三角函数习题

三角函数练习题及答案

一、填空题

1

．如图，在棱长均为

23

的正四面体ABCD中，M为AC中点，

E

为

AB

中点，P是

DM

上的动点，

Q

是平面ECD上的动点，则

APPQ

的最小值是

______.

2

．平面向量

i

a满足：1(0,1,2,3)

i

ai

，且

3

1

0

i

i

a



．则012013023

aaaaaaaaa

的

取值范围为

________

．

3

．设函数sinfxx

，21gxxx

，有以下四个结论

.

①

函数yfxgx

是周期函数：

②

函数yfxgx

的图像是轴对称图形：

③

函数yfxgx

的图像关于坐标原点对称：

④

函数





fx

y

gx



存在最大值

其中，所有正确结论的序号是

___________.

4

．已知2,0F

为椭圆

22

22

:1(0)

xy

Cab

ab

的右焦点，过点

F

的直线

l

与椭圆

C

交于

,AB

两点，P为

AB

的中点，

O

为坐标原点

.

若△

OFP

是以OF为底边的等腰三角形，且

△OFP外接圆的面积为

2

3



，则椭圆

C

的长轴长为

___________.

5

．已知函数

()sin2sin2

3

fxxxa











同时满足下述性质：

①

若对于任意的



123123

,0,,

4

,xxxfxfxfx











恒成立；

②23

6

fa











，则

a

的值为

_________.

6

．通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球

赤道所在平面，轨道高度为

kmh

（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是

一个球（球心为

O

，半径为

kmr

），地球上一点A的纬度是指

OA

与赤道平面所成角的度

数，点A处的水平面是指过点A且与

OA

垂直的平面，在点A处放置一个仰角为



的地面接

收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点A的纬度为北纬30，则

tan3

________

．

7

．已知

O

为△ABC外接圆的圆心，

D

为

BC

边的中点，且4BC，

6AOAD

，则

△ABC面积的最大值为

___________.

8

．已知

P

是直线

34130xy

上的动点，

PA

，

PB

是圆22111xy

的切线，

A

，

B

是切点，

C

是圆心，那么四边形

PACB

面积的最小值是

________

．

9

．在锐角ABC中，角A，B，

C

的对边分别为

a

，b，

c

，若2b，2BC，则

ac

的取值范围为

________

．

10．△ABC内接于半径为

2

的圆，三个内角A，B，

C

的平分线延长后分别交此圆于

1

A

，

1

B

，

1

C

.

则111

coscoscos

222

sinsinsin

ABC

AABBCC

ABC





的值为

_____________.

二、单选题

11

．函数sin0

4

fxx













在

7

,

44









内恰有两个最小值点，则



的范围是

（）

A

．

13

,4

7









B

．

13

,3

7









C

．

4

,3

3









D

．

4

,4

3









12

．已知函数

π

()sin(0)

3

fxx









在

π

,π

3







上恰有

3

个零点，则



的取值范围是

（）

A

．

81114

,4,

333











B

．

111417

,4,

333











C

．

111417

,5,

333











D

．

141720

,5,

333











13

．已知函数sincossincos0fxxxxx

，则下列结论错误的是

（）

①1时，函数fx图象关于

π

4

x对称；

②

函数fx

的最小值为

-2

；

③

若函数fx

在

π

,0

4









上单调递增，则03，

；

④

1

x

，

2

x

为两个不相等的实数，若



12

4fxfx

且

12

xx

的最小值为

π

，则2.

A

．

②③B

．

②④C

．

①③④D

．

②③④

14

．已知函数sin010fxx

，若存在实数

1

x

、

2

x

，使得



12

2fxfx

，且

12

xx

，则



的最大值为（）

A

．

9B

．

8C

．

7D

．

5

15

．在三棱锥ABCD中，2ABADBC，

13CD

，

22AC

，3BD，则三棱

锥外接球的表面积为（）

A

．

92

7



B

．9C

．

184

7



D

．18

16

．若对

,xyR

，有

()()()4fxyfxfy

，函数

2sin

()()

cos1

x

gxfx

x





在区间

[2021,2021]

上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）

A

．

4B

．

8C

．

12D

．

16

17

．在ABC中，已知

3

sinsin,

2

AC

设

2sinsin,tAC

则

91

()()

44

ttt最大值为

（）

A

．

1

B

．

277

64

C

．

1693

192

D

．

9

8

18

．已知函数

3

log91

1

x

fx

x





，下列说法正确的是（）

A

．fx

既不是奇函数也不是偶函数

B

．fx

的图象与sinyx

有无数个交点

C

．fx

的图象与

2y

只有一个交点

D

．

21ff

19

．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字

“

高斯

”

命名的成果达

110

个，属数学家中之最．对于高斯函数yx

，x

表示不超过实数

x

的最大整数，如

1.71，1.22

，x

表示

x

的非负纯小数，即xxx

．若函数

1log

a

yxx

（

0a

且

1a

）有且仅有

3

个零点，则实数

a

的取值范围为（）

A

．3,4

B

．3,4

C

．3,4

D

．3,4

20

．函数

()cos(1)xfxeaxxx

，当

0x

时，

()0fx

恒成立，则

a

的取值范围为

（）

A

．0,

B

．1,e

C

．,e

D

．,e

三、解答题

21

．

在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度

上可以简化推理过程

.

如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公

式

:

cos()coscossinsin

具体过程如下：

如图，在平面直角坐标系

xOy

内作单位圆

O

，以Ox为始边作角

，

.

它们的终边与单位圆

O

的交点分别为

A

，

B．

则

(cos,sin),(cos,sin)OAOB



由向量数量积的坐标表示，有：

coscossinsinOAOB



设

,OAOB

的夹角为

θ

，则

||||coscoscoscossinsinOAOBOAOB



另一方面，由图

3.1—3

（

1

）可知，

2k

；由图可知，

2k.

于是

2,kkZ.

所以

cos()cos

，也有

cos()coscossinsin

，

所以，对于任意角

,

有：

cos()coscossinsin

（



C



）

此公式给出了任意角

,

的正弦、余弦值与其差角



的余弦值之间的关系，称为差角

的余弦公式，简记作



C



.

有了公式



C



以后，我们只要知道

cos,cos,sin,sin

的值，就可以求得

cos()

的

值了

.

阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中

M

是

AB

的中点），采取类似方法（用

其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：

（

1

）判断

1

OCOM

OM







是否正确？（不需要证明）

（

2

）证明：

sinsin2sincos

22









（

3

）利用以上结论求函数

()sin2sin(2)

3

fxxx





的单调区间

.

22

．已知(3cos,sin),(sin,0),0axxbx，设()(),fxabbkkR

.

（

1

）若()fx图象中相邻两条对称轴间的距离不小于

2



，求



的取值范围；

（

2

）若()fx的最小正周期为



，且当

,

66

x











时，()fx的最大值是

1

2

，求()fx的解析

式，并说明如何由

sinyx

的图象变换得到

()yfx

的图象

.

23

．已知函数2sin2cos3fxxax

.

（

1

）当

1a

时，求该函数的最大值；

（

2

）是否存在实数

a

，使得该函数在闭区间

0,

2









上的最大值为

1

？若存在，求出对应

a

的值；若不存在，试说明理由

.

24

．已知函数23sin212cosfxxx

.

（

1

）求fx

的对称轴；

（

2

）将fx

的图象向左平移

12



个单位后得到函数gx

的图象，当

0,

3

x











时，求gx

的值域

.

25

．对于函数fx

，若存在定义域中的实数

a

，b满足

0ba

且

2()0

2

ab

fafbf





，则称函数fx

为

“M类

”

函数

.

（

1

）试判断

sinfxx，

xR

是否是

“M类

”

函数，并说明理由；

（

2

）若函数

2

|log1|fxx

，0,xn

，*nN

为

“M类

”

函数，求

n

的最小值

.

26

．如图，半圆的直径

2AB

，O为圆心，

C

，

D

为半圆上的点

.

（Ⅰ）请你为

C

点确定位置

,

使ABC的周长最大，并说明理由；

（Ⅱ）已知

ADDC

，设

ABD

，当



为何值时，

（ⅰ）四边形

ABCD

的周长最大，最大值是多少

（ⅱ）四边形

ABCD

的面积最大，最大值是多少

?

27

．函数sintanfxx，其中

0.

（

1

）讨论fx

的奇偶性

;

（

2

）1时，求证：fx

的最小正周期是



；

（

3

）1.50,1.57

，当函数fx

的图像与



11

2

gxx

x









的图像有交点时，求满足条件

的



的个数，说明理由

.

28

．已知函数22()sin22sin261

44

fxxtxtt











，

,

242

x

















，最小值为

gt

.

（

1

）求当1t时，求

8

f









的值；

（

2

）求gt

的表达式；

（

3

）当

1

1

2

t

时，要使关于

t

的方程2()9gtkt

有一个实数根，求实数

k

的取值范围

.

29

．设向量a=

（

2sin

2

x

cos

2

x

，

3

sinx

），

b=

（

cosx

，

sinx

），

x

∈

[-

6



，

3



]

，函数

f

（

x

）

=2a•

b

．

（

1

）若

|a|=

2

|

b

|

，求

x

的值；

（

2

）若

-2

3

≤f

（

x

）

-m≤

3

恒成立，求

m

的取值范围．

30

．函数

f

（

x

）

=Asin

（

2ωx+φ

）（

A

＞

0

，

ω

＞

0

，

|φ|

＜

2



）的部分图象如图所示

（

1

）求

A

，

ω

，

φ

的值；

（

2

）求图中

a

，

b

的值及函数

f

（

x

）的递增区间；

（

3

）若

α

∈

[0

，

π]

，且

f

（

α

）

=

2

，求

α

的值．

【参考答案】

一、填空题

1

．

311

2



2

．23,4





3

．

②④

4

．23

5

．

0

6

．

2r

rh





7

．

42

8

．15

9

．22,23

10

．4

二、单选题

11

．

B

12

．

C

13

．

B

14

．

A

15

．

A

16

．

B

17

．

B

18

．

C

19

．

C

20

．

B

三、解答题

21

．

(1)

正确

;(2)

见解析

;(3)

单调递增区间为

,()

36

kkkZ













，

()fx的单调递减区间为

2

,()

63

kkkZ













【解析】

【分析】

(1)

因为对

1

||

n

n



是

n

方向上的单位向量

,

又

1OC





且

OM

与

OC

共线

,

即可判断出正确

;

(2)

在OAM中

,

||||coscos

22

OMOA





,

又

1

OCOM

OM







,

表示出

OC

,

OM

的坐

标

,

由纵坐标对应相等化简即可证得结论

;

即

sinsin2sincos

22









(3)

由

(2)

结论化简可得

2222

33

()sin2sin22sincos3sin2

3226

xxxx

fxxxx





















借助正弦

型函数的性质即可求得结果

.

【详解】

(1)

因为对于非零向量

1

,

||

nn

n



是

n

方向上的单位向量

,

又

1OC





且

OM

与

OC

共线

,

所以

1

OCOM

OM







正确

;

(2)

因为

M

为

AB

的中点

,

则OMAB,

从而在OAM中

,

||||coscos

22

OMOA





,

又

1

OCOM

OM







,

又

cos,sin

22

OC











,

coscossinsin

22

OM











,

所以

1sinsin

sin

22

cos

2

















,

即

sinsin2sincos

22









(3)

因为

2222

33

()sin2sin22sincos3sin2

3226

xxxx

fxxxx





















令

222

262

kxk





,

解得

:

36

kxk





所以()fx的单调递增区间为

,()

36

kkkZ













令

3

222

262

kxk





,

解得

:

2

63

kxk





所以()fx的单调递减区间为

2

,()

63

kkkZ













【点睛】

本题考查向量在证明三角恒等式中的应用

,

考查类比推理

,

考查正弦型函数的单调性

,

难度较

难

.

22

．（

1

）

01

；（

2

）sin2

6

fxx











;

平移变换过程见解析

.

【解析】

【分析】

（

1

）根据平面向量的坐标运算

,

表示出()fx的解析式

,

结合辅助角公式化简三角函数式

.

结合

相邻两条对称轴间的距离不小于

2



及周期公式

,

即可求得



的取值范围

;

（

2

）根据最小正周期

,

求得



的值

.

代入解析式

,

结合正弦函数的图象、性质与()fx的最大值

是

1

2

,

即可求得()fx的解析式

.

再根据三角函数图象平移变换

,

即可描述变换过程

.

【详解】

∵

(3cos,sin),(sin,0)axxbx

∴(3cossin,sin)abxxx

∴2()()3sincossinfxabbkxxxk

31cos2311

sin2sin2cos2

22222

x

xkxxk









1

sin2

62

xk













（

1

）由题意可知

222

T





,

∴1

又0,

∴01

（

2

）∵

T







,

∴1

∴

1

()sin2

62

fxxk











∵

,

66

x











,

∴

2,

626

x











∴当

2

66

x





即

6

x





时

max

11

()sin1

6622

fxfkk











∴

1

2

k

∴

()sin2

6

fxx











将

sinyx

图象上所有点向右平移

6



个单位

,

得到

sin

6

yx











的图象；再将得到的图象上

所有点的横坐标变为原来的

1

2

倍

,

纵坐标不变

,

得到

sin2

6

yx











的图象（或将

sinyx

图

象上所有点的横坐标变为原来的

1

2

倍

,

纵坐标不变

,

得到

sin2yx

的图象；再将得到的图象

上所有点向右平移

12



个单位

,

得到

sin2

6

yx











的图象）

【点睛】

本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用

,

根据最值求三角函数解析式

,

三角函数图象平移

变换过程

,

属于中档题

.

23

．（

1

）1；（

2

）存在，且2a.

【解析】

【分析】

（

1

）将

1a

代入函数yfx

的解析式，得出2cos11fxx，由1cos1x结

合二次函数的基本性质可得出该函数的最大值；

（

2

）换元cos0,1tx

，将问题转化为二次函数222tatgt

在区间0,1

上的最大

值为

1

，然后分0a、01a和

1a

三种情况讨论，利用二次函数的基本性质求出函数

222tatgt

在区间0,1

上最大值，进而求得实数

a

的值

.

【详解】

（

1

）当

1a

时，2

2sin2cos3cos11fxxxx，

1cos1x，当cos1x时，该函数取得最大值，即

max

1fx

；

（

2

）22sin2cos3cos2cos2xaxxaxfx

，

当

0,

2

x











时，设cos0,1tx

，设222tatgt

，0,1t

，

二次函数ygt

的图象开口向下，对称轴为直线ta.

当0a时，函数ygt

在0,1

上单调递减，所以0t时，

max

021gtg

，

0a

不符合题意；

当

1a

时，函数ygt

在0,1

上单调递增，所以1t时，

max

1231gtga

，

2a满足

1a

；

当01a时，函数ygt

在

0,a

上单调递增，在,1a

上单调递减，



当ta时，2

max

21gtgaa

，

3a

不满足01a.

综上，存在

2a

符合题意

.

【点睛】

本题考查二次型余弦函数的最值，将问题转化为二次函数的最值来求解是解题的关键，第

二问要对二次函数图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的单调性

求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题

.

24

．（

1

）

23

k

x





(kZ)

（

2

）0,2

【解析】

（

1

）利用三角恒等变换，化简函数解析式为标准型，再求对称轴；

（

2

）先求平移后的函数解析式，再求值域

.

【详解】

（

1

）23sin22cos1fxxx

3sin2cos2xx

2sin2

6

x











令：

2

62

xk





，得

23

k

x





，

所以fx

的对称轴为

23

k

x





(kZ).

（

2

）将fx

的图象向左平移

12



个单位后得到函数gx

，

所以



12

gxfx











2sin22sin2

126

xx















当

0,

3

x











时，有

2

20,

3

x









，

故sin20,1x

，gx

的值域为0,2

.

【点睛】

本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，求解函数性质，同时涉及三角函数图象的平

移，以及值域的求解问题

.

属三角函数综合基础题

.

25

．（

1

）不是

.

见解析（

2

）最小值为

7.

【解析】

（

1

）不是，假设fx

为M类函数，得到

2bak

或者

2bak

，代入验证不成

立

.

（

2

）2

2

1log,02

log1,2

xx

fx

xx













，得到函数的单调区间，根据题意得到

326480bbb

，得到6,7b

，得到答案

.

【详解】

（

1

）不是

.

假设fx

为

M

类函数，则存在

0ba

，使得

sinsinab

，

则

2bak

，

kZ

或者

2bak

，

kZ

，

由

sin2sin

2

ab

a





，

当

2bak

，

kZ

时，有sin2sinaak

，

kZ

，

所以

sin2sinaa

，可得

sin0a

，不成立；

当

2bak

，

kZ

时，有

sin2sin()

2

ak





，

kZ

，

所以

sin2a

，不成立，

所以fx

不为M类函数

.

（

2

）2

2

1log,02

log1,2

xx

fx

xx













，则fx

在0,2

单调递减，在2,

单调递增，

又因为fx

是

M

类函数，

所以存在

02ab

，满足

222

1loglog12|log1|

2

ab

ab





，

由等式可得：

2

log2ab

，则

4ab

，

所以

22

14

2(4)0

222

a

ab

a

aa







，

则

2

log10

2

ab



，所以得

22

log12log1

2

ab

b











，

从而有

2

22

log1log

2

ab

b











，则有

2

2

4

ab

b





，即

24

8bb

b









，

所以43288160bbb

，则3226480bbbb

，

由2b，则326480bbb

，

令32648gxxxx

，当26x时，26480gxxxx

，且

6320g

，7130g

，且gx

连续不断，由零点存在性定理可得存在6,7b

，

使得0gb

，此时0,2a

，因此

n

的最小值为

7.

【点睛】

本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力

.

26

．（Ⅰ）点

C

是半圆的中点，理由见解析；（Ⅱ）（ⅰ）

6





时，最大值

5

（ⅱ）

6





时，最大面积是

33

4

【解析】

(

Ⅰ

)

设BCa,ACb,ABc,

法一

:

依题意有222abc

,

再利用基本不等式求得2abc

,

从而得出结论

;

法二

:

由点

C

在半圆上

,

AB

是直径

,

利用三角函数求出

cosac

,sinbc,

再利用三角函数的性质求出结论

;

(

Ⅱ

)(

ⅰ

)

利用三角函数值表示四边形ABCD的周长

p

,

再求

p

的最大值

;(

ⅱ

)

利用三角函数值表

示出四边形

ABCD

的面积s,

再结合基本不等式求s的最大值

.

【详解】

(

Ⅰ

)

点

C

在半圆中点位置时

,ABC周长最大

.

理由如下

:

法一

:

因为点

C

在半圆上

,

且

AB

是圆的直径

,

所以

2

ACB





,

即ABC是直角三角形

,

设

BCa,ACb,ABc,

显然

a,b,c

均为正数

,

则222abc

,

因为222abab

,

当且仅当

ab

时等号成立

,

所以2

222222abababab

,

所以2222ababc

,

所以

ABC

的周长为21222abcc

,

当且仅当

ab

时等号成立

,

即

ABC

为等腰直角三角形时

,

周长取得最大值

,

此时点

C

是半圆的中点

.

法二

:

因为点

C

在半圆上

,

且

AB

是圆的直径

,

所以

2

ACB





,

即ABC是直角三角形

,

设BCa

,ACb,ABc,

0

2

ABC













,

则

cosac

,sinbc,

abccossinccc2cossin2

22sin2

4













,

因为

0

2





,

所以

3

444





,

所以当

42





,

即

4





时

,

ABC周长取得最大值

222

,

此时点

C

是半圆的中点

.

(

Ⅱ

)(

ⅰ

)

因为ADDC,

所以ABDDBC,

所以

sinADDCAB,cos2CBAB,

设四边形ABCD的周长为

p

,

则

pADDCCBAB

2sincos22ABAB2

2

1

4sin212sin254sin

2











,

显然

0,

4













,

所以当

6





时

,

p

取得最大值

5;

(

ⅱ

)

过O作OEBC于

E

,

设四边形

ABCD

的面积为s,

四边形AOCD的面积为1

s,BOC

的面积为2

s

,

则

12

11

22

sssACODBCOE

11

sin21cos2sin2

22

ABAB

sin2cos2sin2

sin21cos2

,

所以2

22sin21cos2s

2

21cos21cos2

31cos21cos2

33

1cos21cos2

3







2

2

31cos21cos2

1

1cos2

32



















231cos21cos2

1

1cos2

32



















2231cos21cos2

1cos2

1

2

32























431cos21cos221cos2

1

34











41327

3216









;

当且仅当31cos21cos2

,

即

1

cos2

2



时

,

等号成立

,

显然

0

4













，,

所以

20

2













，,

所以此时

6





,

所以当

6





时

,

33

4

s

,

即四边形ABCD的最大面积是

33

4

.

【点睛】

本题考查解三角形的应用问题

,

考查三角函数与基本不等式的应用

,

需要学生具备一定的计算

分析能力

,

属于中档题

.

27

．（

1

）奇函数；（

2

）见解析；（

3

）



的个数为

198

个，见解析

.

【解析】

（

1

）根据奇偶函数的定义进行判断即可；

（

2

）根据最小正周期公式进行验证即可；

（

3

）利用函数的图象和不等式的性质可以求出满足条件的



的个数

.

【详解】

（

1

）sin[tan()]sin(tan)sin(tan)()fxxxxfx

，所以函数fx

是奇函

数；

（

2

）sin[tan()]sin(tan)()fxxxfx

，所以fx

的最小正周期是



；

（

3

）因为当

0x

时，

1111

21

22

gxxx

xx









，（当且仅当

1x

时取等号），所

以当函数fx

的图像与



11

2

gxx

x









的图像有交点时，只能sintan1x

，即

tan2

2

k





，因为

(1.50,1.57)

，所以

2(tan1.50,tan1.57)

2

k





，

因此

1.99199.6k

，

2,3,4,,199k

，因此满足条件的



的个数为

198

个，

当0x时，也是一样的，因为两个函数是奇函数都关于原点对称，

所以当函数fx

的图像与



11

2

gxx

x









的图像有交点时，满足条件的



的个数为

198.

【点睛】

本题考查了函数奇偶性和周期性，考查了三角奇函数的性质，考查了基本不等式的应用，

考查了数学运算能力

.

28

．（

1

）

4

（

2

）

2

2

51

5

42

1

()611

2

82(1)

ttt

gttt

ttt





































（

3

）--22（，）（，）

【解析】

【分析】

（

1

）直接代入计算得解；（

2

）先求出

1

sin(2)[,1]

42

x





，再对

t

分三种情况讨论，结合

二次函数求出gt

的表达式；（

3

）令2()()9htgtkt

，即2()(6)t10htk

有一个实

数根，利用一次函数性质分析得解

.

【详解】

（

1

）当1t时，2()sin22sin24

44

fxxtx











，所以

4

8

f











.

（

2

）因为

[,]

242

x



，所以

3

2[,]

464

x





，所以

1

sin(2)[,1]

42

x





2()[sin(2)]61

4

fxxtt





（

[,]

242

x



）

当

1

2

t

时，则当

1

sin(2)

42

x





时，2

min

5

[()]5

4

fxtt

当

1

1

2

t

时，则当

sin(2)

4

xt





时，

min

[()]61fxt

当1t时，则当

sin(2)1

4

x





时，2

min

[()]82fxtt

故

2

2

51

5

42

1

()611

2

82(1)

ttt

gttt

ttt





































（

3

）当

1

1

2

t

时，

()61gtt

，令2()()9htgtkt

即2()(6)t10htk

欲使2()9gtkt

有一个实根，则只需

1

()0

2

(1)0

h

h















或

1

()0

2

(1)0

h

h















解得-2k或2k

.

所以k的范围：--22（，）（，）.

【点睛】

本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意

在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题

.

29

．（

1

）

π

4

x；（

2

）

3,332







.

【解析】

【分析】

（

1

）根据

|a|

2

|

b

|

，利用化简函数化简解得

x

的值；

（

2

根据

f

（

x

）＝

2a•

b

．结合向量的坐标运算，根据

x

∈

[

6





，

3



]

，求解范围，）﹣

2

3

f

（

x

）﹣

m

3

恒成立，可得

m

的取值范围．

【详解】

解：（

1

）由

|a|=

2

|

b

|

，

可得222ab

；

即

4sin2x=2

（

cos2x+sin2x

）

即

sin2x=

1

2

；

∴

sinx=

2

2



；

∵

x

∈

[-

6



，

3



]

，

∴

x=

4



（

2

）由函数

f

（

x

）

=2a•

b

=2sin2x+2

3

sin2x

=sin2x+

23

（

11

22



cos2x

）

=sin2x

3

cos2x+

3

=2sin

（

2x-

3



）

3

∵

x

∈

[-

6



，

3



]

，

∴

2x-

3



∈

[-

2

3



，

3



]

，

则

32

≤2sin

（

2x-

3



）

3

≤2

3

；

要使

-2

3

≤f

（

x

）

-m≤

3

恒成立，

则

2332

323

m

m















解得：

3332m

故得

m

的取值范围是

[

3

，

332

]

．

【点睛】

本题考查三角函数的化简能力和向量的运算，考查转化思想以及计算能力．

30

．（

1

）

π

2,1,

6

A

；（

2

）

7π

,1

12

ab

，递增区间为

ππ

π,π

36

kkkZ









；

（

3

）

π

24

或

7π

24

.

【解析】

【分析】

（

1

）利用函数图像可直接得出周期

T

和

A

，再利用

=

2

T





，求出



，

然后利用待定系数法直接得出



的值．

（

2

）通过第一问求得的值可得到fx

的函数解析式，令=0fx

，再根据

a

的位置确定

出

a

的值；令0x得到的函数值即为

b

的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单

调增区间．

（

3

）令2f

结合

0απ，

即可求得



的取值．

【详解】

解：（

1

）由图象知

A=2

，

3

4

T

=

5

12



-

（

-

3



）

=

9

12



，

得

T=π

，

即

2

2





=2

，得

ω=1

，

又

f

（

-

3



）

=2sin[2×

（

-

3



）

+φ]=-2

，

得

sin

（

-

2

3



+φ

）

=-1

，

即

-

2

3



+φ=-

2



+2kπ

，

即

ω=

6



+2kπ

，

k

∈

Z

，

∵

|φ|

＜

2



，

∴当

k=0

时，

φ=

6



，

即

A=2

，

ω=1

，

φ=

6



；

（

2

）

a=-

3



-

4

T

=-

3



-

4



=-

7

12



，

b=f

（

0

）

=2sin

6



=2×

1

2

=1

，

∵

f

（

x

）

=2sin

（

2x+

6



），

∴由

2kπ-

2



≤2x+

6



≤2kπ+

2



，

k

∈

Z

，

得

kπ-

3



≤x≤kπ+

6



，

k

∈

Z

，

即函数

f

（

x

）的递增区间为

[kπ-

3



，

kπ+

6



]

，

k

∈

Z

；

（

3

）∵

f

（

α

）

=2sin

（

2α+

6



）

=

2

，

即

sin

（

2α+

6



）

=

2

2

，

∵

α

∈

[0

，

π]

，

∴

2α+

6



∈

[

6



，

13

6



]

，

∴

2α+

6



=

4



或

3

4



，

∴

α=

24



或

α=

7

24



．

【点睛】

关于三角函数图像需记住：

两对称轴之间的距离为半个周期；

相邻对称轴心之间的距离为半个周期；

相邻对称轴和对称中心之间的距离为

1

4

个周期．

关于正弦函数单调区间要掌握：

当

2,2

22

xkk













时，函数单调递增；

当

3

2+,2

22

xkk













时，函数单调递减．