真”或“假”）

①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（）

②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（）

（2）填空：下列图形中是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°是

_____．（•写出所有正确结论的序号）

①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．

（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，却有一个旋转角为

72°，并且分别满足下列条件：①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②既

是轴对称图形，又是中心对称图形．

2．如图，将矩形A

1

B

1

C

1

D

1

沿EF折叠，使B1

点落在A

1

D

1

边上的B处；

沿BG折叠，使D

1

点落在D处且BD过F点．

（1）求证：四边形BEFG是平行四边形；

（2）连接BB，判断△B

1

BG的形状，并写出判断过程．

-84-/260

D

1

C

1

B

1

A

1

B

A

C

E

D

G

F

3．如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△AOB绕点

O•顺时针旋转90°得到△A

1

OB

1

．

（1）在图中画出△A

1

OB

1

；

（2）设过A、A

1

、B三点的函数解析式为y=ax2+bx+c，求这个解析式．

O

B

A

-1

y

x

2

答案：

一、1．D2．D3．D

二、1．中心对称图形2．答案不唯一3．答案不唯一

三、1．（1）①假②真（2）①③

（3）①例如正五边形正十五边形•②例如正十边正二十边形

2．（1）证明：∵A

1

D

1

∥B

1

C

1

，∴∠A

1

BD=∠C

1

FB

又∵四边形ABEF是由四边形A

1

B

1

EF翻折的，

∴∠B

1

FE=∠EFB，同理可得：∠FBG=∠D

1

BG，

∴∠EFB=90°-

1

2

∠C

1

FB，∠FBG=90°-

1

2

∠A

1

BD，

∴∠EFB=∠FBG

∴EF∥BG，∵EB∥FG

∴四边形BEFG是平行四边形．

（2）直角三角形，理由：连结BB，

∵BD

1

∥FC

1

，∴∠BGF=∠D1

BG，∴∠FGB=∠FBG

同理可得：∠B

1

BF=∠FB

1

B．

∴∠B

1

BG=90°，∴△B

1

BG是直角三角形

-85-/260

3．解：（1）如右图所示

B

1

A

1

O

B

A

-2

1

-1

y

x2

2

1

-1

（2）由题意知A、A

1

、B

1

三点的坐标分别是（-1，0），（0，1），

（2，0）

∴

0

1

042

abc

c

abc

















解这个方程组得

1

2

1

2

1

a

b

c

























∴所求五数解析式为y=-

1

2

x2+

1

2

x+1．

23.2中心对称（4）

第四课时

教学内容

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y），关于原

点的对称点为P′（-x，-y）及其运用．

教学目标

理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，

-86-/260

y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用．

复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐

标的关系及其运用．

重难点、关键

1．重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，

y）•关于原点的对称点P′（-x，-y）及其运用．

2．难点与关键：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性

质及其运用它解决实际问题．

教具、学具准备

小黑板、三角尺

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下面三题．

1．已知点A和直线L，如图，请画出点A关于L对称的点A′．

l

A

2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ADC顺时针旋转60°，

画出旋转后的图形．

3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图

形．

老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．（略）

二、探索新知

（学生活动）如图23-74，在直角坐标系中，已知A（-3，1）、B（-4，

0）、C（0，3）、•D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），作出A、B、C、

-87-/260

D、E、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：

这些坐标与已知点的坐标有什么关系？

-3

-3

3

O

B