高三数学题

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高三数学模拟试卷

选择题（每小题5分，共40分）

1．已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2,3}，N＝{3,4,5}，则M∩(

U

N)＝（）

A.{1,2}B.｛4,5｝C.｛3｝D.｛1,2,3,4,5｝

2.复数z=i2(1+i)的虚部为（）

.-1D.-i

3．正项数列{a

n

}成等比，a

1

+a

2

=3，a

3

+a

4

=12,则a

4

+a

5

的值是（）

A.-24B.21C.24D.48

4．一组合体三视图如右，正视图中正方形

边长为2，俯视图为正三角形及内切圆，

则该组合体体积为（）

A.23B.

4

3



C.23+

4

3



D.

54343

27



5．双曲线以一正方形两顶点为焦点，另两顶点在双曲线上，则其离心率为（）

A.22B.2+1C.2D.1

6．在四边形ABCD中，“AB=2DC”是“四边形ABCD为梯形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7．设P在[0,5]上随机地取值，求方程x2+px+1=0有实根的概率为（）

A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6

8．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<

2



)

的图象（部分）如图所示，则f(x)的解析式是（）

A．f(x)=5sin(

6



x+

6



)Ｂ．f(x)=5sin(

6



x-

6



)

Ｃ．f(x)=5sin(

3



x+

6



)Ｄ．f(x)=5sin(

3



x-

6



)

二、填空题：（每小题5分，共30分）

9.直线y=kx+1与A（1,0），B（1,1）对应线段有公

共点，则k的取值范围是_______.

10．记n

x

x)

1

2(的展开式中第m项的系数为

m

b，若

43

2bb，则

n

=__________.

11．设函数

3

1()12xfxx的四个零点分别为

1234

xxxx、、、，则

1234

()fxxxx+++；

12、设向量

(12)(23)，，，ab

，若向量ab与向量

(47)，c

共线，则

11.

2

1

1

lim______

34x

x

xx







.

14.对任意实数x、y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中

a、b、c为常实数，等号右边的运算是通常意义的加、

x

－5

y

O

5

2

5

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乘运算.现已知2*1=3，2*3=4，且有一个非零实数m，

使得对任意实数x，都有x*m=2x，则m=.

三、解答题：

15．（本题10分）已知向量a=(sin(

2



+x),3cosx)，b=(sinx,cosx),f(x)=a·b.

⑴求f(x)的最小正周期和单调增区间；

⑵如果三角形ABC中，满足f(A)=

3

2

，求角A的值．

16．（本题10分）如图：直三棱柱（侧棱⊥底面）ABC—A

1

B

1

C

1

中，

∠ACB=90°，AA

1

=AC=1，BC=2，CD⊥AB,垂足为D.

⑴求证：BC∥平面AB

1

C

1

;

⑵求点B

1

到面A

1

CD的距离.

17．（本题10分）旅游公司为4个旅游团提供5条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.

（1）求4个旅游团选择互不相同的线路共有多少种方法;

（2）求恰有2条线路被选中的概率;

（3）求选择甲线路旅游团数的数学期望.

18.（本题10分）数列{a

n

}满足a

1

+2a

2

+22a

3

+…+2n-1a

n

=4n.

⑴求通项a

n

；

⑵求数列{a

n

}的前n项和S

n

.

19．（本题12分）已知函数f(x)=alnx+bx,且f(1)=-1，f′(1)=0，

⑴求f(x)；

⑵求f(x)的最大值；

⑶若x>0,y>0,证明：lnx+lny≤

3

2

xyxy

.

20．（本题14分）设

21

,FF分别为椭圆)0(1:

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

C的左、右两个焦点，若椭圆C

P

A

1

B

1

C

1

A

B

C

D

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上的点A(1,

3

2

)到F

1

，F

2

两点的距离之和等于4.

⑴写出椭圆C的方程和焦点坐标；

⑵过点P（1，

1

4

）的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线DE的方程;

⑶过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大，求直线MN的方程.

21.（本题14分）对任意正实数a

1

、a

2

、…、an；

求证1/a

1

+2/(a

1

+a

2

)+…+n/(a

1

+a

2

+…+a

n

)<2(1/a

1

+1/a

2

+…+1/a

n

)

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09高三数学模拟测试答案

一、选择题:.ACCDBADA

二、填空题：本题主要考查基础知识和基本运算．每小题4分，共16分.

9.[-1,0]10.511.1912.213.

1

5

14.3

三、解答题：

15．本题考查向量、二倍角和合成的三角函数的公式及三角函数性质，要求学生能运用所学知识

解决问题．

解：⑴f(x)=sinxcosx+

3

2

+

3

2

cos2x=sin(2x+

3



)+

3

2

………

T=π，2kπ-

2



≤2x+

3



≤2kπ+

2



，k∈Z,

最小正周期为π，单调增区间[kπ-

5

12



,kπ+

12



],k∈Z.……………………

⑵由sin(2A+

3



)=0,

3



<2A+

3



<

7

3



,……………

∴2A+

3



=π或2π，∴A=

3



或

5

6



……………………

16．、本题主要考查空间线线、线面的位置关系，考查空间距离角的计算，考查空间想象能力和

推理、论证能力，同时也可考查学生灵活利用图形，建立空间直角坐标系，借助向量工具解决

问题的能力．

⑴证明：直三棱柱ABC—A

1

B

1

C

1

中，BC∥B

1

C

1

,

又BC平面AB

1

C

1

，B

1

C

1

平面AB

1

C

1

，∴B

1

C

1

∥平面AB

1

C

1

；………………

⑵（解法一）∵CD⊥AB且平面ABB1A1⊥平面ABC,

∴CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥AD且CD⊥A1D,

∴∠A1DA是二面角A

1

—CD—A的平面角，

在Rt△ABC,AC=1,BC=2,

∴AB=

3

,又CD⊥AB，∴AC2=AD×AB

∴AD=

3

3

，AA

1

=1，∴∠DA

1

B

1

=∠A1DA=60°，∠A

1

B

1

A=30°，∴AB

1

⊥A1D

又CD⊥A1D，∴AB1⊥平面A1CD，设A1D∩AB1=P,∴B1P为所求点B

1

到面A

1

CD的距离.

B1P=A

1

B

1

cos∠A

1

B

1

A=

3

cos30°=

3

2

.

即点

1

B到面CDA

1

的距离为

2

3

．…………………………………………………

z

y

x

A

C

B

C

1

D

A

1

B

1

P

A

1

B

1

C

1

A

B

C

D

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（2）（解法二）由V

B1-A1CD

=V

C-A1B1D

=

1

3

×

31

2



×

6

3

=

2

6

，而cos∠A1CD=

2

2

×

6

3

=

3

3

,

S△A1CD

=

1

2

×2×

6

3

×

6

3

=

2

3

,设B1到平面A1CD距离为h,则

1

3

×

2

3

h=

2

6

,得h=

3

2

为所

求.

⑶（解法三）分别以CA、CB、CC

1

所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图）则A（1，

0，0），A

1

（1，0，1），

C（0，0，0），C

1

（0，0，1），

B（0，2，0），B

1

（0，2，1），

∴D（

2

3

，

2

3

，0）

1

CB=（0，2，1），设平面A

1

CD的法向量n=（x，y，z），则

1

3220

0

nCDxy

nCAxz











，取n=（1，-2，-1）

点

1

B到面CDA

1

的距离为d=1

nCB

n



2

3

……………………………………

17．本题主要考查排列，典型的离散型随机变量的概率计算和离散型随机变量分布列及期望等基

础知识和基本运算能力．

解：（1）4个旅游团选择互不相同的线路共有：A

5

4=120种方法；…

（2）恰有两条线路被选中的概率为：P

2

=

24

5

4

(22)

28

5125

C

…

（3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ～B(4,

1

5

)

∴期望Eξ=np=4×

1

5

=

4

5

………………

答:（1）线路共有120种，（2）恰有两条线路被选中的概率为0.224,（3）所求期望为0.8个团

数.………………………

18．本题主要考查数列的基础知识，考查分类讨论的数学思想，考查考生综合应用所学知识创造

性解决问题的能力．

解：（1）a

1

+2a

2

+22a

3

+…+2n-1a

n

=4n，

∴a

1

+2a

2

+22a

3

+…+2na

n+1

=4n

+1，相减得2na

n+1

=3×4n,∴a

n+1

=3×2n,

又n=1时a

1

=4，∴综上a

n

=

1

4(1)

32(2)n

n

n











为所求；………………………

⑵n≥2时，S

n

=4+3(2n-2),又n=1时S

1

=4也成立，

__________________________________________________

__________________________________________________

∴S

n

=3×2n-2………………12分

19．本题主要考查函数、导数的基本知识、函数性质的处理以及不等式的综合问题，同时考查考

生用函数放缩的方法证明不等式的能力．

解：⑴由b=f(1)=-1,f′(1)=a+b=0,∴a=1,∴f(x)=lnx-x为所求；……………

⑵∵x>0,f′(x)=

1

x

-1=

1x

x



,

x0

x=1x>1

f′(x)

+0-

f(x)

↗极大值↘

∴f(x)在x=1处取得极大值-1，即所求最大值为-1；……………

⑶由⑵得lnx≤x-1恒成立，

∴lnx+lny=

ln

2

xy

+

lnln

2

xy

≤

1

2

xy

+

11

2

xy

=

3

2

xyxy

成立………

20．本题考查解析几何的基本思想和方法，求曲线方程及曲线性质处理的方法要求考生能正确分

析问题，寻找较好的解题方向，同时兼顾考查算理和逻辑推理的能力，要求对代数式合理演变，

正确分析最值问题．

解：⑴椭圆C的焦点在x轴上，

由椭圆上的点A到F

1

、F

2

两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.；

又点A(1,

3

2

)在椭圆上，因此

22

3

1

4

1.

2b

得b2=1，于是c2=3；

所以椭圆C的方程为

2

2

12

1,(3,0),(3,0).

4

x

yFF焦点

，………

⑵∵P在椭圆内，∴直线DE与椭圆相交，

∴设D(x

1

,y

1

),E(x

2

,y

2

)，代入椭圆C的方程得

x

1

2+4y

1

2-4=0,x

2

2+4y

2

2-4=0,相减得2(x

1

-x

2

)+4×2×

1

4

(y

1

-y

2

)=0,∴斜率为k=-1

∴DE方程为y-1=-1(x-

1

4

),即4x+4y=5;………

(Ⅲ)直线MN不与y轴垂直，∴设MN方程为my=x-1，代入椭圆C的方程得

（m2+4)y2+2my-3=0,设M(x

1

,y

1

),N(x

2

,y

2

),则y

1

+y

2

=-

2

2

4

m

m

,y

1

y

2

=-

2

3

4m

,且△>0成立.

又S△OMN

=

1

2

|y

1

-y

2

|=

1

2

×

22

2

412(4)

4

mm

m





=

2

2

23

4

m

m





，设t=23m≥3,则

S△OMN

=

2

1

t

t



,(t+

1

t

)′=1-t-2>0对t≥

3

恒成立，∴t=

3

时t+

1

t

取得最小，S△OMN

最大，

此时m=0,∴MN方程为x=1……………