梅涅劳斯

第1页

板块一梅涅劳斯定理及其逆定理

梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC△的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，

那么

1

AFBDCE

FBDCEA



．这条直线叫

ABC△

的梅氏线，

ABC△

叫梅氏三角形．

证法一：如左图，过C作CG∥DF

证法二：如中图，过A作AGBD∥交DF的延长线于G

三式相乘即得：

1

AFBDCEAGBDDC

FBDCEABDDCAG



．

证法三：如右图，分别过

ABC、、

作DE的垂线，分别交于

123

HHH、、

．

则有

123

AHBHCH∥∥，

所以3

12

231

1

CH

AHBH

AFBDCE

FBDCEABHCHAH



．

梅涅劳斯定理的逆定理：若F、D、E分别是ABC△的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，

如果

1

AFBDCE

FBDCEA



，则F、D、E三点共线．

【例1】如图，在

ABC△

中，AD为中线，过点

C

任作一直线交AB于点F，交AD于点E，求

证：

:2:AEEDAFFB

．

【解析】∵直线

FEC

是ABD△的梅氏线，

∴

1

AEDCBF

EDBCFA



．而

1

2

DC

BC



，∴

1

1

2

AEBF

EDFA



，即

2AEAF

EDBF



．

习题1.在△

ABC

中，D是

BC

的中点，经过点D的直线交AB于点E，交

CA

的延长线于点

F．求证：

FAEA

FCEB



．

【解析】直线截

ABC△

三边于D、E、F三点，应用梅氏定理，知

1

CDBEAF

DBEAFC



，又因为

BDBC

，所以

1

BEAF

EAFC



，即

FAEA

FCEB



．

习题2.如图，在△

ABC

中，90ACB

，

ACBC

．AM为

BC

边上的中线，

CDAM

于点D，

CD

的延长线交AB于点E．求

AE

EB

．

【解析】由题设，在

RtAMC△

中，

CDAM

，

2ACCM

，

由射影定理

2

2

4

ADADAMAC

DMDMAMCM







．

对ABM△和截线

EDC

，由梅涅劳斯定理，

1

AEBCMD

EBCMDA



，即

21

1

14

AE

EB



．

所以

2

AE

EB



．

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夯实基础

梅涅劳斯定理与塞瓦定理

【例2】如图，在

ABC△

中，D为

AC

中点，

BEEFFC

，求证：

::5:3:2BMMNND

．

【解析】∵直线AE是

BCD△

的梅氏线，

∵直线AF是

BCD△

的梅氏线，

习题3.如图，在

ABC△

中，D为

BC

的中点，

::4:3:1AEEFFD

．求

::AGGHAB

．

【解析】∵

HFC

是ABD△的梅氏线，

∵D为

BC

的中点，

::4:3:1AEEFFD

，

∵

GEC

是ABD△的梅氏线，

【例

3

】过

ABC△

的重心

G

的直线分别交AB、

AC

于点E、F，交

CB

的延长线于点D．

求证：

1

BECF

EAFA



．

【解析】作直线

AG

交

BC

于M，

同理，

2

CFDC

FADM



，

而

2BDDCBDBDBM

2()2BDBMDM

【例4】如图，点D、E分别在

ABC△

的边

AC

、AB上，AEEB，

2

3

AD

DC



，BD与

CE

交

于点F，

40

ABC

S

△

．求

AEFD

S

．

【解析】对

ECA△

和截线BFD，由梅氏定理得：

1

EFCDAB

FCDABE



，即

32

1

21

EF

FC



，

所以

1

3

EF

FC



．所以

11

48BFEBECABC

SSS

△△△

，

进而

2111

4011

5840AEFDABDBEFABC

SSSS







△△△

．

习题4.如图，在

ABC△

中，三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD的面积为

x

，求

x

的值．

【解析】对

ECA△

和截线BFD，由梅氏定理得：

1

CDABEF

DABEFC



，即

18231

1

5152

x

x







，解得

22x

．

【备选】如图，

ABC△

被通过它的三个顶点与一个内点

O

的三条直线分为6个小三角形，

其中三个小三角形的面积如图所示，求

ABC△

的面积．

【解析】对ABD△和截线

COF

，由梅氏定理得：

1

AFBCDO

FBCDOA



，即

41

1

32

BC

CD



，所以

3

2

BC

CD



，所以

3

BC

BD



．所以33105315

ABCABD

SS

△△

．

【例5】如图，在

ABC△

中，A的外角平分线与边

BC

的延长线交于点P，B的平分线与

边

CA

交于点

Q

，

C

的平分线与边AB交于点R，求证：P、

Q

、R三点共线．

【解析】AP是

BAC

的外角平分线，则

BQ

是

ABC

的平分线，则

CR

是

ACB

的平分线，则

①②③

得

非常挑战

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第3页

因R在AB上，

Q

在

CA

上，P在

BC

的延长线上，

则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P、

Q

、R三点共线．

习题5.证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点．

【解析】如图，

CDBEAF、、

分别为三角形

ABC

的三个外角平分线，分别交

ABACBC、、

于

DEF、、

．

过

C

作BE的平行线，则

BCPCBEEBDCPB

，

所以

BPC△

是等腰三角形．则

PBCB

．

则有：

CEPBCB

EABABA



．

同理

ADAC

DBCB



；

BFBA

FCAC



．

所以

1

CEADBFCBACBA

EADBFCBACBAC



．

所以

DEF、、

共线．

板块二塞瓦定理及其逆定理

塞瓦定理：如果ABC△的三个顶点与一点P的连线AP、BP、CP交对边或其延长线于点D、E、

F，如图，那么

1

BDCEAF

DCEAFB



．通常称点P为ABC△的塞瓦点．

证明：∵直线FPC、EPB分别是ABD△、ACD△的梅氏线，

两式相乘即可得：

1

BDCEAF

DCEAFB



．

塞瓦定理的逆定理：如果点D、E、F分别在ABC△的边BC、CA、AB上或其延长线上，并

且

1

BDCEAF

DCEAFB



，那么AD

、

BE

、

CF相交于一点（或平行）．

证明：⑴若AD与BE相交于一点P时，如图，作直线CP交AB于'F．

由塞瓦定理得：

'

1

BDCEAF

DCEAFB





，

又已知

1

BDCEAF

DCEAFB



，∴

AFAF

FBFB







，

∴'F与F重合

∴'CF与CF重合

∴AD、BE、CF相交于一点．

⑵若AD与BE所在直线不相交，则AD∥BE，如图．

∴

BDEA

DCAC



，又已知

1

BDCEAF

DCEAFB



，

∴

1

EACEAF

ACEAFB



，即

CEFB

ACAF



．

说明：三线平行的情况在实际题目中很少见．

【例6】（1）设

AXBYCZ，，

是ABC△的三条中线，求证：

AXBYCZ，，

三线共点．

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（2）若

AXBYCZ，，

为

ABC△

的三条内角平分线．求证：

AXBYCZ，，

三线共点．

【解析】（1）由条件知，

BXXCYCYAZAZB，，

．∴

1

BXCYAZ

XCYAZB



，

根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线

AXBYCZ，，

共点．

这个点称为这个三角形的重心．

（2）由三角形内角平分线定理得：

BXABCYBCAZAC

XCACYABAZBBC

，，

．

三式分别相乘，得：

1

BXCYAZABBCAC

XCYAZBACABBC



．

根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线

AXBYCZ，，

共点，

这个点称为这个三角形的内心．

习题6.若

AXBYCZ，，

分别为锐角ABC△的三条高线，求证：

AXBYCZ，，

三线共点．

【解析】由ABXCBZ△∽△得：

BXAB

BZBC



；由BYACZA△∽△得：

AZAC

AYAB



；

由AXCBYC△∽△可得：

YCBC

CXAC



．所以

1

BXAZYCABACBC

BZAYCXBCABAC



．

根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线

AXBYCZ，，

共点．

对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点．我们把一个三角形三条高

线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．

【例7】如图，M为ABC△内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通

过BC的中点D，求证：EFBC∥．

【解析】对ABC△和点M应用塞瓦定理可得：

1

AFBDCE

FBDCEA



．又因为BDDC，所以

1

AFCE

FBEA



．进而

AFAE

FBEC



，所以EFBC∥．

习题

7.

如果梯形

ABCD

的两腰AD、

BC

的延长线交于M，两条对角线交于

N

．求证：直线

MN

必平分梯形的两底．

∵

1

MDAQBC

DAQBCM



（由塞瓦定理得）

板块三梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合

【备选】如图，E、F分别为ABC△的AC、AB边上的点，且3AEEC，3BFFA，

BE、CF交于点P，AP的延长线交BC于点D．求:APPD的值．

【解析】∵P为ABC△的塞瓦点．

∵EPB为ACD△的梅氏线，

【备选】如图，四边形ABCD的对边AB和DC，DA和CB分别相交于点

LK，

，对角线AC与BD

交于点M．直线KL与BD、AC分别交于点

FG、

．

求证：

KFKG

LFLG



．

【解析】对DKL△与点B应用塞瓦定理得：

1

DAKFLC

AKFLCD



．

对DKL△和截线ACG应用梅涅劳斯定理可得：

1

DAKGLC

AKGLCD



．

非常挑战

第5页

进而可得

KFKG

LFLG



．