长方形特征

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长方形、正方形、平行四边形的特征与知识

长方形性质

①对角线相等且互相平分

②有四条边

③对边平行且相等

④四个角都相等且都是直角

⑤四个角度数和为360°

⑥有2条对称轴

⑦在没有数据的情况下，水平的那一边为长，垂直的那一边为宽。

长方形判定

①有一个角是直角的平行四边形是矩形

②对角线相等的平行四边形是矩形

③有三个角是直角的四边形是矩形

④对角线相等且互相平分的四边形是矩形

长方形面积计算公式

面积公式矩形面积公式：长×宽

长方形面积字母公式：S=ab

长方形周长计算公式

长方形周长文字公式：(长+宽)×2

长方形周长字母公式：C=(a+b)×2

正方形性质

边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直

内角：四个角都是90°；

对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；

对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。

判定方法

1：对角线相等的菱形是正方形。

2：对角线互相垂直的矩形是正方形，正方形是一种特殊的矩形。

3：四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。

4：一组邻边相等的矩形是正方形。

5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

6：四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形。

7.有一个角为直角的菱形是正方形。

依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状

怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。

面积计算公式：S=a×a

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或：S=对角线×对角线÷2

周长计算公式:C=4a

正方形是特殊的矩形,菱形，平行四边形，四边形

平行四边形特点

⑴如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（简述为“平行四边形的对边相等”）

⑵如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（简述为“平行四边形的对角相等”）

（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）

（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

判定

1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

2.对角线互相平分的四边形是平行四边形

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形

5.两组对边分别平行的四边形是平行四边形

性质

⑴连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。

⑵如果一个四边形的对角线互相平分，

那么连接这个四边形的中点所得图形是平行四边形。

⑶平行四边形的对角相等，两邻角互补

⑷过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。

⑹平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）

平行四边形中常用辅助线的添法

一、连结角线或平移对角线

二、过顶点作对边的垂线构造直角三角形

三、连结对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段

平行或中位线

四、连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三

角形。

五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等

平行四边形对边平行

平行四边形的对角相等

平行四边形的对边相等

平行四边形的对角线互相平分

平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心

面积与周长

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1.平行四边形的面积可以底乘高（推导方法如图）；如用“h”表示高，“a”表示

底，“s平“表示平行四边形面积，

则S平=ah

2.平行四边形周长可以二乘（底1+底2）；如用“a"表示底1，“b”表示底2，“c

平“表示平行四边形周长，

则C平=2（a+b）

三角形的性质

1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两

边的差一定小于第三边。

2.三角形内角和等于180度

3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。

4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形

斜边的中线等于斜边的一半。

5.三角形共有六心：三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

性质：到三边距离相等。

外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

性质：到三个顶点距离相等。

重心：三条中线的交点。

性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

垂心：三条高所在直线的交点。

性质：此点分每条高线的两部分乘积

旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点

性质：到三边的距离相等。

界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交

点。

性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的

三条直线交于一点。

欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这

条直线就叫三角形的欧拉线。

6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与

其不相邻的内角之和。

7.一个三角形最少有2个锐角。

8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的

顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线

9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。

10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a²+b²=c²

那么这个三角形就一定是直角三角形。

三角形的边角之间的关系

（1）三角形三内角和等于180°；

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（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；

（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；

（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.

（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.

（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，

它到各边的距离相等.

（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它

到三个顶点的距离相等.

（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它

到对边中点的距离的2倍。

（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。

（12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。

注意:①三角形的内心、重心都在三角形的内部

.②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。

③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，

外心为斜边中点。）

④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。

三角形的面积公式

(1)S△=1/2*ah（a是三角形的底，h是底所对应的高）

(2)S△=1/2*ac*sinB＝1/2*bc*sinA＝1/2*ab*sinC（三个角为∠A∠B∠C，对

边分别为a,b,c，参见三角函数）

(3)S△=√〔s*（s-a）*（s-b）*（s-c）〕【s=1/2(a+b+c)】（海伦—秦九韶

公式）

(4)S△=abc/（4R）【R是外接圆半径】

(5)S△=1/2*(a+b+c)*r【r是内切圆半径】

等腰梯形的性质

1．等腰梯形的两条腰相等

2．等腰梯形在同一底上的两个底角相等

3．等腰梯形的两条对角线相等

4．等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线

5．等腰梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）等于上下底和的二分

之一

[编辑本段]判定

1．一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形

2．两腰相等的梯形是等腰梯形

3．同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

4．有一个角是直角的梯形是直角梯形

5．对角线相等的梯形是等腰梯形．

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[编辑本段]周长、面积

梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2。

用字母表示：（a+b）×h÷2

梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰

用字母表示：a+b+c+d