指数的运算

-

可修编

指数与指数幂的运算

【学习目标】

1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质

(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；

(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确

进行根式与分数指数幂的互化；

(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.

2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值围推广到实数集；

3.通过指数围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的

重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；

4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质．

【要点梳理】

要点一、整数指数幂的概念及运算性质

1．整数指数幂的概念





),0(

1

010

*

Z*na

a

a

aa

Znaaaa

n

n

an

n













个

2．运算法则

（1）nmnmaaa；

（2）mn

n

maa；

（3）0anma

a

a

nm

n

m

，；

（4）mm

mbaab.

要点二、根式的概念和运算法则

1．n次方根的定义：

若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.

n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为ny；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为ny；

零的奇次方根为零，记为

00n；

n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为

00n

.

2．两个等式

（1）当1n且*nN时，n

naa

；

（2）









)(||

)(,

为偶数

为奇数

na

na

an

n

-

可修编

要点诠释：

①要注意上述等式在形式上的联系与区别；

②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先

写成||a的形式，这样能避免出现错误．

要点三、分数指数幂的概念和运算法则

为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且

m

n

为既约分数，分数指数幂可如下定义：

1

n

naa

()

m

n

mm

n

naaa

-1m

n

m

n

a

a



要点四、有理数指数幂的运算

1．有理数指数幂的运算性质

Qba,00，，

(1);aaa

(2)();aa

(3)();abab

当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.

要点诠释：

(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；

(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如

2

4

4

2)4()4(；

(3)幂指数不能随便约分.如2

1

4

2

)4()4(

.

2.指数幂的一般运算步骤

有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，

底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指

数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝

a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.

【典型例题】

类型一、根式

例1.求下列各式的值：

（1）5242

5

44(3);(2)(10);(3)(3);(4)()ab.

-

可修编

【答案】-3；

10

；3；0

ab

ba















（a>b）

（a=b）

（a

【解析】熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号.

（1）5

5(3)3；

（2）2

4(10)10；

（3）4

4(3)|3|3；

（4）2()||0

ab

abab

ba

















（a>b）

（a=b）

（a

【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是2，但不是42.

（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时

可换.

举一反三：

【变式1】计算下列各式的值：

（1）3

3(2)；（2）2

4(9)；（3）6

6(4)；（4）8

8(2)a.

【答案】（1）-2；（2）3；（3）4；（4）

2(2)

2(2)

aa

aa











.

例2.计算：（1）526743642；

（2）

11

2121





.

【答案】

22;22

．

【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），

则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.

（1）526743642

=22(3)232(2)+222223(3)-222222(2)

=222(32)(23)(22)

=|

32

|+|

23

|-|22|

-

可修编

=

32

+

23

-（22）

=22

（2）

11

2121





=

2121

(21)(21)(21)(21)







=2121

=22

【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全

n

次方，再解答，或者用整体思

想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，

1

21

的分子、分母中同乘以

(21)

.

举一反三：

【变式1】化简：（1）34

3

4322(12)(12)；

（2）222169(||3)xxxxx

【答案】（1）21；（2）

22(31),

4(13).

xx

x











类型二、指数运算、化简、求值

例3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中a>0）：

（1）2aa；（2）3

32aa；（3）aa；（4）

236

3

3

yxy

xyx

．

【答案】

5

2a；

11

3a；

3

4a；

5

4y

【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可．

（1）

115

2

22

222;aaaaaa

（2）

2211

3

3

323

333aaaaaa；

（3）

11313

22224()()aaaaaa；

（4）解法一：从里向外化为分数指数幂

236

3

3

yxy

xyx

=

1

236

3

3

()

yxy

xyx

=

232yxy

xyx



-

可修编

=

1

2

2

2()

y

xy

x



=

1

1

2

2

2

y

xy

x









=

5

4y

解法二：从外向里化为分数指数幂．

236

3

3

yxy

xyx

=

1

236

2

3

3

()

yxy

xyx

=

11

236

22

3

3

[()]

yxy

xyx

=

1

11

236

3

22

3

{[()]}

yxy

xyx

=

111

236

2412

3

yxy

xyx









=

5

4y

【总结升华】此类问题应熟练应用*(0,,,1)

m

n

m

naaamnN且n．当所求根式含有多重根号

时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．

举一反三：

■高清课程：指数与指数运算例1

【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简

（1）52aa；

6

3

x

xx

【答案】（1）

13

10102a；（2）

2

3x

．

【变式2】把下列根式化成分数指数幂：

（1）682；（2）(0)aaa；（3）3

32bb；（4）

5

22

3

1

()xx

．

【答案】

7

122；

3

4a；

11

3b；

3

5x

【解析】（1）682=

1

177

6

6

3

22122222









；

（2）

13313

22224()aaaaaaa；

（3）

211

3

323

33bbbbb；

-

可修编

（4）

5

22

3

1

()xx

=

24

3

3

2

55

11

()xxxx





=

3

5

913

9

3

535

5

111

()

x

xx

x

．

例4.计算：

(1)

1

1

1

1

2

00.25

3

4

73

(0.0081)3()81(3)

88

























；

(2)

4

3

3

3

333

9

1

624337

(3)263

3

63

4125(36)(4)(3)．

【答案】3；0；2

【解析】(1)原式=3

3

1

3

10

)

3

2

3

1

(

3

1

)3.0(2

1

1





；

(2)原式=

；

(3)原式=-5+6+4-



-(3-



)=2；

注意：（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.

举一反三：

【变式1】计算下列各式：

(1)6

3

4

25.00

3

1

)32(28)

6

7

()

8

1

(

；(2)3

3

3

2

3

3

2

3

1

3

4

)21(

42

8

a

a

b

baba

baa







.

【答案】112；

a

．

【解析】(1)原式=6

2

1

6

3

1

4

1

4

1

3

)

3

1

)(1()3()2(2)2(18112322232

4

1

4

3



；

(2)原式3

1

3

1

3

1

3

1

2

3

1

3

1

3

1

2

3

1

3

1

2)2(2)(

)8(

a

ba

a

bbaa

baa











a

ba

baa











3

3

1

3

3

1

3

1

3

1

3

1

)2()(

)8(

.

【变式2】计算下列各式：■高清课程：指数与指数运算例3

30

3

1

2)

2

6

()03.1(

23

23

)

66

1

()

4

1

(









【答案】21+

156

4

【解析】原式=16+

6

+5+2

6

+

3

4

6

=21+

156

4

．

例5.化简下列各式.

-

可修编

(1)

2

1

3

2

11

1

1

36

2

5

15

46

xy

xyxy





















；(2)

1

11

22

2mm

mm









；(3)

1

0.5

2

3

3

277

(0.027)2

1259









.

【答案】

1

624y；

11

22mm；0.09

【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字

母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.

(1)

2

1

3

2

11

1

1

36

2

5

15

46

xy

xyxy





















21111

()(1)()

33226

6

5(4)

5

xy







11

0

662424xyy

(2)

2

11

22

11

1

22

1111

2222

2

mm

mm

mm

mmmm























(3)

1

0.5

2

3

3

277

(0.027)2

1259









2

3

3

1252555

=(0.027)-=0.09=0.09

27933



举一反三：

【变式1】化简：

23

3()xyxy.

【答案】

57

66xy

【解析】原式=

1157

1133

232

3366

2222[()]()xyxyxyxyxy

.

注意：当n为偶数时，

(0)

||

(0)

n

n

aa

aa

aa













.

【变式2】化简

2222

2222

3333

xyxy

xyxy











【答案】

3

2

xy

xy



【解析】应注意到

2

2

3xx

与

之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，

-

可修编

原式

2222

3333

3333

2222

3333

()()()()xyxy

xyxy











22222222

2222

33333333()()[()()]xxyyxxyy

2

3

32()2

xy

xy

xy

.

【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，

且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.

【变式3】化简下列式子：

(1)

33

223





(2)4226(3)3

232x2x1x3x3x1

【答案】

226

；4

4182；

2x(x1)

2(x1)











【解析】(1)原式

2

2(33)2(33)2(33)

33

24232(31)









22(33)2(1263)

226

6

(33)(33)







(2)222

444

444(182)(18)2182(2)

2

4

4242260

∴由平方根的定义得：4

44226182

(3)3

323

3x3x3x1(x1)x1

2

x1(x1)

x2x1|x1|

x1(x1)













3

232

2x(x1)

x2x1x3x3x1

2(x1)













.

■高清课程：指数与指数运算例4

例6．已知32

1

2

1

xx，求

2

3

22

2

3

2

3









xx

xx

的值．

【答案】

1

3

【解析】从已知条件中解出

x

的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果

与条件

32

1

2

1

xx的联系，进而整体代入求值．

32

1

2

1

xx，129xx，17xx

22249xx，2245xx

-

可修编



2

3

22

2

3

2

3









xx

xx

=

11

1

22()(1)3

472

xxxx





=

3(71)3151

45453





【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后

代换”方法求值．本题的关键是先求

33

22xx及22xx的值，然后整体代入．

举一反三：

【变式1】求值：

(1)已知

11

225xx，求

21x

x



的值；

(2)已知a>0，b>0，且ab=ba，b=9a，求a的值.

【答案】23；43

【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题.

(1)由

11

225xx，两边同时平方得x+2+x-1=25，整理得：x+x-1=23，则有

21

23

x

x



；

(2)a>0，b>0，又∵ab=ba，∴

111

9()()(9)

a

ba

bbbababaa

∴

81

82

4

99933aaa

.

巩固练习

一、选择题

1.若

1

3

x，则2169xx等于（）

A.31xB.13xC.2(13)xD.非以上答案

2.若3

3(3)a，4

4(2)b，则ab（）

A.1B.5C.-1D.25

3.计算2132242的结果是（）

A.32B.16C.64D.128

4.化简

111

11

32168

421212121212















，结果是（）

A.

1

1

32

1

12

2











B.

1

1

3212











C.

1

3212D.

1

32

1

12

2









5.

44

36

63

99aa







等于（）

A.16aB.8aC.4aD.2a

-

可修编

6.若1,0ab，且22bbaa，则bbaa的值等于（）

A.

6

B.2C.2D.2

二、填空题

7.计算73

734



=.

8.化简(21)(12)bbb=.

9.

2

2

13

3

1

(2)(2)

2















=.

10.若

3

,

2

ab化简22

4(4129)aabb=.

三、解答题

11.计算：

（1）

1

1

2

21

2

33

1

125343

16

















；

（2）

1

2

3

2

3

4

1

0.027500.0016

4

















.

12.计算下列各式：

（1）

0

1

1

4

30.75

3

2

3

7

(0.064)(2)16|0.01|

8



















；

（2）

11

22

1111

2222

2ababab

abab







。

-

可修编

13.计算：

2

3

2111

3333

11

111

xxxx

xxxx







巩固练习

一、选择题

1.化简

111

11

32168

421212121212















，结果是（）

A.

1

1

32

1

12

2











B.

1

1

3212











C.

1

3212D.

1

32

1

12

2









2.计算2132242的结果是（）

A.32B.16C.64D.128

3.若1,0ab，且22bbaa，则bbaa的值等于（）

A.

6

B.2C.2D.2

4.下列各式中错误的是（）

A.

211

53151(1)aaaa

B.2

6946

3(,0)ababab



C.

122

111

333

42423424(,0)xyxyxyyxy









D.

1

13

3

24

1

15

3

24

153

(,,0)

5

25

abc

acabc

abc









5.

1

22、

1

33、

1

66这三个数的大小关系为（）

A.

1

66

1

33

1

22B.

1

66

1

1

3

223C.

1

22

1

33

1

66D.

1

33

1

22

1

66

6.已知定义在R上的奇函数()fx和偶函数()gx满足

()()2xxfxgxaa

0,1aa且，若(2)ga，则(2)f（）

A.2B.

15

4

C.

17

4

D.2a

二、填空题

-

可修编

7.

2

1

2])2[(.

8.

11

33

223232











=.

9.若0x，则

131311

42422223234()xxxxx







=.

10.已知14aa，则

11

22aa=.

三、解答题

11.计算：

（1）

1

1

2

21

2

33

1

125343

16

















；

（2）

1

2

3

2

3

4

1

0.027500.0016

4

















.

12.计算下列各式：

（1）

0

1

1

4

30.75

3

2

3

7

(0.064)(2)16|0.01|

8



















；

（2）

11

22

1111

2222

2ababab

abab







．

-

可修编

13.计算：

2

3

2111

3333

11

111

xxxx

xxxx







14.已知

221221

3333334,3,3abxaabybab.

求证：22

33xyxy为定值.

15.（1）化简：111

3

2

1

1

14

3

2

2

abc

caabbc

abbccaxyxyxxx

















；

（2）已知

)0,0)((

2

1

ba

a

b

b

a

x

，求

1

12

2

2





xx

xb

的值.