双曲线性质

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2．2．2双曲线的简单几何性质

◆知识与技能目标

了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方

程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐

近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了

解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定

义．

◆过程与方法目标

（1）复习与引入过程

引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲

线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的

进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的

性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及

实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆

通过

56

P的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．2．2双曲线的

简单几何性质．

（2）新课讲授过程

（i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．

提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小

和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．

（ii）双曲线的简单几何性质

①范围：由双曲线的标准方程得，

22

22

10

yx

ba

，进一步得：xa，或xa．这

说明双曲线在不等式xa，或xa所表示的区域；

②对称性：由以

x

代

x

，以y代y和

x

代

x

，且以y代y这三个方面来研究双

曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以

x

轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；

③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆

锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称

轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；

④渐近线：直线

b

yx

a

叫做双曲线

22

22

1

xy

ab

的渐近线；

⑤离心率：双曲线的焦距与实轴长的比

a

c

e叫做双曲线的离心率（1e）．

（iii）例题讲解与引申、扩展

例3求双曲线22916144yx的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐

近线方程．

分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出,,abc．引导学生用双曲线的实半轴长、

虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y轴上的渐

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近线是

a

yx

b

．

扩展：求与双曲线

22

1

169

xy

共渐近线，且经过23,3A点的双曲线的标准方及离

心率．

解法剖析：双曲线

22

1

169

xy

的渐近线方程为

3

4

yx．①焦点在x轴上时，设所求

的双曲线为

22

22

1

169

xy

kk

，∵23,3A点在双曲线上，∴2

1

4

k，无解；②焦点在

y轴上时，设所求的双曲线为

22

22

1

169

xy

kk

，∵23,3A点在双曲线上，∴2

1

4

k，

因此，所求双曲线的标准方程为

22

1

9

4

4

yx

，离心率

5

3

e．这个要进行分类讨论，但只

有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为22

,0

169

xy

mmRm．

例4双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），

它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标

系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m）．

解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为

22

22

1

xy

ab

，算出,,abc的值；此题应注意两点：①注意建立直

角坐标系的两个原则；②关于,,abc的近似值，原则上在没有注

意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．

引申：如图所示，在P处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA

或PB送到呈矩形的足球场ABCD中去铺垫，已知150APm，100BPm，

60BCm，60APB．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距

离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．

解题剖析：设M为“等距离”线上任意一点，则PAAMPBBM，

即50BMAMAPBP（定值），∴“等距离”线是以A、B为焦点的双曲线

的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为

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22

13525,060

6253750

xy

xy．理由略．

例5如图，设,Mxy与定点5,0F的距离和它到直线l：

16

5

x的距离的比是常数

5

4

，求点M的轨迹方程．

分析：若设点,Mxy，则2

25MFxy，到直线l：

16

5

x的距离

16

5

dx，则容易得点M的轨迹方程．

引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线

若点,Mxy与定点,0Fc的距离和它到定直线l：

2a

x

c

的距离比是常数

c

e

a

0ca，则点M的轨迹方程是双曲线．其中定点,0Fc是焦点，定直线l：

2a

x

c

相应于F的准线；另一焦点,0Fc



，相应于F

的准线l



：

2a

x

c

．

练习：第66页1、2、3、4、5

作业：第3、4、6