公因数

公倍数与公因数的应用

公倍数与公因数的应用

【教材简析】

公因数与公倍数是在学生研究了一个数的倍数和因数的基础上，

来进一步研究两个（或多个）数的因数和倍数的特点。让学生联系生

活的实际，运用所学的知识解决简单的实际问题，这样可以更好的沟

通公因数与公倍数知识间的联系，最终形成比较系统的知识网络。

【教学目标】

1.通过动手操作、合作交流等形式来探索解决问题的方法，既能

使学生在活动中加深对公倍数和公因数的理解，又能使学生体会数学

知识的内在联系，感受数形结合的奥妙。

2.能灵活运用公倍数与公因数的知识解决简单的实际问题，培养

学生分析问题解决问题的能力。

3.给学生创设轻松快乐的课堂氛围，提供开放的思维平台和充分

的展示自我的空间，让学生体验数学学习的乐趣。

【教学重点、难点】运用公因数与公倍数知识解决实际问题，构

建知识体系。【教学过程】

一、创设情境，探究新知

1、导入：剪纸在中国已有1500多年的历史，扬州是剪纸艺术流

行最早的地区之一。扬州剪纸已经入选国家非物质文化遗产。张秀芳

是扬州剪纸艺术的杰出代表性人物之一。

今天我们也来学一学剪纸！我们的第一个任务就是做正方形剪纸。

（播放课件）

2、将一个长18厘米，宽12厘米的长方形纸裁剪成边长是整厘米

数，大小相同的正方形而且没有剩余，正方形边长可能是多少厘米？

先在长方形纸上画一画，再剪下一个。

学生动手操作，教师巡视。

指名汇报，你剪下的正方形的边长是多少厘米?你是怎么想的？

生：我剪的正方形边长是6厘米。6既是18的因数又是12的因

数。

生：我剪的正方形边长是3厘米。3既是18的因数又是12的因

数。

生：我剪的正方形边长是2厘米。2既是18的因数又是12的因

数。

生：我剪的正方形边长是1厘米。1既是18的因数又是12的因

数。

板书：边长6厘米

3厘米公因数

2厘米

1厘米

师：刚才这几位同学剪下的正方形边长和大长方形之间有什么联

系呢？

投影出示，示意图

生：这几种正方形的边长都是18和12的公因数。（板书：公因

数）

师：如果我们将最后的问题改成：正方形边长最大是多少厘米？

应该怎么剪？为什么？

生：剪边长是6厘米的正方形，因为6是12和18的最大公因数。

师：如果我们将最后的问题改成：最多能剪下多少个这样的小正

方形？应该怎么剪？为什么？

生:剪边长是1厘米的小正方形，因为1是12和18的最小公因

数，正方形的边长越小，剪下的个数才会越多。18×12﹦216

师：从大长方形中剪小正方形，看起来是一件很简单的事情，但

是其中包含的学问还是挺多的。

3、下面我们来看一看第二个任务：用若干张长18厘米，宽12厘

米的长方形剪纸，每人拼一个正方形展板，正方形的边长可能是多少

厘米？

请同学们拿出准备好的长方形剪纸，在自己的桌面上拼一拼。

指名汇报，你是怎么拼的，说说你的想法？

生：我拼的正方形边长是36厘米。

师：你是怎么拼的？

生：我用小长方形的长拼两排，拼3行，一共用了6个小长方形。

师：拼成的正方形边长还可以再大些吗？

生：还可以是72、108、……

师：你是怎样想的？

生：拼成的正方形的边长应该是18和12的公倍数。（板书：公

倍数）

投影出示，示意图

板书：边长36厘米

72厘米公倍数

108厘米

……

〖设计意图〗将公因数与公倍数的实际问题通过剪纸情境有机的

整合在一起，都是将长方形变成正方形，一剪一拼，截然不同，让学

生在解决问题的过程中初步感知两者的不同，同时也回顾了公因数公

倍数的知识，为后续的比较提升做好准备。

对比分析：

师：为什么同样是将长方形变成正方形，前面一题只有4种剪法，

而后面一题却有无数种剪法？这是怎么回事呢？

分组讨论。

交流汇报：

师：你是怎么想的？

生：第一题是将长方形剪成正方形，所以正方形的边长应该是12

和18的最大公因数，任意两个自然数的公因数的个数总是有限的；第

二题是将长方形拼成正方形，所以正方形的边长是12和18的公倍数，

而任意两个自然数的公倍数的个数是无限的。

〖设计意图〗通过互动交流、对比分析，可以更好的让学生感受

公因数与公倍数的区别，在比较中加深学生对知识的理解。学生可能

知道求公因数或公倍数，但是为什么，学生却并不理解。因此设计这

样一组对比分析，通过关系式让学生感受边长与长和宽的关系，真正

理解什么情况下是求公因数，什么情况下是求公倍数。同时在操作交

流中学生也对公因数与公倍数的相关概念有了一个比较系统的认识。

二、深化练习，巩固拓展

（一）基本练习

师：剪纸做好了，剩下的任务就是装饰和搭配了。

出示题目：

1、现在我们要将同学们的作品分组展览，平均每组6张或8张，

都正好分完。同学们最少做了多少张剪纸作品？

2、暑假期间，小明和小军都参加了剪纸兴趣练班。小明每4天去

一次，小军每6天去一次，8月1日两人同时参加的训练，下一次他们

同时参加训练是几月几日？

3、有两根彩带分别长24分米和16分米，要剪成同样长的小段，

用于装饰花边，每段最长多少分米？可以剪这样的几段？

学生在练习本上完成。

交流汇报：

1、[6,8]=24

可不可以是48张剪纸作品呢？为什么？

生：因为题目问的是最少做了多少张？

2、(24,16)＝8

24÷8＝3（段）16÷8＝2（段）3＋2＝5（段）

3、[4,6]=1212＋1＝13（日）8月13日

师：看来学会了公倍数和公因数的知识，我们就可以比较轻松地

解决生活中类似的问题。

（二）综合练习，对比分析

师：今天来了一些老师听咱们的课，很多同学都想送老师一幅剪

纸作品？

投影出示：

4、同学们将37张花卉剪纸和52张人物剪纸平均分给听课的老

师，结果发现花卉剪纸剩下1张，人物剪纸剩下4张。听课的老师最

多有几人呢？

让学生写在随堂练习本上，完成后展示。

有部分学生没有做出来，先问他们原因？

生：37和52只有公因数1，来听课的老师不应该是1人！

生：52-4=48（人），37-1=36（人），(48,36)＝12，所以最多

一共有12人。

教师追问想法。

明明分的是37和52，为什么求的却是36和48的最大公因数？

生：因为人物剪纸剩下4张，花卉剪纸剩下1张，所以正好分了

36张花卉剪纸、48张人物剪纸。

师：（37-1）÷老师人数=整数（52-4）÷老师人数=整数

过渡：我们的剪纸作品展示活动开始了！课件出示题目：

5、五（1）班组织部分同学来参观，如果每6人一组余2人，9

人一组也余2人。你知道五（1）班来参观的同学至少有多少人吗？

师：快速写在练习纸上。

学生完成后组织交流。

生：先求出6和9的最小公倍数是18，再加上2，参观的同学至

少有20人。

师追问：为什么要加上2？

师引导学生明确：如果没有余数，正好就是6和9的最小公倍数，

现在都余2，余数相同，所以要加2。

师：如果都少2人呢？

生：用最小公倍数减2.

师：为什么要减2？

生：因为如果不差2人，那么正好是6和8的最小公倍数，都差

2人所以要减去2.

谈话总结：我们在解决这一类问题时，一定要弄懂这里的余数是

什么意思，是怎样分的；明确要解决的问题与谁有关，它们之间有什

么样的关系。

〖设计意图〗：设计对比性的综合练习，前面是正好分完，后面

分了有余数，通过对比分析可以让学生更好的把握解题的关键，提炼

解题的方法。同时将知识适时拓展，给学生提供一个展示自我的平台

可以更好的激发学生的学习热情。由于学生有了前面练习的基础，虽

然题目的思维含量较高，但是学生有思维的抓手，因此将问题适时拓

展可以更好的调动学生的思维，发展学生的思维能力。

（三）拓展练习：

课件出示题目：

6、五（2）班也组织了部分同学来参观，如果每6人一组余2人，

9人一组余5人。五（2）班来参观的同学至少有多少人？

师提出问题：现在余数不相同怎么办？

学生尝试解决，教师提示：每6人一组余2人，再增加几人就可

以又组成一组了？每9人一组余5人是什么意思？

学生解决不出来可放在课后继续思考。

〖设计意图〗：这是将同余问题进一步拓展到同差问题，这种思

维的跨度比较大，学生理解起来比较困难。因此将此题作为一道机动

题目安排在练习课的最后。旨在引发学生思维的兴趣，当然，这样在

对比中变化出来的题目也可以有效的拓展学生的思维，让学生在深入

理解公因数公倍数的基础上多角度思考问题，从而在解决问题的过程

中提升学生分析问题解决问题的能力，发展学生的思维能力。

三、回归情境，总结提升

谈话：今天我们领略了剪纸中的数学问题，学会应用公因数和公

倍数的知识解决一些生活中的实际问题，只要我们用心思考，善于用

数学的眼光去观察，分析，相信同学们还会有更多的收获！

〖设计意图〗：让学生在谈收获的过程中反思自己本节课的表现，

可以更好的培养学生总结概括的能力。