新疆高考

新疆自治区2018高考[理科数学]考试真题与答案解析

一、选择题

本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1．

12i

12i







（）

A．

43

i

55



B．

43

i

55



C．

34

i

55



D．

34

i

55



2．已知集合

223AxyxyxyZZ，≤，，，则A中元素的个数为（）

A．9

B．8

C．5

D．4

3．函数



2

eexx

fx

x



的图像大致为：__________

4．已知向量a，b满足||1a，1ab，则(2)aab（）

A．4

B．3

C．2

D．0

5．双曲线22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的离心率为3，则其渐近线方程为（）

A．2yx

B．3yx

C．

2

2

yx

D．

3

2

yx

6．在ABC△中，

5

cos

25

C

，1BC，5AC，则AB（）

A．42

B．30

C．29

D．25

7．为计算

11111

1

23499100

S…，设计了下侧的程序框图，则在空白框中应填

入（）

A．1ii

B．2ii

C．3ii

D．4ii

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴

赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723．在不超

过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A．

1

12

B．

1

14

C．

1

15

D．

1

18

9．在长方体1111

ABCDABCD中，1ABBC，1

3AA，则异面直线1

AD与1

DB所成角的

余弦值为

A．

1

5

B．

5

6

C．

5

5

D．

2

2

10．若()cossinfxxx在[,]aa是减函数，则a的最大值是

A．

π

4

B．

π

2

C．

3π

4

D．π

11．已知()fx是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx．若(1)2f，则

(1)(2)(3)(50)ffff…

A．50

B．0

C．2

D．50

12．已知1

F，2

F是椭圆22

22

1(0)

xy

Cab

ab

：的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在

过A且斜率为

3

6

的直线上，12

PFF△为等腰三角形，12

120FFP，则C的离心率为

A.

2

3

B．

1

2

C．

1

3

D．

1

4

二、填空题

本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．曲线2ln(1)yx在点(0,0)处的切线方程为__________．

14．若,xy满足约束条件

250

230

50

xy

xy

x

















，

，

，

则zxy的最大值为__________．

15．已知sincos1αβ，cossin0αβ，则sin()αβ__________．

16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为

7

8

，SA与圆锥底面所成

角为45°，若SAB△的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．

三、解答题

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题

考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

记n

S为等差数列{}

n

a的前n项和，已知1

7a，3

15S．

（1）求{}

n

a的通项公式；

（2）求n

S，并求n

S的最小值．

18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线

性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1217，，…，）

建立模型①：ˆ

30.413.5yt；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次

为127，，…，）建立模型②：ˆ

9917.5yt．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19．（12分）

设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)kk的直线l与C交于A，B两点，

||8AB．

（1）求l的方程

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

20．（12分）

如图，在三棱锥PABC中，22ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点．

（1）证明：PO平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦

值．

P

A

O

C

B

M

21．（12分）已知函数2()exfxax．

（1）若1a，证明：当0x时，()1fx；

（2）若()fx在(0,)只有一个零点，求a．

（二）选考题

请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

2cos

4sin

xθ

yθ











，

（θ为参数），

直线l的参数方程为

1cos

2sin

xtα

ytα











，

（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

23．（10分）设函数()5|||2|fxxax．

（1）当1a时，求不等式()0fx的解集；

（2）若()1fx，求a的取值范围．

答案解析

一、选择题

1D2A3B4B5A6A7B8C9C10A

11C12D

二、填空题

13．2yx

14．9

15．

1

2



16．402π

三、解答题

17．解：（1）设{}

n

a的公差为d，由题意得

1

3315ad．

由

1

7a得d=2．

所以{}

n

a的通项公式为29

n

an．

（2）由（1）得228(4)16

n

Snnn．

所以当n=4时，

n

S取得最小值，最小值为−16．

18．解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

ˆ

30.413.519226.1y(亿元)．

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

ˆ

9917.59256.5y(亿元)．

（2）利用模型②得到的预测值更可靠．

理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直

线30.413.5yt上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①

不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基

础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附

近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利

用2010年至2016年的数据建立的线性模型ˆ

9917.5yt可以较好地描述2010

年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．

（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①

得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比

较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．

以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．

19．解：（1）由题意得(1,0)F，l的方程为(1)(0)ykxk．

设

1221

(,),(,)AyxyxB，

由

2

(1),

4

ykx

yx











得2222(24)0kxkxk．216160k，故

12

2

2

24

k

x

k

x



．

所以

12

2

2

44

||||||(1)(1)x

k

ABAFBF

k

x



．

由题设知2

2

44

8

k

k



，解得1k（舍去），1k．

因此l的方程为1yx．

（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为2(3)yx，

即5yx．

设所求圆的圆心坐标为

00

(,)xy，则

00

2

2

00

0

5,

(1)

(1)16.

2

yx

yx

x

















解得0

0

3,

2

x

y











或0

0

11,

6.

x

y











因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy．

20．解：（1）因为4APCPAC，O为AC的中点，所以OPAC，且

23OP．

连结OB．因为

2

2

ABBCAC，所以ABC△为等腰直角三角形，

且OBAC，

1

2

2

OBAC．

由222OPOBPB知POOB．

由,OPOBOPAC知PO平面ABC．

（2）如图，以O为坐标原点，OB

uuur

的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系

Oxyz．

由已知得取平面PAC的法向量(2,0,0)OB

uuur

．

设(,2,0)(02)Maaa，则(,4,0)AMaa

uuur

．

设平面PAM的法向量为(,,)xyzn．

由0,0APAM

uuuruuur

nn得

2230

(4)0

yz

axay















，可取(3(4),3,)aaan，

所以

222

23(4)

cos,

23(4)3

a

OB

aaa







uuur

n．

由已知可得

3

|cos,|

2

OB

uuur

n．

所以

222

23|4|3

=

2

23(4)3

a

aaa





．解得4a（舍去），

4

3

a．

所以

83434

(,,)

333

n．

又(0,2,23)PC

uuur

，所以

3

cos,

4

PC

uuur

n．

所以PC与平面PAM所成角的正弦值为

3

4

．

21．解：（1）当

1a

时，

()1fx

等价于2(1)e10xx

．

设函数2()(1)e1xgxx，则22()(21)e(1)exxg'xxxx．

当1x时，()0g'x，所以()gx在(0,)单调递减．

而(0)0g，故当0x时，()0gx，即()1fx．

（2）设函数2()1exhxax．

()fx在(0,)只有一个零点当且仅当()hx在(0,)只有一个零点．

（i）当0a时，()0hx，()hx没有零点；（ii）当0a时，()(2)exh'xaxx．

当(0,2)x时，()0h'x；当(2,)x时，()0h'x．

所以()hx在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增．

故2

4

(2)1

e

a

h是()hx在[0,)的最小值．

①若(2)0h，即

2e

4

a，()hx在(0,)没有零点；

②若(2)0h，即

2e

4

a，()hx在(0,)只有一个零点；

③若(2)0h，即

2e

4

a，由于(0)1h，所以()hx在(0,2)有一个零点，

由（1）知，当0x时，2exx，所以

333

4224

1616161

(4)11110

e(e)(2)aa

aaa

ha

aa

．

故()hx在(2,4)a有一个零点，因此()hx在(0,)有两个零点．

综上，()fx在(0,)只有一个零点时，

2e

4

a．

22．解：（1）曲线

C

的直角坐标方程为

22

1

416

xy



．

当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx，

当cos0时，l的直角坐标方程为1x．

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程

22(13cos)4(2cossin)80tt．①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为1

t

，2

t

，

则12

0tt

．

又由①得12

2

4(2cossin)

13cos

tt











，故2cossin0，于是直线l的斜率tan2k．

23．解：（1）当1a时，

24,1,

()2,12,

26,2.

xx

fxx

xx

















可得()0fx的解集为{|23}xx．

（2）()1fx等价于|||2|4xax．

而|||2||2|xaxa，且当2x时等号成立．故()1fx等价于|2|4a．

由|2|4a可得6a或2a，所以

a

的取值范围是(,6][2,)