齿顶圆

1

渐开线直齿圆柱齿轮齿厚测量方法及其计公算式

本文意欲回答读者在查阅设计手册时无从知晓而常常提出来的关于几个基本含义的问题：什么是公法线？什么是量柱距？什么是固定弦和分度

圆弦？它们的计算公式是怎样推出来的等等。

渐开线圆柱齿轮常用的齿厚测量方法有公法线长度、量柱（或球）距、分度圆弦齿厚、固定弦齿厚四

种方法。后两种方法是测量单个齿，一般用于大型齿轮。对于精度要求不太高的齿轮也常用分度圆弦测量

法。公法线长度测量在外齿轮上用得最多，内齿轮也可用；大齿轮测量因受量具限制很少用。量柱距测量

主要用于内齿轮和小模数齿轮。

1.公法线长度测量

（1）公法线及其长度计算式

对于渐开线齿廓，根据渐开线的性质，其上任意点的法线总是和基圆相切，因此用两个平行的卡爪

卡住几个齿时（见图1），两个卡爪接触点A、B的连线必定与基圆相切于某一点C，这条AB连线就叫公

法线，一般用W

k

表示；下标k表示卡住的齿数。

图1中，根据渐开线的性质，AC＝AC

)

；

BC＝BC⌒；AB＝AB⌒。AB是（k-1）个基圆齿距p

b

和一个基圆齿厚S

b

之和，即：

(1)(1)cos

kbbb

WkpSkmS……（1-1）

式中，

k

–跨测齿数；

–压力角（°）；

m–模数，mm；

分度圆和基圆上的齿厚具有如下关系：

22

b

b

s

s

invinvo

rr



由上等式可得：

(2tan)2

2

b

bb

r

m

sxmrinv

r



图1公法线长度的测量计算

=

1

cos2sincos

2

mxmzminv…………（1-2）

将（1-2）式代入（1-1）式，经整理后可得公法线长度计算式为：

cos[(0.5)2tan]

k

Wmzinvkx…………（1-3）

式中，z–齿轮的齿数；

inv

–渐开线函数；

x–变位系数；

若模数m=1,（1-3）式变为：

cos[(0.5)2tan]

k

Wzinvkx

cos[(0.5)2sinzinvkx

Kk

WW…………（1-4）

2

（1-4）式中第二行的前一项cos(0.5)

k

Wk［zinv］就是m=1的标准齿轮的公法线长度。

后一项2sin

k

Wx为m=1的齿轮变位后公法线长度的附加量。

k

W和

k

W二项的数据可直接由《机械设计手册》或《齿轮手册》等资料中查取，将其值相加再乘以模数

便得到齿轮的公法线长度。所以，查表计算的公法线长度为：

()

kkk

WWWm…………（1-5）

对于斜齿轮，公式中的和x应为法面值

n

和

n

x，齿数z应为假想齿数z。其中t

n

inv

zz

inv







式中，

t

为端面压力角。

公式（1-3）、（1-4）、（1-5）同样适用于内齿轮，只是其中的k值代表跨齿槽数而已。当α=20°时，

其公法线长度也可同外齿轮一样直接由《机械设计手册》或《齿轮手册》等资料中查取。

（2）跨测齿数k的确定

跨测齿数选择要适当，多或少均不合适，所以要选择一个合适的齿数。

对于不变位的标准齿轮，公法线千分尺的两个测量平面应相切于分度圆附近。若正好切于分度圆上A、

B两点（图2），则公法线长度为：

2sin

k

ABrW…………（1-6）

这时，AB间所跨的齿数为：

A

1b

b

BS

k

p





⌒

……………(1-7)

因为AB⌒＝AB＝2rsin,

将该式与（1-2）式(式中x=0)代入(1-7)式，可得：

0.5

z

k





（式中为弧度）；

将转换为以度为单位（360°＝2π弧度），则：

0.5

180

z

k







…………………（1-8）

上式计算出的结果四舍五入予以圆整。图2卡爪与齿轮相切于分度圆

当＝20°，跨测齿数计算式为：

0.5

9

z

k，……………（1-9）

当－0.3≤x≤+0.3时，跨测齿数k均可用此式计算。

对于变位齿轮，是假定卡尺在轮齿中部所在的中圆附近接触，可据此推出：

22

122

[(1)costan]0.5

cos

zxx

kinv

zz







当x＞∣±0.3∣时，可按下计算跨测齿数。

3

2

0.5

180

zxctg

k









…………………（1-10）

20时的k值可查《机械设计手册》中的线图确定（内齿轮的k值是跨测齿槽数）。

2.量柱距测量

（1）量柱（或球）直径d

p

量柱（或球）测量可以比较自由地选取量柱直径，只要直径合适即可。合适的含义是：

○1量柱直径要足够大，在齿槽中放上量柱以后，其外表应高出齿顶，以便测量时测头不碰齿顶。

○2量柱应与齿槽两侧的渐开线齿面部分接触，通常选择在轮齿中部。

量柱直径的取值通常用模数m来表示。

对于内齿轮，量柱直径的适用范围大约为（1.4~1.7）m。通常取d

p

=1.68m，有时也有取1.65m的，

甚至取到1.44m，但1.44m有时会低于齿面，不便测量。

对于外齿轮，量柱直径的适用范围大约为（1.6~1.9）m。常取d

p

=1.92m，或1.728m、1.68m等，大

约在啮合节圆附近接触。

（2）量柱距M的计算

计算M值分偶数齿（双数，齿槽相对）和奇数齿（单数），见图3。

○1首先要计算通过量柱中心的量柱接触点的渐开线压力角

M

（见图4，公式推导从略）

.

图3内、外齿轮量柱距测量图4量柱接触点压力角

m

计算

2tan

cos2

p

M

d

x

invinv

mzzz







……………………………（2-1）

当20时，

M

inv按下式计算：

1

0.014904(1.064181.57080.728)p

M

d

invx

zm

………………（2-2）

○2M值计算：

对于偶数齿：

cos

cosp

M

mz

Md





………………………………………（2-3）

对于奇数齿：

cos90

cos

cosp

M

mz

Md

z









…………………………………（2-4）

公式（2-1）~（2-4）中的号或



号，上面的用于外齿轮，下面的用于内齿轮；x为变位系数。

4

○3M值的上、下偏差E

Ms

和E

Mi

的确定

M值的上、下偏差由齿轮的公法线平均长度上、下偏差换算得出，其换算公式见表1。

表1

内

齿

轮

偶

数

齿

上偏差

Ms

E

sinsin

wmswmwm

Ms

MM

EET

E







公式中：

wms

E

齿轮的公法线平均长度上偏差

wmi

E

齿轮的公法线平均长度下偏差

wmwmswmi

TEE

齿轮的公法线平均长度公差

Z-齿轮的齿数

M

-通过量柱中心的量柱接触点的渐开线压力角

wm

E

-齿轮的公法线平均长度最小偏差值，通常按

wms

E

取值，例如

直径为200mm，模数为8mm的8级精度直齿轮，其公法线平

均长度上、下偏差代号为FH,对应的偏差值为-128μm和

-256μm,则

wm

E

取值为-128μm。

下偏差

Mi

E

sinsin

wmiwm

Mi

MM

EE

E







奇

数

齿

上偏差

Ms

E

9090

coscos

sinsin

wmswmwm

Ms

MM

EET

E

ZZ





下偏差

Mi

E

9090

coscos

sinsin

wmiwm

Mi

MM

EE

E

ZZ







外

齿

轮

偶

数

齿

上偏差

Ms

E

sinsin

wmswm

Ms

MM

EE

E







下偏差

Mi

E

sinsin

wmiwmwm

Mi

MM

EET

E







○4内、外齿轮M值及其上、下偏差的标注形式为Ems

Emi

M。

3.弦齿厚测量

弦齿厚测量多用于大模数齿轮，测单个齿。通过以齿顶圆为基准，测量一定高度上的齿厚来控制齿轮

的尺寸。常用的有测量分度圆弦齿厚（图5）和固定弦齿厚（图6）两种方法。这两种方法都要以齿顶圆

为基准，因此齿顶圆尺寸精度要求高(6~8精度齿轮为IT8)。

测量分度圆弦齿厚，当变位系数较大时不方便，有的可能不能测量。对于斜齿轮，还要换算成当量齿

数，也不方便。此外，其测量精度也不高。固定弦测量计算比较简单，但也有测量精度不高，模数小时测

量不方便的缺点。

图5分度圆弦齿厚测量图6固定弦齿厚测量

（1）分度圆弦齿厚测量：

分度圆弦齿厚的计算与测量内、外齿轮有别，外齿轮应用较多。其测量尺寸的计算公式根据图5所

示几何关系推出。计算测量尺寸的公式列于表2中。

表2分度圆弦齿厚测量计算公式

名称直齿轮

外

齿

轮

标准

齿轮

弦齿厚

2sinsin

2

srmz

mz





（见图5）；式中，m—模数，z—齿数

弦齿高

11

(1cos)[(1cos)]

2222aa

hhmmzmhz

zz





；式中，

a

h—齿顶高系数

变位

齿轮

弦齿厚

2tan

sin()

2

x

smz

zz





；式中，x—变位系数；—压力角（°）；

5

弦齿高

12tan

[1cos()]

22a

x

hhmmz

zz





内

齿

轮

标准

齿轮

弦齿厚

2

sinsmz

mz





2

弦齿高

2

1

(1cos)

22a

hhmzh

z





22

2

；式中，2

2

(1cos);

2

a

a

d

h

2

22

2

2aa

invinv

z



；

2a

d

—齿顶圆直径；

2a



—齿顶圆压力角，

22

arccos(/)

aba

dd

，其中，

2

coscos

b

ddmz

—基圆直径。

变位

齿轮

弦齿厚2

2

22

2tan

sin()

2

x

smz

zz





；

弦齿高

2

222

22

2tan

1

[1cos()];

22a

x

hhmzh

zz





式中，

2a

h

—内齿轮齿顶高；2

22

(1cos);

2

a

a

d

h

而

22

2

2tan

2aa

x

invinv

zz





为使用方便，通常将各种齿数20，m=1,1

a

h的非变位标准直齿圆柱外齿轮的分度圆弦齿厚和

弦齿高制成参数表，使用时按外齿轮的实际齿数查取相应数值再分别乘以模数数值即得所需数值。

（2）固定弦齿厚测量：

以外齿轮为例，所谓固定弦就是将产形齿条的齿槽跨在齿轮的齿上，齿条与轮齿的切点A和B之间

的距离即是固定弦

c

s。固定弦齿厚可根据其固定弦长与齿条基准线上的距离CD（CD等于

/2m）之间

的几何关系推导出来。固定弦不涉及齿轮变位，也不涉及拱高。计算固定弦测量尺寸的公式列于表3中。

表3固定弦齿厚测量计算公式

名称直齿轮斜齿轮

外

齿

轮

标准

齿轮

弦齿厚

2

2

cos

;

2(1tan)2c

mm

s









2

2

cos

;

2(1tan)2

nnn

cn

n

mm

s









弦齿高

sin2;

8ca

m

hh





式中，

a

h

齿顶高

sin2;

8

n

cnan

m

hh





变位

齿轮

弦齿厚2(cossin2);

2c

smx



2(cossin2);

2cnnnnn

smx





弦齿高2(sin2sin);

8ca

hhmx



2(sin2sin);

8cnannnn

hhmx





内

齿

轮

标准

齿轮

弦齿厚

2cos

;

2c

m

s





2cos

;

2

nn

cn

m

s





弦齿高

222

sin2;

8ca

m

hhh





式中，2

22

(1cos);

2

a

a

d

h

22

2

;

2aa

invinv

z





222

sin2;

8

n

cnan

m

hhh



2

22

(1cos);

2

a

a

d

h

22

2

;

2atat

invinv

z





变位

齿轮

弦齿厚2(cossin2);

2c

smx



2(cossin2);

2cnnnnn

smx





弦齿高

2

2222

(sin2sin);

8ca

hhmxh





式中，

2

22

(1cos);

2

a

a

d

h

2

22

22

2tan

;

2aa

x

invinv

zz







2

2222

(sin2sin);

8cnannnn

hhmxh





式中，

2

22

(1cos);

2

a

a

d

h

2

22

22

2tan

;

2

n

atat

x

invinv

zz







6

为方便使用，通常也将201

a

h，的各种模数的标准外齿轮以及20，

1,m1

a

h的变位外

齿轮的固定弦齿厚和弦齿高制成参数表供直接查询。

无锡市万向联轴器有限公司余铭2008-11-9