抛物线的标准方程

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抛物线及其标准方程

1.已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),则它的标准方程为()

A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y

2.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=1,那么它的焦点坐标为()

A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(-1,0)

3.(2013·遵义高二检测)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+

6y+9=0的圆心的抛物线的方程是()

A.y=3x2或y=-3x2B.y=3x2

C.y2=-9x或y=3x2D.y=-3x2或y2=9x

4.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于8的点的横坐标是()

A.5B.4C.3D.2

5.(2013·汝阳高二检测)一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则

动圆必过定点()

A.(0,2)B.(0,-2)C.(2,0)D.(4,0)

6.(2013·安阳高二检测)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标

是.

7.已知抛物线y2=2px的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为.

8.(2012·陕西高考)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水

位下降1米后,水面宽米.

9.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1

的左焦点,而且与x轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点(错误！未找到引用源。,错误！未

找到引用源。),求抛物线和双曲线的方程.

10.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.

11.已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的

值最小.

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答案解析

1.【解析】选D.由条件可知,抛物线的焦点在y轴负半轴上,且错误！未找到引用源。=2,∴

p=4,所以它的标准方程为x2=-8y.

【举一反三】把题中条件改为“准线方程为x=-7”,它的标准方程如何?

【解析】由条件可知错误！未找到引用源。=7,即p=14.∵准线方程为x=-7,∴焦点是x轴正

半轴上的(7,0)点,故方程为y2=28x.

2.【解析】选D.由y2=ax的准线方程为x=-错误！未找到引用源。得,-错误！未找到引用源。

=1,

∴a=-4,从而抛物线方程为y2=-4x,其焦点为(-1,0).

3.【解析】选D.圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心为(1,-3),设抛物线方程为y2=ax或x2=by,把(1,-3)

代入并解得a=9,b=-错误！未找到引用源。,∴方程为y2=9x或y=-3x2.

4.【解析】选A.由题知抛物线的准线方程为x=-3,设P(x,y),则x+3=8,∴x=5.

5.【解题指南】利用抛物线的定义求解.

【解析】选C.∵y2=8x的准线方程为x=-2,且动圆的圆心在抛物线上.根据抛物线的定义,动

圆圆心到直线x=-2的距离等于到焦点的距离,∴动圆必过定点即焦点(2,0).

【变式备选】若动点P到定点(1,1)的距离与到直线2x+y-1=0的距离相等,则P点的轨迹是

()

A.抛物线B.线段

C.直线D.射线

【解析】选A.因为点(1,1)不在直线2x+y-1=0上,故点的轨迹是以点(1,1)为焦点,以直线

2x+y-1=0为准线的抛物线,故选A.

6.【解题指南】运用方程的思想,列方程组求解.

【解析】抛物线y=4x2的焦点坐标为(0,错误！未找到引用源。),设M(x0,y0),

则错误！未找到引用源。解得y0=错误！未找到引用源。.

答案:错误！未找到引用源。

7.【解析】∵抛物线方程为y2=2px,∴其焦点在x轴上,又∵圆(x-3)2+y2=16与x轴的交点为

(-1,0)和(7,0),由题意知准线方程为x=-1或x=7,即焦点为(1,0)或(-7,0),

∴错误！未找到引用源。=1或-7,解得p=2或-14.

答案:2或-14

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8.【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.

【解析】建立适当的坐标系,如图所示,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在此抛物

线上,代入可求出抛物线的方程是x2=-2y,当y=-3时,x2=-2×(-3)=6,所以x=±错误！未找到

引用源。,水面宽是2错误！未找到引用源。米.

答案:2错误！未找到引用源。

9.【解析】设抛物线方程为:y2=2px(p>0),将点(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用

源。)代入方程得p=2,所以抛物线方程为:y2=4x.准线方程为:x=-1,由此知道双曲线方程

中:c=1;焦点为(-1,0),(1,0),点(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。)到两焦点

距离之差为2a=1,∴双曲线的方程为:错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1.

10.【解题指南】可以利用直接法求出动点P的轨迹方程,也可以用定义法求轨迹方程.

【解析】方法一:设点P的坐标为(x,y),

则有错误！未找到引用源。=|x|+1.

两边平方并化简,得y2=2x+2|x|,

所以y2=错误！未找到引用源。

即点P的轨迹方程为y2=错误！未找到引用源。

方法二:由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距

离为1,故当x<0时,直线y=0(x<0)上的点适合条件;当x≥0时,可以看作是点P到点F(1,0)

与到直线x=-1的距离相等,故点P在以点F为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为

y2=4x(x≥0).

综上,点P的轨迹方程为y2=错误！未找到引用源。

【误区警示】解答本题时,方法一中,距离很容易因忘加绝对值号而出错,方法二也很容易因

思考不全面而漏掉x<0的情况.

11.【解题指南】根据抛物线的定义把|PF|转化为点P到准线的距离,画出草图,通过观察图

形,利用“数形结合”的思想即可求出点P的坐标.

【解析】∵(-2)2<8×4,∴点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部.

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如图,设抛物线的准线为l,过点P作PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B,

由抛物线的定义可知:|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥|AB|,当且仅当P,Q,A三点共线

时,|PF|+|PA|取得最小值,即为|AB|.

∵A(-2,4),∴不妨设|PF|+|PA|的值最小时,点P的坐标为(-2,y0),代入x2=8y得y0=错误！

未找到引用源。,故使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为(-2,错误！未找到引

用源。).