数列公式求和

1

一、利用常用求和公式求和

利用以下常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、等差数列求和公式：d

nn

na

aan

Sn

n2

)1(

2

)(

1

1









2、等比数列求和公式：



























)1(

11

)1(

)1(

1

1

1

q

q

qaa

q

qa

qna

S

n

n

n

3、)1(

2

1

1





nnkS

n

k

n

4、)12)(1(

6

1

1

2



nnnkS

n

k

n

5、2

1

3)]1(

2

1

[



nnkS

n

k

n

[例1]已知

3log

1

log

2

3



x，求nxxxx32的前n项和.

解：由

2

1

2loglog

3log

1

log

33

2

3





xxx

由等比数列求和公式得n

n

xxxxS32〔利用常用公式〕

＝

x

xxn





1

)1(

＝

2

1

1

)

2

1

1(

2

1





n

＝1－

n2

1

[例2]设S

n

＝1+2+3+…+n，n∈N*,求

1

)32(

)(







n

n

Sn

S

nf的最大值.

解：由等差数列求和公式得)1(

2

1

nnS

n

，

)2)(1(

2

1

nnS

n

〔利用常用公式〕

∴

1

)32(

)(







n

n

Sn

S

nf＝

64342nn

n

＝

n

n

64

34

1



＝

50)

8

(

1

2

n

n

50

1



∴当

8

8

n，即n＝8时，

50

1

)(

max

nf

题1.等比数列的前ｎ项和S

ｎ

＝2ｎ－１，则＝

2

题2．假设12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn，则a=,b=,c=

.

解：原式=答案：

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a

n

·b

n

}的前n

项和，其中{a

n

}、{b

n

}分别是等差数列和等比数列.

[例3]求和：132)12(7531n

n

xnxxxS………………………①

解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积

设n

n

xnxxxxxS)12(7531432……………………….②〔设制错位〕

①－②得nn

n

xnxxxxxSx)12(222221)1(1432〔错位相减〕

再利用等比数列的求和公式得：n

n

n

xn

x

x

xSx)12(

1

1

21)1(

1











∴

2

1

)1(

)1()12()12(

x

xxnxn

S

nn

n







[例4]求数列,

2

2

,,

2

6

,

2

4

,

2

2

32n

n

前n项的和.

解：由题可知，{

n

n

2

2

}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{

n2

1

}的通项之积

设

n

n

n

S

2

2

2

6

2

4

2

2

32

…………………………………①

14322

2

2

6

2

4

2

2

2

1





n

n

n

S………………………………②〔设制错位〕

①－②得

14322

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)

2

1

1(





nn

n

n

S

〔错位相减〕

112

2

2

1

2





nn

n

∴

12

2

4







n

n

n

S

练习题1已知，求数列｛a

n

｝的前n项和S

n

.

答案：

3

练习题2的前n项和为____

答案：

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列〔反序〕，再把它与原

数列相加，就可以得到n个)(

1n

aa.

[例5]求证：nn

nnnn

nCnCCC2)1()12(53210

证明：设n

nnnnn

CnCCCS)12(53210…………………………..①

把①式右边倒转过来得

0113)12()12(

nn

n

n

n

nn

CCCnCnS〔反序〕

又由mn

n

m

n

CC可得

n

n

n

nnnn

CCCnCnS1103)12()12(…………..……..②

①+②得nn

n

n

nnnn

nCCCCnS2)1(2))(22(2110〔反序相加〕

∴n

n

nS2)1(

[例6]求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值

解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S………….①

将①式右边反序得

1sin2sin3sin88sin89sin22222S…………..②〔反序〕

又因为1cossin),90cos(sin22xxxx

①+②得〔反序相加〕

)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S＝89

∴S＝44.5

题1已知函数

〔1〕证明：；

4

〔2〕求的值.

解：〔1〕先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边

〔2〕利用第〔1〕小题已经证明的结论可知，

两式相加得：

所以.

练习、求值：

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比

或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例7]求数列的前n项和：23

1

,,7

1

,4

1

,11

12





n

aa

an

，…

解：设

)23

1

()7

1

()4

1

()11(

12





n

aa

a

S

n

n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()

111

1(

12





n

aa

a

S

n

n

〔分组〕

当a＝1时，

2

)13(nn

nS

n



＝

2

)13(nn

〔分组求和〕

当

1a

时，

2

)13(

1

1

1

1

nn

a

a

S

n

n









＝

2

)13(

1

1nn

a

aan







[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设kkkkkka

k

2332)12)(1(

5

∴





n

k

n

kkkS

1

)12)(1(＝)32(23

1

kkk

n

k





将其每一项拆开再重新组合得

S

n

＝kkk

n

k

n

k

n

k







1

2

1

3

1

32〔分组〕

＝)21()21(3)21(2222333nnn

＝

2

)1(

2

)12)(1(

2

)1(22







nnnnnnn

〔分组求和〕

＝

2

)2()1(2nnn

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后

重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的.通项分解〔裂项〕如：

〔1〕)()1(nfnfa

n

〔2〕





nn

nn

tan)1tan(

)1cos(cos

1sin





〔3〕

1

11

)1(

1









nnnn

a

n

〔4〕)

12

1

12

1

(

2

1

1

)12)(12(

)2(2













nnnn

n

a

n

〔5〕]

)2)(1(

1

)1(

1

[

2

1

)2)(1(

1













nnnnnnn

a

n

(6)

n

n

nnnn

nn

S

nn

nn

nn

nn

n

a

2)1(

1

1,

2)1(

1

2

1

2

1

)1(

)1(2

2

1

)1(

2

1

























则

〔7〕)

11

(

1

))((

1

CAnBAnBCCAnBAn

a

n











〔8〕

1

1

1n

ann

nn





[例9]求数列







,

1

1

,,

32

1

,

21

1

nn

的前n项和.

解：设nn

nn

a

n





1

1

1

〔裂项〕

6

则

1

1

32

1

21

1













nn

S

n

〔裂项求和〕

＝)1()23()12(nn

＝11n

[例10]在数列{a

n

}中，

11

2

1

1













n

n

nn

a

n

，又

1

2







nn

naa

b，求数列{b

n

}的前n项的和.

解：∵

211

2

1

1n

n

n

nn

a

n















∴)

1

11

(8

2

1

2

2











nn

nn

b

n

〔裂项〕

∴数列{b

n

}的前n项和

)]

1

11

()

4

1

3

1

()

3

1

2

1

()

2

1

1[(8





nn

S

n

〔裂项求和〕

＝)

1

1

1(8





n

＝

1

8

n

n

[例11]求证：





1sin

1cos

89cos88cos

1

2cos1cos

1

1cos0cos

1

2



解：设

89cos88cos

1

2cos1cos

1

1cos0cos

1

S

∵





nn

nn

tan)1tan(

)1cos(cos

1sin





〔裂项〕

∴

89cos88cos

1

2cos1cos

1

1cos0cos

1

S

〔裂项求和〕

＝]}88tan89[tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1{(tan

1sin

1







＝)0tan89(tan

1sin

1





＝



1cot

1sin

1

＝





1sin

1cos

2

∴原等式成立

练习题1.

答案：.

7

练习题2。=

答案：

六、分段求和法〔合并法求和〕

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这

些项放在一起先求和，然后再求S

n

.

[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.

解：设S

n

＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°

∵)180cos(cosnn〔找特殊性质项〕

∴S

n

＝〔cos1°+cos179°〕+〔cos2°+cos178°〕+〔cos3°+cos177°〕+···

+〔cos89°+cos91°〕+cos90°〔合并求和〕

＝0

[例13]数列{a

n

}：

nnn

aaaaaa

12321

,2,3,1，求S

2002

.

解：设S

2002

＝

2002321

aaaa

由

nnn

aaaaaa

12321

,2,3,1可得

,2,3,1

654

aaa

,2,3,1,2,3,1

121110987

aaaaaa

……

2,3,1,2,3,1

665646362616



kkkkkk

aaaaaa

∵0

665646362616



kkkkkk

aaaaaa〔找特殊性质项〕

∴S

2002

＝

2002321

aaaa〔合并求和〕

＝)()()(

66261612876321



kkk

aaaaaaaaaa

29993

)(aaaaaaa

＝

2999

aaaa

＝

46362616



kkkk

aaaa

＝5

8

[例14]在各项均为正数的等比数列中，假设

103231365

logloglog,9aaaaa求的值.

解：设

1032313

logloglogaaaS

n



由等比数列的性质

qpnm

aaaaqpnm〔找特殊性质项〕

和对数的运算性质NMNM

aaa

logloglog得

)log(log)log(log)log(log

6353932310313

aaaaaaS

n

〔合并求和〕

＝)(log)(log)(log

6539231013

aaaaaa

＝9log9log9log

333



＝10

练习、求和：

练习题1设，则＝___

答案：2.

练习题2．假设S

n

=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n，则S17+S33＋Ｓ50

等于()

A.1B.-1C.0D.2

解：对前n项和要分奇偶分别解决，即：S

n

=答案：A

练习题31002-992+982-972+…+22-12的值是

A.5000B.5050C.10100D.20200

解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案：B

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来

求数列的前n项和，是一个重要的方法.

9

[例15]求



1

1111111111

个n

之和.

解：由于)110(

9

1

9999

9

1

1111

1

1

k

k

k





个

个

〔找通项及特征〕

∴

1

1111111111

个n



＝

)110(

9

1

)110(

9

1

)110(

9

1

)110(

9

1

321n〔分组求和〕

＝)1111(

9

1

)10101010(

9

1

1

321

个n

n

＝

9110

)110(10

9

1nn









＝

)91010(

81

1

1nn

[例16]已知数列{a

n

}：











1

1

))(1(,

)3)(1(

8

n

nnn

aan

nn

a求的值.

解：∵]

)4)(2(

1

)3)(1(

1

)[1(8))(1(

1







nnnn

naan

nn

〔找通项及特征〕

＝]

)4)(3(

1

)4)(2(

1

[8









nnnn

〔设制分组〕

＝)

4

1

3

1

(8)

4

1

2

1

(4

















nnnn

〔裂项〕

∴



























111

1

)

4

1

3

1

(8)

4

1

2

1

(4))(1(

nnn

nnnnnn

aan〔分组、裂项求和〕

＝

4

1

8)

4

1

3

1

(4

＝

3

13

提高练习：

1．已知数列

n

a中，

n

S是其前n项和，并且

11

42(1,2,),1

nn

Sana



，

⑴设数列),2,1(2

1





naab

nnn

，求证：数列

n

b是等比数列；

⑵设数列),2,1(,

2

n

a

c

n

n

n

，求证：数列

n

c是等差数列；

10

2．设二次方程

n

ax2-

n

a+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．

(1)试用

n

a表示a

1n

；

3．数列

n

a中，2,8

41

aa且满足

nnn

aaa

12

2*Nn

⑴求数列

n

a的通项公式；

⑵设||||||

21nn

aaaS，求

n

S；

说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。