函数的定义

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第

1

节函数的概念及其表示

[要点梳理]

1．函数与映射的概念

类别函数映射

两个集合A、B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合

对应关系

f：A→B

如果按照某种确定的对应关系f，

使对于集合A中的任意一个

数x，在集合B中都有唯一确定

的数f(x)和它对应

如果按某一个确定的对应关系f，

使对于集合A中的任意一个元素

x，在集合B中都有唯一确定的元

素y与之对应

名称

称f：A→B为从集合A到集合B

的一个函数

称f：A→B为从集合A到集合B

的一个映射

记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B

2．函数的定义域、值域

(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x

的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．

3．函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4．分段函数：

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，

这种函数称为分段函数．

1．函数是特殊的映射，是A，B为非空数集的映射，其特征：第一，在A中取元素的

任意性；第二，在B中对应元素的唯一性．

2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．

3．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并

集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

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[基础自测]

一、思考辨析

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数是建立在其定义域到值域的映射．()

(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．()

(3)函数f(x)＝x2

－2x与g(t)＝t

2

－2t是同一函数．()

(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()

(5)f(x)＝

|x|

x

与g(x)＝











01

01

x

x

，表示同一函数．()

(6)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．()

二、小题查验

1．函数y＝xln(1－x)的定义域为()

A．(0，1)B．[0，1)C．(0，1]D．[0，1]

2．已知函数f(x)＝











03

0log

2

x

xx

x

，则f(f(

4

1

))的值是()

A．9B．

1

9

C．－9D．－

1

9

3．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是

()

4．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只

与x的一个值对应的y值的范围是______________.

5．函数f(x)＝

x－4

|x|－5

的定义域是__________________.

6．已知f(x)＝x2

＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝________.

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[考点梳理]

1．下列所给图象是函数图象的个数为()

A．1B．2C．3D．4

2．下列各组函数中，表示同一函数的是()

A．f(x)＝|x|，g(x)＝

x2B．f(x)＝

x2

，g(x)＝(

x

)

2

C．f(x)＝

x2

－1

x－1

，g(x)＝x＋1D．f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x

2

－1

3．设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则

称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：

①f(x)＝x

2

；②f(x)＝

1

x－1

；③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2

x

－2－x;

⑤f(x)＝2sinx－1.

其中是“美丽函数”的序号有______________.

[命题角度1]用换元法与配方法求函数解析式

1．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝__________________.

2．已知f(

x

2

＋1)＝lgx，则f(x)的解析式为________________.

[命题角度2]用待定系数法求函数解析式

3．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝_____________.

4．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)的解析式为

__________________.

[命题角度3]用解方程组法求函数解析式

5．定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则函数f(x)的解析式为

_____________________．

6．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f(

x

1

)·x－1，则f(x)＝_____________.

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[命题角度1]求给定函数解析式的定义域

1．函数f(x)＝

1－|x－1|

ax

－1

(a＞0且a≠1)的定义域为________________.

2．函数y＝

lg2－x

12＋x－x2

＋(x－1)

0

的定义域是________________.

[命题角度2]求抽象函数的定义域

3．已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()

A．(－1，1)B．(－1，—

2

1

)C．(－1，0)D．(

2

1

，1)

4．已知函数f(2x＋1)的定义域是(－1，0)，则f(x)的定义域为____________.

5．已知f(2x)的定义域是[－1，1]，则f(log2x)的定义域为_____________.

[命题角度3]已知定义域确定参数问题

6．若函数f(x)＝2x2

＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为______________.

[命题角度1]求函数值、值域(最值)

1．设函数f(x)＝











12

1)2(log1

1

2

x

xx

x

，则f(－2)＋f(log

212)＝()

A．3B．6C．9D．12

2．定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a

(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]，则函数f(x)的值域为________________.

[命题角度2]解方程或解不等式问题

3．已知函数f(x)＝











02

01

x

xex

，则方程f(1＋x

2)＝f(2x)的解集是__________.

4．设函数f(x)＝











02

01

x

xx

x

，则满足f(x)＋f(x—

2

1

)＞1的x的取值范围是____________.

5．设函数f(x)＝















1

1

3

1

1

xx

xex

，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是_______________.

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[课时训练]

一、选择题

1．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)

的图象可能是()

2．函数y＝

－x

2

－x＋2

lnx

的定义域为()

A．(－2，1)B．[－2，1]C．(0，1)D．(0，1]

3．已知f(

x

x1

)＝

x2

＋1

x2

＋

1

x

，则f(x)＝()

A．(x＋1)2(x≠1)B．(x－1)2(x≠1)

C．x2

－x＋1(x≠1)D．x

2

＋x＋1(x≠1)

4．已知函数f(x)＝











1)1(log

12

2

1

xx

xx

，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝()

A．－

7

4

B．－

5

4

C．－

3

4

D．－

1

4

5．已知函数f(x)＝















13

4

12

x

x

x

xx

，则f(x)的定义域是()

A．[1，＋∞)B．[0，＋∞)

C．(1，＋∞)D．[0，1)∪(1，＋∞)

6．设函数f(x)＝

x－1

，则f(

2

x

)＋f(

x

4

)的定义域为()

A．[

2

1

，4]B．[2，4]C．[1，＋∞)D．[

4

1

，2]

7．已知f(x)＝

















102

01

2

1

2xxx

x

x，若f(2m－1)<

1

2

，则m的取值范围是()

A．m>

1

2

B．m<

1

2

C．0≤m<

1

2

D．

1

2

二、填空题

8．图中的图象所表示的函数的解析式f(x)＝_____________.

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9．若函数y＝f(x)的值域是[1，3]，则函数F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是____________.

10．已知函数f(x)＝ax－b(a＞0)，f(f(x))＝4x－3，则f(2)＝__________.

11．若函数f(x)＝x2

＋2ax－a的定义域为R，则a的取值范围为____________.

三、解答题

12．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x)＞2x＋5.

13．已知函数f(x)＝x·|x|－2x.

(1)求函数f(x)＝0时x的值；

(2)画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出f(x)＝m有三个不同实根时，实数m的取值范

围．

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14．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离

叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/

时)满足下列关系：y＝

x2

200

＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹

车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．

(1)求出y关于x的函数表达式；

(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．