学年论文格式

标准论文格式

1、题目。应能概括整个论文最重要的内容，言简意赅，引人注目，一般不宜超过20个字。

论文摘要和关键词。

2、论文摘要应阐述学位论文的主要观点。说明本论文的目的、研究方法、成果和结论。尽可能保留

原论文的基本信息，突出论文的创造性成果和新见解。而不应是各章节标题的简单罗列。摘要以500

字左右为宜。

关键词是能反映论文主旨最关键的词句，一般3-5个。

3、目录。既是论文的提纲，也是论文组成部分的小标题，应标注相应页码。

4、引言（或序言）。内容应包括本研究领域的国内外现状，本论文所要解决的问题及这项研究工作

在经济建设、科技进步和社会发展等方面的理论意义与实用价值。

5、正文。是毕业论文的主体。

6、结论。论文结论要求明确、精炼、完整，应阐明自己的创造性成果或新见解，以及在本领域的意

义。

7、参考文献和注释。按论文中所引用文献或注释编号的顺序列在论文正文之后，参考文献之前。图

表或数据必须注明来源和出处。

（参考文献是期刊时，书写格式为：

［编号］、作者、文章题目、期刊名（外文可缩写）、年份、卷号、期数、页码。参考文献是图

书时，书写格式为：

［编号］、作者、书名、出版单位、年份、版次、页码。）

8、附录。包括放在正文内过份冗长的公式推导，以备他人阅读方便所需的辅助性数学工具、重复性

数据图表、论文使用的符号意义、单位缩写、程序全文及有关说明等。

二：本科毕业论文格式要求：

1、装订顺序：目录--内容提要--正文--参考文献--写作过程情况表--指导教师评议表参考文献应

另起一页。

纸张型号：A4纸。A4210×297毫米论文份数：一式三份。

其他（调查报告、学习心得）：一律要求打印。

2、论文的封面由学校统一提供。（或听老师的安排）

3、论文格式的字体：各类标题（包括“参考文献”标题）用粗宋体；作者姓名、指导教师姓名、摘

要、关键词、图表名、参考文献内容用楷体；正文、图表、页眉、页脚中的文字用宋体；英文用

TimesNewRoman字体。

4、字体要求：

（1）论文标题2号黑体加粗、居中。

（2）论文副标题小2号字，紧挨正标题下居中，文字前加破折号。

（3）填写姓名、专业、学号等项目时用3号楷体。

（4）内容提要3号黑体，居中上下各空一行，内容为小4号楷体。

（5）关键词4号黑体，内容为小4号黑体。

（6）目录另起页，3号黑体，内容为小4号仿宋，并列出页码。

（7）正文文字另起页，论文标题用3号黑体，正文文字一般用小4号宋体，每段首起空两个

格，单倍行距。

8）正文文中标题

一级标题：标题序号为“一、”，4号黑体，独占行，末尾不加标点符号。二级标题：标题序

号为“（一）”与正文字号相同，独占行，末尾不加标点符号

9）注释：4号黑体，内容为5号宋体。

10）附录：4号黑体，内容为5号宋体。

11）参考文献：另起页，4号黑体，内容为5号宋体。

12）页眉用小五号字体打印“上海复旦大学XX学院2007级XX专业学年论文”字样，并左

对齐。

三级标题：标题序号为1.”与正文字号、字体相同。

四级标题：标题序号为1）”与正文字号、字体相同。

五级标题：标题序号为①”与正文字号、字体相同。

5、纸型及页边距：A4纸（297mm×210mm）。

6、页边距：天头（上）20mm，地角（下）15mm，订口（左）25mm，翻口（右）20mm。

7、装订要求：先将目录、内容摘要、正文、参考文献、写作过程情况表、指导教师评议表等装订

好，然后套装在学校统一印制的论文封面之内（用胶水粘贴，订书钉不能露在封面外）。

1.纸张与页面设置

（1）A4，纵向；

（2）页边距：上1.0cm，下2cm，左侧2.5cm，右侧2cm

2.页眉

（1）设置：1.4cm

（2）字体：统一使用汉语：小五号宋体。

（3）分割线：3磅双线；

（4）内容：××学院本科期末论文，居中。

3.页脚

内容：页码，居中。

4.论文基本内容与要求

（1）论文题目：单独成行，居中，日语：小2号黑体；英语：TimesNewRoman18号；

（2）作者姓名：另起一行，居中，日语：小4号宋体；英语：TimesNewRoman12号；

（3）内容提要：另起一行，日语：4号黑体，内容为小4号黑体，长度要求150字以上；英语：

TimesNewRoman12号，长度要求在100字左右；

（4）关键词：另起一行，日语：4号黑体，3-5个关键词，每个关键词之间用“；”分割，内容为

小4号黑体；英语TimesNewRoman12号；

（5）正文

正文部分的要求如下：①正文部分与“关键词”行间空两行；②日语正文文字采用小四号宋体；英语

正文文字采用TimesNewRoman12号，标题日语采用四号黑体，英语采用TimesNewRoman14

号，每段首起空两格，1.25倍行距；③段落间层次要分明，题号使用要规范。理工类专业毕业设

计，可以结合实际情况确定具体的序号与层次要求；④文字要求：文字通顺，语言流畅，无错别字，

无违反政治上的原则问题与言论，要采用计算机打印文稿；⑤图表要求：所有图表、线路图、流程

图、程序框图、示意图等不准用徒手图，必须按国家规定的工作要求采用计算机或手工绘图，图表中

的文字日语用小五号宋体；英语采用TimesNewRoman10.5号；图表编号要连续，如图1、图2

等，表1、表2等；图的编号放在图的下方，表的编号放在表的上方，表的左右两边

不能有边；⑥字数要

求：

一般不少于1500（按老师要求）；⑦学年论文引用的观点、数据等要注明

出处，一律采用尾注。

（6）注释

注释部分的要求如下：①与正文部分空出两行；②按照文中的索引编号分别或合并注释；③“注释”

采用五号黑体，注释内容日语采用小五号宋体，英语采用TimesNewRoman9号。

英语注释具体要求如下：

①在文中要有引用标注，如×××[1]；②如果重复出现同一作者的同一作品时，只注明作者的姓

和引文所在页码（姓和页码之间加逗号）；格式要求如下：

[1]（空两格）作者名（名在前，姓在后，后加英文句号），书名（用斜体，后加英文句号），出版

地（后加冒号），出版社或出版商（后加逗号），出版日期（后加逗号），页码（后加英文句

号）。

[2]（空两格）作者名（名在前，姓在后，后加英文句号），文章题目（文章题目用“”引起来）

（空

一格）紧接杂志名（用斜体，后加逗号），卷号（期号），出版年，起止页码，英文句号。

（7）参考文献

参考文献部分的要求如下：①与注释部分间空两行；②应列明期末论文参考的主要文献资料，“参考

文献”采用五号黑体，参考文献内容日语、汉语采用小五号宋体，英语TimesNewRoman10.5

号。参考文献的著录，按著录、题目、出版事项顺序排列，其格式为：

期刊类：著者.题名[J].杂志名,年份,（期号）。

书籍类：著者.书名[M].城市名:出版社,年份,页数。

网络类：著者.题名[EB/OL].www.***.com.年-月-日。

③英文作者超过3人写“etal”（斜体）。

英文参考文献格式要求如下：

[1]（空两格）作者名（姓在前，名在后，姓与名之间用逗号分开，后加英文句号），书名（用斜体，

后加英文句号），出版地（后加冒号），出版社或出版商（后加逗号），出版日期（后加英文句

号）

[2]（空两格）作者名（姓在前，名在后，姓与名之间用逗号分开，后加英文句号），文章题目（文

章题目用“”引起来）（空一格）紧接杂志名（用斜体，后加逗号），卷号（期号），出版年，英

文句号。

科学技术报告

是描述一项科学技术研究结果或进展或一项技术研制试验和评价的结果；是论述某项科学技术问

题的现状的文件。

科学技术报告中一般应该提供系统的或按工作进程的充分信息，可以包括正反两方面的结果和经

验。

学术论文

是某一学术课题在实验性、理论性或观测性上具有新的科学研究成果或创新见解和知识的科学记

录；

是某种已知原理应用于实际中取得新进展的科学总结，用以提供学术会议上宣读、交流和讨论；

是在学术刊物上发表；

有其他用途的书面文件。

它应提供新的科学技术信息，其内容应有所发现、有所发明、有所创造、有所前进，绝对不允许

重复、模仿、抄袭别人的工作。

论文题名是以最恰当、最简明但能够反映学术论文中最重要的特定内容的符合语法的词语组合。

题名中所用的每一词语必须考虑到有助于选定关键词和编制题录、索引等二次文献所可以提供检索的

特定实用信息。

题名中不能使用不常见的缩写词、首字母缩写字、字符、代号和公式。建议不使用副题名。

论文摘要（以下简称"摘要"）

是报告、论文的内容不加注释和评论的简短陈述。应具有独立性和自含性，即不阅读报告、论文

的全文，就能获得必要的信息。可以有数据、有结论，是一篇完整的短文，可以独立使用，可以

为其他文献独立引用。

内容应包含与报告、论文同等量的主要信息。

一般应说明研究工作的目的、实验方法、结果和最终结论。

写作重点是结果和结论。

摘要要素

目的、研究、研制、调查等的前提、目的和任务，以及所涉及的主题范围。方法、所用的原理、

理论、条件、对象、材料、工艺、结构、手段、装备、程序等。结果、实验或研究的结果、数

据、被确定的关系、观察结果、性能等。

结论、结果的分析、研究、比较、评价和应用，提出的问题，今后的课题，假设，启发，建议，

预测等

其他、不属于研究、研制、调查的主要目的，但就其见识和情报价值而言也是重要的信息

摘要类型

报道型摘要表明一次文献的主题范围及内容梗概的简明摘要。

指示型摘要表明一次文献的主题范围的简明摘要。

报道／指示型摘要是以报道型文摘的形式表述一次文献中信息价值较高的部分，

文摘的形式表示其余的部分的文摘形式。

摘要特点

报道型摘要方法、结果、结论等3部分必须写得详细，目的和其他等2部分写得简单。指示型

摘要目的部分必须写得详细，而方法、结果、结论、其他等4部分可以写得简单。报道／指示型

摘要上述5个部分都必须写得详细。字数一般以400字左右为宜。

摘要写作要求

中文摘要

英文墒要

对于使用汉语言作为学术论文的文字载体的作者，使用报道／指示型文摘是使其从事的科研

工作和科研成果获得国际承认的最基础前提！

论文引言

用于简要说明研究工作的目的、范围、相关领域的已有工作、知识空白、理论基础、分析、研究

设想、研究方法、实验设计、预期结果和研究意义等。

而以指示性

应言简意赅，不能与摘要雷同，不可成为摘要的注释。普通教科书中已有的知识，不必在引言中

出现。

论文正文

是学术论文的核心部分，占主要篇幅。表达对象是，调查对象、实验方法、观测方法、仪器设

备、材料原料、实验结果、观测结果、计算方法、编程原理、数据资料、经过加工整理的图表、形成

的论点和导出的结论。

由于学科、选题、研究方法、工作进程、结果表达方式的差异，本次交流活动对正文内容不作统

一的规定。

正文内容必须实事求是，客观真切，准确完备，合乎逻辑，层次分明，简练可读。

论文结论

是最终的、总体的结论。不能与正文各段中的小结相重复。应该准确、完整、明确、精练。如

果未能导出结论，也可以没有结论而进行必要的讨论。可以在结论或讨论中提出建议、研究设

想、仪器设备改进意见、尚需解决的问题。

论文致谢作为一名研究者，应该尊重为形成学术论文所进行的研究所提供帮助的单位、个人表达，肯

定他们在形成学术论文过程中所起的作用。

由于纵向课题的学术论文在论文题名处已给予标注，因而本致谢中可以不提出。应该对以下方面

致谢：横向课题合同单位，资助或支持研究的企业、组织或个人；协助完成研究工作或提供便

利条件的组织或个人；在研究工作中提出建议或提供帮助的人员；给予转载和引用权的资料、

图片、文献、研究思想和设想的所有者；

其他应感谢的组织或个人。

本科学年论文

题目

院别数学与信息科学学院

专业数学与应用数学

指导教师（姓名居中暂不填

阅教师（姓名居中暂不填）

班级2007级姓名（姓名居中）

学号（学号居中）

目录

摘要（四号黑体不加粗）

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ⅠAbstract（四

号TimesNewRoman体加

粗）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯Ⅰ1引言

（四号黑体不加粗）

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1

1.1（小四号黑体不加粗）

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1

1.1.1（小四号仿宋体加粗）

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12闭区间套定理

在R1的推

广⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯23闭区间套定理

在一般度量空间上的推广⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4

4闭区间套定理在Rn上的推

广⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯55闭区间套定理

的应用举例⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6结束语

参考文献

致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

注：①目录不加页码；②中、英文摘要加页码，用罗马数字：Ⅰ，

Ⅱ⋯；③正文另行加页码，用阿拉伯数字：1，2，3，⋯．）

摘要（四号黑体不加粗）：在介绍了闭区间套定理的基础

上，通过综合应用类比法、分析法、演绎推理法将闭区间套定理进

行了推广，得到了严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理以及

一般完备度量空间上的闭集套定理和常用完备度量空间上的闭集套定

理，并给出了这些定理的证明．结合典型例题，分析、讨论了闭区

间套定理及推广后的闭集套定理的实际应用，说明了闭区间套定理不

仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用价值．（小四号仿宋体

不加粗,“摘要”字数须300字以上）

关键词（四号黑体不加粗）：闭区间套定理；严格开区间套

定理；推广；

应用（小四号仿宋体不加粗，关键词的个数：3—5个）

Abstract（四号TimesNewRoman体加粗）:Thetheoremofnested

clodintervalwaxtendedonthebasisofitsdefinitionwithsynthetic

applicationofanalogyanalysisanddeductivereasoning,andgotariesof

theoremssuchasthetheoremofstrictopennestedinterval,thetheoremof

strictopenandclodnestedintervalandthetheoremofclodnestedton

ordinaryandpopularmetricspace,l

applicationofthetheoremofnestedclodintervalandthetheoremofclod

nestedtafterextensionwasdiscusdbyanalysisofsometypicalexamples

soastodemonstrateitsimportanttheoreticalmeaningandufulapplication.

（小四号TimesNewRoman体不加粗）

Keywords（四号TimesNewRoman体加粗）:theoremof

nestedclodinterval;theoremofstrictopennestedinterval;extension;

application（小四号TimesNewRoman体不加粗，每个关键词开头字母均

不大写，结尾处无标点符号）

1引言

（一级标题四号黑体不加粗，段前断后空0.5行．）1.1小四号黑

体不加粗

（二级标题小四号黑体不加粗，段前断后不空行．）1.1.1小四号

仿宋体加粗

三级标题小四号仿宋体加粗，段前断后不空行．）

说明：（1）全文要求：行距：最小值22磅；页边距：上2.2cm、

左2.5cm、

右2.3cm、下1.8cm、页眉1.2cm、页脚1.5cm；页眉中，若是论文

就删去“设计”二字，若是设计就删去“论文”二字．

（2）各级标题一律顶格，标题末尾不加标点符号．

（3）正文中所引用的文献应加尾注，以文献在文中出现的先后顺序

依次编号为：[1]，[2]，⋯，某种文献中的内容被多次引用时以第一

次出现时的序号为准，即一种文献只有一个序号，可以重复出现．添

加尾注的格式如下：

爱因斯坦说：提出一个问题往往比解决一个问题更重要[1]．爱因斯

坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”[1]．爱因斯坦

说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要．”[1]

（4）正文中出现的图象与表格以编号（依出现的先后顺序编号）的

方式分别加以命名．

图象：图1，图2，⋯表格：表一，表二，⋯

（5）行文要符合文法格式，每段开头应空两个汉字的位置．若一行

中只有符号表达式，则可以居中或居中偏左．

（6）正文中所有的标点符号，一律用全角；句号用“．”

闭区间套定理是实分析中的一个重要定理,它同聚点定、有限覆盖

定理、确界原理、数列的单调有界定理和Cauchy收敛准则一样都反映

了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课

程的基础．由于它具有较好的构造性，因此闭区间套定理在证明与实

数相关的命题中有广泛的应用，如证明闭区间上的连续函数必有最大

值和最小值、闭区间上的连续函数必定一致连续[1]、闭区间的连续函

数的介值性定理等．故闭区间套定理不仅有重要的理论价值，而且

具有很好的应用价值．为了增大闭区间套定理的应用范围，从闭区间

套定理的概念出发，综合运用类比分析法、演绎推理法推广该定理．

首先，将闭区间套定理在一维空间加以推广，形成严格开区间套定

理和严格半开半闭区间套定理，增大了区间套定理的应用范围．紧

接着结合一般完备度量空间的特性，即正定性、对称性、三角不等式

性和完备性，把闭区间套定理在一般完备度量空间上推广，形成一般

完备度量空间上的闭集套定理，从而把一维空间上的情景推广到了更

一般化的完备度量空间，使得区间套定理的应用范围更为

广泛，并且给出了常用度量空间Rn上的闭集套定理．最后结合一些实

例分析说明闭区间套定理的应用，比如证明闭区间上的连续函数必有

界、单调有界定理等，通过构造满足题意的闭区间列，再应用闭区

间套定理证明存在满足题意的点．从实际例题中还可以看出闭区间套

定理反映了实数的稠密性，所以闭区间套定理连同其在一般完备度量

空间上推广后的闭集套定理在证明与实数理论相关命题时发挥着重要

的作用．

2闭区间套定理在R1的推广

康托给分析建立了严格的集合论基础．而在对实数连续性的描述

中，闭区间套定理是一个基本的定理．因此，在对该定理推广前有必

要先回顾一下闭区间套定理的内容．

定义2.1设an,bn(n1,2,3,)是R中的闭区间列，如果满足：

(1)an1,bn1an,bn，n1,2,3,；

(2)lim(bnan)0；则称an,bn为R中的一个闭区间套，或简称区间

套．

定理2.1[2](闭区间套定理)若an,bn是一个闭区间套，则存在惟一

一点

，使得

an,bn(n1,2,3,)，

推论2.1[3]若an,bn(n1,2,3,)是区间套an,bn确定的点，则对任

意正数，存在自然数N，当nN时，总有

an,bnU,．

定义2.2设an,bn(n1,2,3,)是R中的开区间列，如果满足：

(1)a1a2anbnbn1b1，n1,2,3,；

(2)lnim(bnan)0；n

则称an,bn为R中的一个严格开区间套．

定理2.2(严格开区间套定理)若an,bn是R中的一个严格开区间

套，

则存在惟一一点，使得

an,bn，n1,2,3,，

且

limanlimbn．nn

证明由定义2.2条件(1)，an是一个严格递增且有上界的数

列．由单调有

界定理，an有极限，不妨设

liman，

n

且

an，n1,2,3,．

同理严格递减有下界的数列bn也有极限．由定义2.2条件(2)应有

limbnliman，nn

且

bn，n1,2,3,．

从而存在an,bn(n1,2,3,)．

最后证明唯一性．假如另有，使得a

n

,b

n，n1,2,3,，那么有

bnan，n1,2,3,．在上述不等式两边取极限，有

≤l

n

imbnan0．

即．

故原命题成立．

定义2.3[4][5]设an,bn(n1,2,3,)是R中的半闭半开区间列，如果满

足：

(1)a1≤a2≤≤an≤bnbn1b1，n1,2,3,；

(2)lnim(bnan)0；

n

则称an,bn为R中的一个严格半闭半开区间套．

注：类似可以定义严格半开半闭区间套an,bn．

定理2.3(严格半开半闭区间套定理)如果an,bn是R中的一个严格

半

开半闭区间套，则存在惟一一点，使得

an,bn，n1,2,3,，

且

limanlimbn．

nn

仿定理2.2的证明即可．

2闭区间套定理在一般度量空间上的推广

完备度量空间具有正定性、对称性、三角不等式性和完备性．具体

到序列，指的是该序列除了满足一般度量空间的要求，还应在该空间

上收敛．这样闭区间套定理就可以在一般度量空间上进行推广．

定义3.1设H是一个非空集合，在H上定义一个双变量的实值函

数

x,y，对任意的x,y,zH，有：

(1)(正定性)x,y≥0，并且x,y0当且仅当xy成立；

(2)(对称性)x,yy,x；

(3)(三角不等式)x,y≤x,zz,y；

则称H为一个度量空间．

定义3.2设F是度量空间H中的一个子集，对于F中的任意点列

xn，若

(xnx0)0n，有x0F，则称F为闭集

定义3.3[6]设X,是一度量空间．X中的一个序列xiiz，若对任意

的实数0，存在整数N0，使得当i,jN时，有(xi,xj)，则称xiiz为

一个Cauchy序列．

定义3.4[7]如果对度量空间X,中X的每一个Cauchy序列都收敛，

则称X,是一个完备度量空间．

定理3.1[7]设Fn是完备度量空间H上的闭集列，如果满足：

(1)FnFn1(n1,2,3,)；

(2)limd(Fn)0(d(Fn)sup(,))；n

,Fn

则在H中存在唯一一点，使得

Fn，n1,2,3,．

证明任意取Fn中的点列xn，当mn时，有FmFn，所以

xn,xmFn，xn,xm≤d(Fn)0(n)．

即对于任意给定的实数0，存在整数N0，使得当i,jN时，有

(xi,xj)，所以xn是Cauchy序列．又因为Fn是闭集列，故xn收敛于一

点，且有

Fn，n1,2,3,．

现证唯一性．如果另有一点，使得Fn，n1,2,3．则由定义3.1条

件(3)，有

(,)≤,xn(xn,)≤2d(Fn)0(n)，

从而．

故在H中存在唯一一点，使得Fn，n1,2,3,．

3闭区间套定理在Rn上的推广

进一步还可以将闭区间套定理在常用度量空间─实数空间Rn上推

广．为此，先给出一个有用的概念．

定义4.1对于任意的xx1,x2,,xn，yy1,y2,,ynRn，令

则称为Rn空间上的距离．

下面验证对于如上定义的，Rn做成完备的度量空间．

证明对于任意的xx1,x2,,xn，yy1,y2,,yn，zz1,z2,,znRn．

(1)zixi0，并且x,y=0当且仅当xiyi(i1,2,)，即

zixiyixiziyi

(2)

x,yxiyiyixi

2(y,x)．

i1

(3)令uiyixi和viziyi由Schwarz不等式可以得到

n

uivi

i1

2nnnn

2ui

2＋2ui

2vi

2＋vi

2

i1i1i1i1

x,y

所以满足度量的定义，又Rn是完备的[6]，故Rn是一个完备的度量空

间．

于是根据前面的论述，可以得到实数空间Rn的闭集套定理：定

理4.1设Fn是Rn上的闭集列，如果：

(1)FnFn1，n1,2,3；

(2)lnimd(Fn)0(d(Fn)sup(,))；

则在Rn中存在唯一一点，使得Fn，n1,2,3,．

4闭区间套定理的应用举例

闭区间套定理证明命题的基本思路是分划区间构成闭区间套，从

而找到属于每一个区间的公共点．下面就举几个例子说明这一思路．

例1证明：闭区间上连续函数必有界．

分析这个命题如果从正面入手利用闭区间套定理证明比较困难，

但是如

果从反面着手，即假设f(x)在a,b上无界，即对任意M0，存在x

0

a,b，有f(x0)M．则等分区间后至少有一个子区间上f(x)无界，记为

性质P．继续等分那个无界的区间，可得到如上的性质P．无限次

重复上述步骤可构造一个满足题意的闭区间套，由闭区间套定理可以

推出f(x)M，这与假设矛盾，从而证明原命题成立．

证明我们用反证法.设函数f(x)在a,b上连续，假设f(x)在闭区

间a,b上无界．将区间二等分，即取a,b的中点ab，则a,ab和ab,b中

至少

222有一个区间使得f(x)在其

上无界．(若两个都使f(x)无界，则任取其中一个)，记为[a1,b1]，

且

1

b1a1

2(ba)．

再将[a1,b1]等分为两个区间，同样其中至少有一个子区间上f(x)无

界，记为

[a2,b2]，且

11

[a2,b2][a1,b1]

，

b2a2

2

(b1a1)

2

2(ba)

．

无限次重复上述步骤，便得到一个闭区间列[an,bn]，其中每一个

区间[an,bn]

有如下特性：[a,b][a1,b1][an,bn][an1,bn1]，且

1

bnan

2

n(ba)n0(及f(x)在)[an,bn]上无界．由区间套定理，存在一点

a

n

,b

n(n1,2,3,)，且

limanlimbn．

nn

又f(x)在连续，则对任意的0，存在0，当x(,)时，

有

f(x)f()，

即

f()f(x)f()．

令Mmaxf(),f()，则

f(x)M．

由推论1，取n充分大可使an,bn,，上述不等式与f(x)在闭

区间[an,bn]上无界矛盾．故f(x)在闭区间a,b上有界．

以下内容省略⋯⋯

结束语

通过对闭区间套定理的简单分析探究，掌握了该定理的结构形

式，学习了运用类比的思维方法推广该定理的过程，分析讨论了闭

区间套定理的实际应用．

首先将闭区间套定理在R推广，即在一维空间上将条件an1,bn1

an,bn减弱为an1,bn1an,bn，得到严格开区间套定理．紧接着，联想到一

般完备度量空间的特性和闭区间套定理良好的构造性，从而推广得到

闭集套定理．最后，

应用闭区间套定理和推广后的闭集套定理证明了证明连续函数必有

界、数列的单调有界定理、一个不动点问题以及Rn上的开区域套定

理．

至于能否将闭区间套定理推广到空间以及能否在一般度量空间推广

聚点定理、有限覆盖定理，并且运用推广得到的闭集套定理证明它们

两个问题未做讨论参考文献

[1]李宗铎，陈娓．再谈闭区间套定理的推广及其应用[J]．长沙大学学报，2000，14(4)：4-

5．

[2]华东师范大学数学系编．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1991，第2版．

[3]陈传璋．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1983，第2版．

[4]毛一波．闭区间套定理的推广[J]．渝西学院学报，2005，14(2)：26~27．

[5]朱俊恭．关于闭区间套定理[J]．遵义师范学院学报．2002，4(1)：72-73．

[6]熊金城．点集拓扑讲义[M]．北京：高等教育出版社，2003，第3版．

[7]常进荣，王林．闭区间套定理的推广及应用[J]．石家庄职业技术学院学报，2003，

15(6)：16-17．

[8]钱吉林．数学分析题解精粹[M]．武汉：崇文书局，2003．(注：参考文献各条目用五号

宋体字，各条目的序号应正文中尾注的序号相一致)

致谢

(注：①“致谢”内容单独用一个版面；

②在“致谢”中主要叙述自己写作本文的经历、感受、收获

等，表达对指导老师或帮助者的感谢之意．)

注：本模版中红色字体是说明部分，在具体操作时应将其删

除．