卖报

关于报童卖报的问题

摘要

报童模型在1956年首次被提出来以后，就成为学术界

的关注焦点，有着大量的学者或经济领域的人士对它进行研

究和分析，由于报童模型问题中涉及到很多不确定因素的影

响，人们为了研究和确定这些因素在模型中的量化，通过很

多不同的计算方法和理论方法来使这些非量化的因素最大

化的量化表达，使之趋近于理性决策，但是又不是完全能够

明确和量化的，这些就是报童模型中的有限理性。报童模型

中关于有限理性涉及到的问题与方法到如今已将发展到很

多方面，在随机因素方面首先就是不确定环境下的随机需

求，还有库存管理，供应链协调等，在做有限理性决策的时

候，人们尽量通过具体的推算方法来做出最优化决策，虽然

不是完全理性决策，但是确实使利润接近最大化的有限理性

决策。

本论文讨论的是报童卖报问题,报童卖报

问题实际上就是通过分析,找出几种可能的方案,

通过求解,找出一个最优的方案来订报,使得报童赢利取

得最大期望值或报童损失的最小期望值的临界值,也就是使

报童获得的利益最大。

本文首先建立了最大期望值和最小期望值的模型，然后

分别用连续的方法和离散的方法求解，最后得出结论。尽管

报童赢利最大期望值和损失最小期望值是不相同的，但是确

定最佳订购量的条件是相同的。

关键词：报童模型、概率统计、概率分布建模、离散

关于报童卖报的问题

摘要

报童模型在1956年首次被提出来以后，就成为学术界

的关注焦点，有着大量的学者或经济领域的人士对它进行研

究和分析，由于报童模型问题中涉及到很多不确定因素的影

响，人们为了研究和确定这些因素在模型中的量化，通过很

多不同的计算方法和理论方法来使这些非量化的因素最大

化的量化表达，使之趋近于理性决策，但是又不是完全能够

明确和量化的，这些就是报童模型中的有限理性。报童模型

中关于有限理性涉及到的问题与方法到如今已将发展到很

多方面，在随机因素方面首先就是不确定环境下的随机需

求，还有库存管理，供应链协调等，在做有限理性决策的时

候，人们尽量通过具体的推算方法来做出最优化决策，虽然

不是完全理性决策，但是确实使利润接近最大化的有限理性

决策。

本论文讨论的是报童卖报问题,报童卖报

问题实际上就是通过分析,找出几种可能的方案,

通过求解,找出一个最优的方案来订报,使得报童赢利取

得最大期望值或报童损失的最小期望值的临界值,也就是使

报童获得的利益最大。

本文首先建立了最大期望值和最小期望值的模型，然后

分别用连续的方法和离散的方法求解，最后得出结论。尽管

报童赢利最大期望值和损失最小期望值是不相同的，但是确

定最佳订购量的条件是相同的。

关键词：报童模型、概率统计、概率分布建模、离散

引言

在报童模型中，有限理性决策主要面对的随机性因素是

需求和时间，报童模型是典型的单价段，随机需求模型，主

旨是寻找产品的最佳订货量，来最大化期望收益或最小化期

望损失。本文首先通过理论回顾解释出什么是报童模型中的

有限理性，然后罗列了部分在报童模型中有限

理性问题上进行研究的部分文献成果。再得出有

报童模型有限理性的发展。

一、问题重述

报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的

报纸退回。设报纸每份进购价为b,零售价为a,退回价为c,

自然地假设a>b>c.也就是说,报童售出一

份报纸赚a-b,退回一份赔b-c,。试为报童筹划一下每

天购进报纸的数量，使得收入最大，那么报童每天要购进多

少份报纸？

二、模型分析

如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果

购进太多，卖不完，将要赔钱。因此，存在一个最优的购进量，使得

收益最大。故应当根据需求来确定购进量。然而，每天的需求是随机的，

进而每天的收入也是随机的。因此，优化问题的目标函数应是长期

日平均收入，等于每天收入的期望。假定报童已通过自己的

经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，在他的销售范围

内每天报纸的需求量为r份的概率是：

)(rf(r=0,1,2,„)

有了rf

和

cba,,，就可以建立关于购进量的优化模型。

三、模型假设和符号说明

（1）假设报纸每天的订购价格和出售价格不变；

（2）假设报纸的需求量不受天气等其它自然环境的影

响；

(3）假设报童每天只能一次性从报社购进报纸；

（4）当天的报纸卖不出去，到第二天就没有人再买，

每份的报纸在当天什么时候卖出去是无关紧要的；

（5）假设该报童购进报纸份数可以不受限制，以达

到最大利润为目的，报童除了从报社订购报纸所需费用以

外，其他费用一概不计；

(6)“最大利润”理解为报童平均每天利润达到最大；

（7）符号说明:b-----为每份报纸的订购价；

a-----为每份报纸的零售价；

c-----为每份报纸的退回价；

r-----市场上每天报纸的需求量,且其分布律为

f(r)(r=0,1,2„).

四、模型的建立

设每天购进量为n份,因为需求量r是随机的,所以r可

以小于n,等于n,或

大于n。所以报童每天的收入也是随机的。那么，作为优化

模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平

均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的

期望值，简称平均收入。这种单周期购入—售出（报纸、日

历、杂志，各种季节性货物、时装），并且超出该购入—

售出周期商品就会严重贬值的存贮问题，存贮论中统称为卖

报童问题。

这类问题的库存控制策略是以利润期望最大为目标，确

定一次购入的经济订货批量。

记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n),售出一

份赚a-b；退回一份赔b-c。

(1)如果这天需求量r≤n,则他售出r份,退回n-r份.

所以报童这天所得利益为(a-b)r，损失额为(b-c)(n-r);(2)

如果这天需求量r>n，则所进购报纸全部售出,即售出n份，

所以报童这天所得利益为(a-b)r。即利益为(a-b)n。

又需求量r的概率为f(r)，于是得到：

nrnrrnfbarfrncbrbanG01

问题归结为在cbarf,,,已知时,求n使G(n)最大,即所得n

就为报童最优的订报份数.

五、模型的求解

通常需求量r和购进量n都相当大，所以

可以将r视为连续变量,便于分析和计算.此时概率

f(r)转化为概率密度函数p(r),则上式变

成:nndrrnpbadrrprncbrbanG0

对G(n)求倒数计算得

到:ndrrpcbnnpbadndG0drrpbannpban



drrpbadrrpcbnn0

令0dndG，得到：

cbbadrrpdrrpnn0

使报童日平均收入达到最大的购进量n应满足上式.因

为10drrp,所以上式可表示为:cabadrrpn0

根据需求量的概率密度函数p(r)的图形可以确定购进

量n.在下面的图中用p1,p2别分表示曲线p(r)下的两部分

面积,

则

cbbaPP21

因为当购进n份报纸时drrpPn01是需求量r不超过

n的概率,即卖不完的概率;drrpPn2是需求量r超过n

的概率,即卖完的概率。所以从上式可以看出,购进的份数n

是卖不完与卖完的概率之比,恰好等于卖出一份赚的钱a-b

与退回一份赔的钱b-c之比.

显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔

钱之比越大时，报童购进的报纸份数就应该越大

1、若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，

退回价为0.6元，需求量服从均

值500份，

均方差50份的正态分布，

报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，

最高收入是多少？

由题设得a=1,b=0.75,c=0.6，E(r)=500,σ（r）=50，

不妨设报纸的需求量服从正态分布。

正态分布的密度函数为：

22212)(exp)(urrf

因为35)(0cbbadrfnr

解得：n≈

516nrnrrnfbarfrncbrbanG01=1

17

即报童获得最大收入的进报量为516份，最大收入为117

元.2、假设已经得到159天报纸需求量的情况如下表：

表159天报纸需求量的分布情况