平方差公式和完全平方公式

乘法公式的复习

一、平方差公式

(a+b)(a-b)=a2-b2

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

①位置变化，xyyxx2y2

②符号变化，xyxyx2y2x2y2

③指数变化，x2y2x2y2x4y4

④系数变化，2ab2ab4a2b2

⑤换式变化，xyzmxyzm

xy2zm2

x2y2zmzm

x2y2z2zmzmm2

x2y2z22zmm2

⑥增项变化，xyzxyz

xy2z2

xyxyz2

x2xyxyy2z2

x22xyy2z2

⑦连用公式变化，xyxyx2y2

x2y2x2y2

x4y4

⑧逆用公式变化，xyz2xyz2

xyzxyzxyzxyz

2x2y2z

4xy4xz

完全平方公式

活用:把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公

式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：









12

22

32

44

2

22

2

22

22

22

22

.

.

.

.

ababab

ababab

ababab

ababab









灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养

综合运用知识的能力。

例1．已知2ba，1ab，求22ba的值。

例2．已知8ba，2ab，求2)(ba的值。

解：∵2)(ba222baba2)(ba222baba

∴2)(ba2)(baab4∴2)(baab4=2)(ba

∵8ba，2ab∴2)(ba562482

例3已知abab45，，求ab22的值。

解：ababab22

2

2242526

三、学习乘法公式应注意的问题

（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．

例1计算(-2x2-5)(2x2-5)

分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”

是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b．

例2计算(-a2+4b)2

分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，

“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公

式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略）

（二）、注意为使用公式创造条件

例3计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．

分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、

“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技

巧使原式变形为符合平方差公式的形式．

例5计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．

分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），

则可运用公式，使问题化繁为简．

（三）、注意公式的推广

计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积

的2倍．

例6计算(2x+y-3)2

解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)

=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．

（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式

例7已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．

例10计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2

分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆

用完全平方公式，则运算更为简便．

四、怎样熟练运用公式：

熟悉常见的几种变化

有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计

算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．

常见的几种变化是：

1、位置变化如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即

可用平方差公式计算了．

2、符号变化如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m

－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）

3、数字变化如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），

（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了．

4、系数变化如（4m+

2

n）（2m－

4

n）变为2（2m+

4

n）（2m－

4

n）

后即可用平方差公式进行计算了．

（四）、注意公式的灵活运用

有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以

使计算更简便．如计算（a2+1）2·（a2－1）2，若分别展开后再相乘，

则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即

原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．

对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意

逆向（从右到左）运用．如计算（1－

22

1）（1－

23

1）（1－

24

1）…（1

－

29

1）（1－

210

1），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，

而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公

式，则可巧解本题．

即原式=（1－

2

1）（1+

2

1）（1－

3

1）（1+

3

1）×…×（1－

10

1）（1+

10

1）

=

2

1×

2

3×

3

2×

3

4×…×

10

9×

10

11=

2

1×

10

11=

20

11．

有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变

式，乘法公式的变式主要有：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab

等．

用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．

如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+n2的值．

面对这样的问题就可用上述变式来解，

即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2×（－18）=49+36=85，

m2－mn+n2=（m+n）2－3mn=72－3×（－18）=103．

下列各题，难不倒你吧？！

1、若a+

a

1=5，求（1）a2+

2

1

a

，（2）（a－

a

1）2的值．

2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1

的末位数字．

（答案：1.（1）23；（2）21．2.6）

五、乘法公式应用的五个层次

乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2，(a±b)=a2±2ab＋b2，

(a±b)(a2±ab＋b2)=a3±b3．

第一层次──正用

即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．

例1计算

(－2x－y)(2x－y)．

．

第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用．

例2计算

第三层次──活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复

使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．

例3化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．

分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增

添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．

解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1

=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216．

第四层次──变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式

的一些恒等变形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2ab，a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a

＋b)等，则求解十分简单、明快．

例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2的值．

解：∵a＋b=9，ab=14，∴2a2＋2b2=2[(a＋b)2－2ab]=2(92

－2·14)=106，

第五层次──综合后用：将(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2

－2ab＋b2综合，

可得(a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2=4ab；

等，合理地利用这些公式处理某些问题显得

新颖、简捷．

例6计算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．

解：原式

=

1

4

[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-

1

4

[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2

=(2x＋5)2－(y－z)2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2

乘法公式的使用技巧：

①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免

负号多带来的麻烦。

例1、运用乘法公式计算：

（1）(-1+3x)(-1-3x)；（2）(-2m-1)2

②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排

列顺序，可以使公式的特征更加明显.

例2、运用乘法公式计算：

（1）(

1

3

a-

1

4

b)(-

1

4

b-

a

3

);（2）(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)

③逆用公式

将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得

a2-b2=(a+b)(a-b)，逆用积的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解

题时常会收到事半功倍的效果。

例3、计算：

（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2;（2）(a-1/2)2(a2+1/4)2(a+1/2)2

④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完

全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，

视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。

计算：（1）(x+y+1)(1-x-y);（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).

先提公因式，再用公式

例2.计算：8

2

4

4

x

y

x

y





























简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x的系数成

倍数，y的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多

项式中各项提公因数2出来，变为24

4

x

y















，则可利用乘法公式。

三.先分项，再用公式

例3.计算：232236xyxy

简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着

手观察，不难发现，x的系数相同，y的系数互为相反数，符合乘法

公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2分解成4与2的和，

将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。

四.先整体展开，再用公式

例4.计算：()()abab221

简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即

()ab21，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。

六.先用公式，再展开

例6.计算：1

1

2

1

1

3

1

1

4

1

1

102222

























































…

简析：第一个整式1

1

22















可表示为1

1

2

2

2































，由简单的变化，

可看出整式符合平方差公式，其它因式类似变化，进一步变换成分数

的积，化简即可。