双曲线方程

1

2．2双曲线

2．2.1双曲线及其标准方程

【课标要求】

1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．

2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．

【核心扫描】

1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点)

2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)

自学导引

1．双曲线的定义

把平面内与两个定点F

1

、F

2

的距离的差的绝对值等于常数(小于|F

1

F

2

|)的点的轨迹叫做

双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F

1

F

2

|”，那么“常数等于|F

1

F

2

|”，

“常数大于|F

1

F

2

|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？

提示(1)若“常数等于|F

1

F

2

|”时，此时动点的轨迹是以F

1

，F

2

为端点的两条射线

F

1

A，F

2

B(包括端点)，如图所示．

(2)若“常数大于|F

1

F

2

|”，此时动点轨迹不存在．

(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F

1

F

2

的垂直平分线．

2．双曲线的标准方程

焦点在x轴上焦点在y轴上

标准方程

x2

a2

－

y2

b2

＝1

(a>0，b>0)

y2

a2

－

x2

b2

＝1

(a>0，b>0)

焦点坐标F

1

(－c,0)，F

2

(c,0)F

1

(0，－c)，F

2

(0，c)

a，b，c的关系c2＝a2＋b2

想一想：如何判断方程

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)和

y2

a2

－

x2

b2

＝1(a>0，b>0)所表示双曲线的焦点

的位置？

提示如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点

在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点

在哪一个坐标轴上．

名师点睛

1．对双曲线定义的理解

(1)把定常数记为2a，当2a<|F

1

F

2

|时，其轨迹是双曲线；当2a＝|F

1

F

2

|时，其轨迹是以

F

1

、F

2

为端点的两条射线(包括端点)；当2a>|F

1

F

2

|时，其轨迹不存在．

(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F

1

、F

2

表示双曲线的左、右焦

点，且点P满足|PF

1

|－|PF

2

|＝2a，则点P在右支上；若点P满足|PF

2

|－|PF

1

|＝2a，则点P在

左支上．

(3)双曲线定义的表达式是|||PF

1

|－|PF

2

|

＝2a(0<2a<|F

1

F

2

|)．

(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距

离．”

2

2．双曲线的标准方程

(1)只有当双曲线的两焦点F

1

、F

2

在坐标轴上，并且线段F

1

F

2

的垂直平分线也是坐标轴

时得到的方程才是双曲线的标准方程．

(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，

这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中a、b大小则不

确定．

(3)焦点F

1

、F

2

的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦

点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y

轴上．

(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准

方

程为Ax2＋By2＝1(AB<0)或进行分类讨论.

题型一求双曲线的标准方程

【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程．

(1)经过点P









3，

15

4

，Q









－

16

3

，5

；

(2)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．

[思路探索]由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)和

y2

a2

－

x2

b2

＝

1(a>0，b>0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)或

x2

m

＋

y2

n

＝1(mn<0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)或

x2

λ

－

y2

6－λ

＝1(0<λ<6)．

解(1)法一若焦点在x轴上，设双曲线的方程为

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)，

由于点P









3，

15

4

和Q









－

16

3

，5

在双曲线上，

所以





9

a2

－

225

16b2

＝1，

256

9a2

－

25

b2

＝1，

解得









a2＝－16，

b2＝－9

(舍去)．

若焦点在y轴上，设双曲线的方程为

y2

a2

－

x2

b2

＝1(a>0，b>0)，

将P、Q两点坐标代入可得





225

16a2

－

9

b2

＝1，

25

a2

－

256

9b2

＝1，

解之得









a2＝9，

b2＝16，

所以双曲线的标准方程为

y2

9

－

x2

16

＝1.

法二设双曲线方程为

x2

m

＋

y2

n

＝1(mn<0)．

∵P、Q两点在双曲线上，

3

∴





9

m

＋

225

16n

＝1，

256

9m

＋

25

n

＝1，

解得









m＝－16，

n＝9.

∴所求双曲线的标准方程为

y2

9

－

x2

16

＝1.

(2)法一依题意，可设双曲线方程为

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)．

依题设有









a2＋b2＝6，

25

a2

－

4

b2

＝1，

解得









a2＝5，

b2＝1，

∴所求双曲线的标准方程为

x2

5

－y2＝1.

法二∵焦点在x轴上，c＝6，

∴设所求双曲线方程为

x2

λ

－

y2

6－λ

＝1(其中0<λ<6)．

∵双曲线经过点(－5,2)，

∴

25

λ

－

4

6－λ

＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．

∴所求双曲线的标准方程是

x2

5

－y2＝1.

规律方法求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位

置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点

在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定

点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一

种好方法．

【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；

(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)．

解(1)由题设知，a＝3，c＝4，

由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.

因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为

x2

9

－

x2

7

＝1.

(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的

距离的差的绝对值是常数2a，

即2a＝|－5－02＋6＋62－－5－02＋6－62|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2

＝62－42＝20.

因此，所求双曲线的标准方程是

y2

16

－

x2

20

＝1.

2.若椭圆

x2

m

＋

y2

n

＝1(m＞n＞0)和双曲线

x2

a

－

y2

b

＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点，P是两曲线

的一个交点，则|PF

1

|·|PF

2

|的值为()

A．m－aB．m－b

C．m2－a2D．m－b

A解析：设点P为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF

1

|＋|PF

2

|＝2m．

由双曲线定义得|PF1

|－|PF

2

|＝2a．∴|PF

1

|＝m＋a，|PF

2

|＝m－a．

∴|PF1

|·|PF

2

|＝m－a．

4

题型二双曲线定义的应用

【例2】

如图，若F

1

，F

2

是双曲线

x2

9

－

y2

16

＝1的两个焦点．

(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；

(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF

1

|·|PF

2

|＝32，试求△F

1

PF

2

的面积．

[思路探索](1)由双曲线的定义，得||MF

1

|－|MF

2

||＝2a，则点M到另一焦点的距离易得；

(2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．

解双曲线的标准方程为

x2

9

－

y2

16

＝1，

故a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5.

(1)由双曲线的定义，得||MF

1

|－|MF

2

||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距

离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点M

到另一个焦点的距离为6或22.

(2)将||PF

2

|－|PF

1

||＝2a＝6，两边平方，得

|PF

1

|2＋|PF

2

|2－2|PF

1

|·|PF

2

|＝36，

∴|PF

1

|2＋|PF

2

|2＝36＋2|PF

1

|·|PF

2

|＝

36＋2×32＝100.

在△F

1

PF

2

中，由余弦定理，得

cos∠F

1

PF

2

＝

|PF

1

|2＋|PF

2

|2－|F

1

F

2

|2

2|PF

1

|·|PF

2

|

＝

100－100

2|PF

1

|·|PF

2

|

＝0，∴∠F

1

PF

2

＝90°，

∴S△F

1

PF

2

＝

1

2

|PF

1

|·|PF

2

|＝

1

2

×32＝16.

规律方法(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根

据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1

|－|PF

2

||＝2a求

解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．

(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF

1

|－|PF

2

||

＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运

算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．

【变式2】1．已知双曲线的方程是

x2

16

－

y2

8

＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F

1

的距离为10，点N是PF

1

的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)．

1．解：连接ON，ON是△PF

1

F

2

的中位线，

5

所以|ON|＝

1

2

|PF

2

|．

因为||PF1

|－|PF

2

||＝8，|PF

1

|＝10，

所以|PF2

|＝2或18，|ON|＝

1

2

|PF

2

|＝1或9．

2．设P为双曲线

x2

16

－

y2

9

＝1上一点，F

1

，F

2

是该双曲线的两个焦点，若∠F

1

PF

2

＝60°，

求△PF

1

F

2

的面积．

解：由方程

x2

16

－

y2

9

＝1，得a＝4，b＝3，故c＝16＋9＝5，

所以|F1

F

2

|＝2c＝10．

又由双曲线的定义，得||PF1

|－|PF

2

||＝8，两边平方，得|PF

1

|2＋|PF2

|2－2|PF1

||PF

2

|＝

64．①

在△PF1

F

2

中，由余弦定理，得

|F

1

F

2

|2＝|PF1

|2＋|PF2

|2－2|PF1

||PF

2

|cos60°，

即|PF1

|2＋|PF2

|2－|PF1

||PF

2

|＝100．②

①－②，得|PF1

||PF

2

|＝36，

所以

12

PFF

S



＝

1

2

|PF

1

||PF

2

|sin60°＝

1

2

×36×

3

2

＝93．

3.已知双曲线

x2

9

－

y2

16

＝1的左、右焦点分别是F

1

、F

2

，若双曲线上一点P使得∠F

1

PF

2

＝

60°，求△F

1

PF

2

的面积．

解由

x2

9

－

y2

16

＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.

由定义和余弦定理，得|PF

1

|－|PF

2

|＝±6，

|F

1

F

2

|2＝|PF

1

|2＋|PF

2

|2－2|PF

1

||PF

2

|cos60°，

所以102＝(|PF

1

|－|PF

2

|)2＋|PF

1

|·|PF

2

|，

所以|PF

1

|·|PF

2

|＝64，

∴S△F

1

PF

2

＝

1

2

|PF

1

|·|PF

2

|·sin∠F

1

PF

2

＝

1

2

×64×

3

2

＝163.

误区警示忽略双曲线焦点位置致误

【示例】方程

x2

2－m

＋

y2

|m|－3

＝1表示双曲线，那么m的取值范围是________．

[错解]由









2－m>0，

|m|－3<0

解得－3

∴m的取值范围是{m|－3

只考虑焦点在x轴上，忽视了焦点在y轴上的情况．

[正解]依题意有









2－m>0

|m|－3<0

或









2－m<0，

|m|－3>0，

解得－33.

∴m的取值范围是{m|－33}．

答案{m|－33}

方程

x2

m

＋

y2

n

＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，

6

m、n应满足m>n>0或n>m>0，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n>m>0时，

方程表示焦点在y轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m、n应满足mn<0，当m>0，n<0

时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线.

当堂检测

1．平面内有两个定点F

1

(－5,0)和F

2

(5,0)，动点P满足|PF

1

|－|PF

2

|＝6，则动点P的轨迹

方程是()

A．

22

=1

169

xy

(x≤－4)B．

22

=1

916

xy

(x≤－3)

C．

22

=1

169

xy

(x≥4)D．

22

=1

916

xy

(x≥3)

答案：D解析：由已知动点P的轨迹是以F

1

，F

2

为焦点的双曲线的右支，且a＝3，c

＝5，b2＝c2－a2＝16，∴所求轨迹方程为

22

=1

916

xy

(x≥3)．

2．已知双曲线为

22

=1

2

xy



，则此双曲线的焦距为()

A．2B．22C．2D．22

答案：D解析：由已知λ＜0，a2＝2，b2＝－λ，c2＝2－λ，∴焦距222c．

3．已知双曲线

22

=1

169

xy

上的点P到(5,0)的距离为15，则点P到点(－5,0)的距离为()

A．7B．23C．5或25D．7或23

答案：D解析：设F

1

(－5,0)，F

2

(5,0)，

则由双曲线的定义知：||PF1

|－|PF

2

||＝2a＝8，

而|PF2

|＝15，解得|PF

1

|＝7或23．

4．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，顶点B在双曲线

22

=1

2511

xy

的左支上，则

sinsin

sin

AC

B



＝______．

答案：

5

6

解析：如图，

||||

sinsin||||2105

22

||

sin||2126

2

BCAB

ACBCABa

RR

AC

BACc

R





．

5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线

22

=1

412

xy

上一点M的横坐标为3，则点M

到此双曲线的右焦点的距离为__________．

答案：4解析：设右焦点为F，则点F的坐标为(4,0)．

把x＝3代入双曲线方程得y＝±15，即M点的坐标为(3，±15)．

7

由两点间距离公式得|MF|＝3－42＋±15－02＝4．