约数的定义

第19讲最大公约数

教学目标掌握约数和最大公约数的概念,最大公约数的求法；

会利用最大公约数解决实际问题。

一、约数和倍数的定义

整数A能被整数B整除,A叫做B的倍数,B就叫做A的约数(在自然数的范围内)。

如：2和6是12的约数,12是2的倍数,12也是6的倍数；

18的约数有1、18、2、9、3、6。

注意：①一个数的约数个数是有限的,一个数的倍数有无数个。

②任何数都有最小的约数1,最大的约数本身,最小的倍数也是本身。

③一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的

倍数是3,没有最大的倍数。

④因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在,而是从乘积的角度来提出的。如果数a与数b相乘

的积是数c,a与b都是c的。

二、质数与合数

(1)只有1和本身两个约数的数叫做质数(或素数)；

(2)除了1和本身外还有其它约数的数叫做合数；

(3)1既不是质数,也不是合数；

(4)100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、

71、73、79、83、89、97。

(5)每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质约

数,例如15=3×5,3和5叫做15的质约数。

(6)把一个合数用质约数相乘的形式表示出来,叫做分解质约数。

知识梳理

学习目标

几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数。其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数,例如12的约

数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中,1、2、3、6是12和18的公约数,6是它

们的最大公约数,记作(12,18)=6。

(7)公约数只有1的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况：

1和任何自然数互质；

相邻的两个自然数互质；

两个不同的质数互质；

当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质；

如果较小数是较大数的约数,那么较小数就是这两个数的最大公约数；

如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是1。

考点一：最大公约数的求法

例1、列举法:求12和18的最大公约数。

例2、短除法：求42和105的最大公约数。

例3、分解质约数法：求48和72的最大公约数。

典例分析

例4、辗转相除法：求432和225的最大公约数。

考点二：应用最大公约数巧算

例1、一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。要把它切成大小相等的正

方体木块,不许有剩余,求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？

例2、一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米,乙、丙村相距675米。现在准备在路边

裁树,要求相邻两棵树之间距离相等,并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树,求相邻两棵树之间的距

离最多是多少米？

例3、用96朵红花和72朵白花做成花束,如果各花束里红花的朵数相同,白花的朵数也相同,每束花里最少有

几朵花？

考点三：最大公约数综合

例1、

18

1

可以写成哪两个分数单位的和？

例2、图中的大长方形分别由面积为12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的

四个小长方形所组成．那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米．

➢课堂狙击

一、填空题

1、18的约数有(),60的约数有(),18和60的公约数有(),最大公约数是()。

2、一个合数的约数至少有()个,例如：()。

3、如果A=2×3×7,B=2×5×7,那么A和B的最大公约数是(),最小公倍数是()。

二、选择题

4、1、2、4、8是8的()

A、约数B、公约数C、素数

5、12是()的最大公约数。

A、1和12B、12和24C、3和4

6、一个两位数个位和十位上都是合数,并且它们的最大公约数是1,那么这两位数可能是()

A、49B、59C、69

三、解答题

实战演练

7、写出每组数的最大公约数

7和95和2510和4

27和1811和7715和16

8、有22块橡皮和33支铅笔平均分给参加劳动的同学,结果橡皮多1块,铅笔少2支,参加劳动

的同学有多少名？

9、幼儿园一个班借阅图书,如果借35本,平均分发给每个小朋友差1本；如果借56本,平均分发给每个小朋

友后还剩2本；如果借69本,平均分发给每个小朋友则差3本。这个班的小朋友最多有多少人？

➢课后反击

一、判断题

1、如果a÷b=4(a、b为整数)那么a和b的最大公约数是4。()

2、一个数最小的倍数与它最大的约数相等。()

3、任何一个自然数的约数至少有2个。()

4、1和任何自然数(0除外)都没有公约数。()

二、解答题

5、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动,要把他们分成人数相等的小组,但各班同学不能

打乱,最多每组多少人？每班各可以分几组？

6、两个自然数的积是360,最小公倍数是120,这两个数各是多少？

7、一个数除200余4,除300余6,除500余10,。求这个数最大是多少？

8、一块三角形地的三边分别是18米、18米和21米,要再它的周围种上树,要使顶角处都种,相邻的两棵树间

的距离相等。最少要种多少棵树？相邻两棵树之间距离是多少米？

1、约数和最大公约数的概念,最大公约数的求法；

2、利用最大公约数解决实际问题。

1、在用短除计算多个数时,对其中任意两个数存在的因数都要算出,其它没有这个因数的数则原样落下。直

到剩下每两个都是互质关系。

2、在用分解质因数的方法求最大公因数时,如果有几个质因数相同,则比较两数中哪个数有该质因数的个数

较少,乘较少的次数。

3、求最大公因数的方法可以是集合法,对应法,列表法,分解质因数法,短除法以及辗转相除法等。

在运用找最大公因数解决问题时,并不是所有的题目都要求直接运用找最大公因数来解决,而是求出最大的

公因数后,还要继续运用题目的已知条件和问题继续解答。

(1)短除法

短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数,然后落下两个数被

公有质因数整除的商,之后再除,以此类推,直到结果互质为止(两个数互质)。

名师点拨

重点回顾

(2)辗转相除法

基于下面的性质：(a,b)=(a,ka+b),其中a、b、k都为自然数

就是说,两个数的最大公约数,将其中一个数加到另一个数上,得到的新数组,其公约数不变,比如

(4,6)=(4+6,6)=(4,6+2×4)=2。这里有一个比较简单的证明方法来说明这个性质：如果p是a和ka+b的公约数,p

整除a,也能整除ka+b。那么就必定要整除b,所以p又是a和b的公约数,从而证明他们的最大公约数也是相

等的。

(3)分解质因数：首先把两个数的质因数写出来,最大公因数等于它们所有相同的质因数的乘积。

➢本节课我学到

➢我需要努力的地方是

学霸经验