力的分解

1/15

力的分解

Ⅰ力的分解的几种典型情况

将一个力按一定条件分解时合力可能能按要求进行分解，即有解，也可能不能按要求进行分解，即无

解。分析是否有解的方法是看代表合力的有向线段与代表分力的有向线段能否按要求构成平行四边形，如

果能构成平行四边形，说明有解；如果它们不能构成平行四边形，说明无解。典型的情况有以下几种：

(1)已知合力和两个分力的方向时，有唯一解，如下图所示。

(2)已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解，如下图所示。

(3)已知合力以及一个分力的大小和另一个分力的方向时，有下面几种可能：如图所示，

①当Fsinθ＜F2＜F时，有两解。

②当F2＝Fsinθ时，有唯一解。

③当F2＜Fsinθ时，无解。

④当F2＞F时，有唯一解。

小试牛刀：

例：如图所示，物体静止在光滑水平面上，力F作用于物体上的O点，现要使物体受到由O指向O′

方向的合力(F与OO′都在同一平面内，与OO′间夹角为θ)。那么，必须同时再加一个力，这个力的最小值()

2/15

A．FcosθB．Fsinθ

C．FtanθD．Fcotθ

【答案】B

【解析】已知合力F合的方向由O指向O′，但大小不确定，又已知一个分力F的大小和方向，确定另

一个分力(设为Fx)的最小值。根据三角形定则可画出一个任意情况，如图甲所示。从图中可看出，Fx的大

小就是过F的箭头向直线OO′上所引直线的长度，在不考虑合力大小的情况下，欲使Fx最小，应使Fx与

直线OO′垂直，如图乙所示，此时Fx＝Fsinθ。

Ⅱ按实际效果进行分解

1.把一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解。因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多

个(如图所示)，这样分解是没有实际意义的，实际分解时，按力的作用效果可分解为两个确定的分力。

2.按实际效果分解力的一般思路

3.按实际效果分解的几个实例：

实例分析

地面上物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前

进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F

1

和竖

3/15

直向上的力F

2

。F

1

＝Fcosα，F

2

＝Fsinα

质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体

具有沿斜面下滑趋势的分力F

1

；二是使物体压紧斜面的分力F

2

。F

1

＝

mgsinα，F

2

＝mgcosα

质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产

生两个效果：一是使球压紧板的分力F

1

；二是使球压紧斜面的分力F

2

。

F

1

＝mgtanα，F

2

＝

mg

cosα

质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效

果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F

1

；二是使球拉紧悬线的分力F

2

。

F

1

＝mgtanα，F

2

＝

mg

cosα

质量为m的物体被OA、OB绳悬挂于O点，重力产生两个效果：

对OA的拉力F

1

和对OB的拉力F

2

。

F

1

＝mgtanα，F

2

＝

mg

cosα

质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉

伸AB的分力F

1

；二是压缩BC的分力F

2

。F

1

＝mgtanα，F

2

＝

mg

cosα

小试牛刀：

例：画出图甲图中重力的效果方向，乙、丙两图中绳子OC拉力的效果方向。

【答案】见解析图

【解析】甲中两效果为垂直两斜面向下形变，乙图中OA中沿AO拉长方向，OB中沿BO拉长方向，

丙图中OA中沿AO拉长方向，BO中沿OB压缩方向，如图。

4/15

力的分解

1．定义：已知一个力求它的分力的过程。

2．与力的合成的关系：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则。

3．分解法则：把一个已知力F作为平行四边形的对角线，与力F共点的平行四边形的两个邻边，就表

示力F的两个分力F

1

和F

2

。如图所示。

4．分解依据：依据平行四边形定则，如果没有限制，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分

力。实际问题中，应把力向实际作用效果方向来分解。

Ⅲ力的正交分解

1.概念：将力沿着两个选定的相互垂直的坐标轴进行分解，再在这两个坐标轴上求合力的方法，叫力的

正交分解法。

2．优点：正交分解法是在平行四边形定则的基础上发展起来的，其目的是将矢量运算转化为代数运算。

其优点有以下两点：

(1)可借助数学中的直角坐标系对力进行描述。

(2)分解时只需熟知三角函数关系，几何关系简单，容易求解。

3．适用情况：常用于三个或三个以上的力的合成。

4．坐标轴的选取：建立坐标轴时，一般选共点力作用线的交点作为坐标轴的原点，并尽可能使较多的

力落在坐标轴上，这样可以减少需要分解的力的数目，简化运算过程。

5．利用正交分解法求合力的一般步骤

(1)建立直角坐标系；

(2)将各力沿x、y两坐标轴依次分解为相互垂直的两个分力。

(3)分别求出x、y两坐标轴上各分力的合力F

x

、F

y

；

5/15

(4)求出F

x

、F

y

的合力F，其大小为：F＝F2

x

＋F2

y

，方向与x轴的夹角为φ，tanφ＝

F

y

F

x

。

【特别提醒】

正交分解法不一定按力的实际效果来分解，而是根据需要为了简化问题在两个相互垂直的方向上分解，

它是处理力的合成和分解的复杂问题的一种简便方法。

小试牛刀：

例：如图所示，把光滑斜面上物体的重力mg分解为F

1

、F

2

两个力，下列说法不正确的是()

A．F

1

是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F

2

是物体对斜面的压力

B．物体只受到mg、F

N

两个力作用

C．物体受到的合力为mgsinθ，方向沿斜面向下

D．力F

N

、F

1

、F

2

三个力的作用效果和mg与F

N

两个力的作用效果相同

【答案】A

【解析】F1、F2两个力是mg的两个分力，其作用效果与重力mg等效，F1的作用是使物体沿斜面下

滑，F2的作用是使物体压紧斜面。物体只受重力mg和斜面对物体的支持力FN的作用。综上所述，选项B、

C、D正确。

A

组基础篇

1

．已知一个力的大小是

30N

，将此力分解为两个分力，这两个力的大小可能为（）

A

．

10N

、

10NB

．

20N

、

40NC

．

200N

、

200ND

．

700N

、

720N

【答案】

BCD

【解析】

A

．

10N

和

10N

的合力范围是

0N≤F≤20N

，所以不可能是大小为

30N

分解得两个力，故

A

错误；

B

．

20N

、

40N

的合力范围是

20N≤F≤60N

，所以可能是大小为

30N

分解得两个力，故

B

正确；

C

．

200N

、

200N

的合力范围是

0N≤F≤400N

，所以可能是大小为

30N

分解得两个力，故

C

正确；

D

．

700N

、

720N

的合力范围是

20N≤F≤1420N

，所以可能是大小为

30N

分解得两个力，故

D

正确。

故选

BCD

。

6/15

2

．将一个竖直向上的

240N

的力分解为两个分力，一个分力方向水平向右且大小等于

320N

。下列说法

正确的是（取

sin37°=0.6

，

cos37°=0.8

）（）

A

．另一个分力的大小为

400N

B

．另一个分力的大小为

877N

C

．另一个分力的方向为斜向左上方且与水平方向成

37°

D

．另一个分力的方向为斜向右下方且与水平方向成

53°

【答案】

AC

【解析】

画出合力F与分力

1

F

的矢量图，如图所示

合力与分力之间遵循平行四边形定则，由图可知另一个分力为

2222

21

320240N400NFFF

该分力与水平方向的夹角为，则

2

sin0.6

F

F



解得

37

故

AC

正确，

BD

错误。

故选

AC

。

3

、如图所示，两个完全相同的小球在挡板作用下静止在倾角为

θ

的光滑斜面上，下列关于小球受力的

说法正确的是（）

A

．小球的重力在乙种情况下不产生对斜面的作用效果

B

．小球均受重力、斜面的弹力、挡板的弹力

7/15

C

．小球受到挡板的作用力的大小、方向均相同

D

．撤去挡板，小球所受合力方向将沿斜面向下

【答案】

BD

【解析】

根据物体处于静止状态的受力特点知，甲、乙两球受挡板作用力的方向分别为水平向右和沿斜面向上，

重力按实际作用效果可分解为使物体压紧斜面的力和使物体压紧挡板的力。撤去挡板后，小球受力的大小、

方向也随之发生变化，甲、乙两种情况下小球所受的合力大小均为

mgsinθ

，方向沿斜面向下，故

BD

正确，

AC

错误

.

4

．如图所示，在托盘测力计上放一个重力为

20N

的斜木块，斜木块的斜面倾角为

37°

，现将一个重力

为

10N

的小铁块无摩擦地从斜面上滑下，在小铁块下滑的过程中，

g

＝

10m/s2，测力计的示数为

()

A

．

30NB

．

26.4NC

．

20ND

．

23.6N

【答案】

B

【解析】

选木块为研究对象，受力分析如图，

由于木块在垂直斜面方向受力平衡，可以解出木块所受的支持力为：

F

N

=Gcos37°

再选择斜面为研究对象，受力如图，根据牛顿第三定律，木块对斜面的压力

F

N2大小等于

F

N，把

F

N2

分解的

y

轴方向上，有：

F

y

=F

N2

cos37°

8/15

所以解得：

F

y

=Gcos237°=6.4N

因此小铁块下滑的过程中，测力计的示数为：

20N+6.4N=26.4N

；

A

．

30N

，与结论不相符，选项

A

错误；

B

．

26.4N

，与结论相符，选项

B

正确；

C

．

20N

，与结论不相符，选项

C

错误；

D

．

23.6N

，与结论不相符，选项

D

错误；

故选

B

。

5

．将一个竖直向上的

240N

的力分解为两个分力，一个分力方向水平向右且大小等于

320N

。下列说法

正确的是（取

sin37°=0.6

，

cos37°=0.8

）（）

A

．另一个分力的大小为

400N

B

．另一个分力的大小为

877N

C

．另一个分力的方向为斜向左上方且与水平方向成

37°

D

．另一个分力的方向为斜向右下方且与水平方向成

53°

【答案】

AC

【解析】

画出合力F与分力

1

F的矢量图，如图所示

合力与分力之间遵循平行四边形定则，由图可知另一个分力为

2222

21

320240N400NFFF

该分力与水平方向的夹角为，则

2

sin0.6

F

F



解得

37

故

AC

正确，

BD

错误。

9/15

故选

AC

。

6

．如图所示，质量均为

M

的

A

、

B

两滑块放在粗糙水平面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用

光滑铰链连接，在两杆铰合处悬挂一质量为

m

的重物

C

，整个装置处于静止状态，设杆与水平面间的夹角

为

θ

．下列说法正确的是（）

A

．当

m

一定时，

θ

越小，滑块对地面的压力越大

B

．当

m

一定时，

θ

越大，轻杆受力越小

C

．当

θ

一定时，

M

越大，滑块与地面间的摩擦力越大

D

．当

θ

一定时，

M

越大，可悬挂重物

C

的质量

m

越大

【答案】

BD

【解析】对

ABC

整体分析可知，对地压力为：

F

N

=

（

2M+m

）

g

；与

θ

无关；故

A

错误；将

C

的重力

按照作用效果分解，如图所示：

根据平行四边形定则，有：；故

m

一定时，

θ

越大，轻杆受力越小，故

B

正确；对

A

分析，受重力、杆的推力、支持力和向右的静摩擦力，根据平衡条件，有：，

与

M

无关，故

C

错误；当

θ

一定时，

M

越大，

M

与地面间的最大静摩擦力越大；则可悬挂重物

C

的质量

m

越大；故

D

正确；故选

BD

．

7

．图示为三种形式的吊车的示意图，

OA

为杆，重力不计，

AB

为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆

OA

受力的关系是

()

A

．

abc

B

．acbC

．abcD

．abc

10/15

【答案】

C

【解析】

分别对三种形式的结点进行受力分析，设杆子的作用力分别为

F

1、

F

2、

F

3，各图中

T=mg

．

在图（

a

）中，

1

2cos303Fmgmg．

在图（

b

）中，

2

tan603Fmgmg．

在图（

c

）中，

3

3

cos30

2

Fmgmg．可知

a=b

＞

c

，故

C

正确，

ABD

错误。

故选

C

．

B组提高篇

1

．明朝谢肇淛《五杂组》中记载：

“

明姑苏虎丘寺庙倾侧，议欲正之，非万缗不可。

”

一游僧见之，曰：

“

无烦也，我能正之。

”

游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木

楔为等腰三角形，木楔的顶角为

θ

，现在木楔背上加一力

F

，方向如图所示，木楔两侧产生推力

F

N，则（）

A

．若

F

一定，

θ

大时

F

N大

B

．若

F

一定，

θ

小时

F

N大

C

．若

F

一定，无论

θ

大小如何

F

N都保持不变

D

．若

θ

一定，无论

F

大小如何

F

N都保持不变

【答案】

B

【解析】

对木楔受力分析如图

11/15

由图可知

N

2

sin

2

F

F





若

F

一定，

θ

大时

sin

2



变大，则

F

N变小；若

F

一定，

θ

小时

sin

2



变小，则

F

N变大；若

θ

一定，

F

大

时

2

F

变大，则

F

N变大；故

B

正确

ACD

错误。

故选

B

。

2

．力的合成和分解在生产和生活中有着重要的作用，下列说法中正确的是

()

A

．高大的桥要建很长的引桥，减小斜面的倾角，是为了减小汽车重力沿桥面向下的分力，达到行车方

便和安全的目的

B

．幼儿园的滑梯很陡，是为了增加小孩滑梯时受到的重力，使小孩下滑得更快

C

．运动员做引体向上

(

缓慢上升

)

动作时，双臂张开很大的角度时要比双臂竖直平行时觉得手臂用力大，

是因为张开时手臂产生的合力增大的缘故

D

．帆船能逆风行驶，说明风力一定能分解出沿船前进方向的分力

【答案】

A

【解析】

A

．高大的桥要建很长的引桥，减小斜面的倾角，根据力的分解可知，汽车重力沿桥面向下的分力

（

sinmg

）减小，达到行车方便和安全的目的，故

A

正确；

B

．幼儿园的滑梯很陡，是为了增加小孩下滑的分力，但其重力不变，故

B

错误；

C

．双臂张开很大的角度时与双臂竖直平行时比较，合力不变，随着夹角越大，其分力越大，故

C

错误；

D

．帆船能逆风行驶，根据力的平行四边形定则，结合力的分解，可知风力不可能分解出向前的分力，

故

D

错误．

故选

A

．

12/15

3

．用斧头劈木柴的情景如图甲所示。劈的纵截面是一个等腰三角形，劈背的宽度为

d

，劈的侧面长为

l

，当在劈背加一个力

F

时的受力示意图如乙所示，若不计斧头的重力，则劈的侧面推压木柴的力

F

1为（）

A

．

l

F

d

B

．

d

F

l

C

．

2

l

F

d

D

．

2

d

F

l

【答案】

A

【解析】

根据对称性，两分力

F

1、

F

2大小相等，这样，以

F

1、

F

2为邻边的平行四边形就是一个菱形，因为菱形

的对角线互相垂直且平分，所以根据三角形相似

1

22

dF

lF



解得

12

l

FFF

d



故

A

正确，

BCD

错误。

故选

A

。

4

．已知共点力

1

F和

2

F的合力为100N，分力

1

F的方向与合力F的方向成30角，分力

2

F的大小为

80N

，下列说法中正确的是（）

A

．分力

2

F

的方向是唯一的

B

．分力

2

F

有两个可能的方向

C

．分力

1

F可取任意大小

D

．分力

1

F的大小是唯一的

【答案】

B

【解析】

已知一个分力有确定的方向，与

F

成

30°

夹角，知另一个分力的最小值为

Fsin30°=50N

13/15

而另一个分力大小

80N

，即大于

50N

小于

100N

，所以分解的组数有两组解，如图。故

B

正确，

ACD

错误；

故选

B

。

5

．下列对生活中各物理现象的分析，不正确

．．．

的是（）

A

．图甲：幼儿园的滑梯很陡，为的是增加小孩滑滑梯时受到的重力，从而滑得更快

B

．图乙：放在水平桌面上的书本对桌面压力，是因为书本发生形变而产生的

C

．图丙：轮胎表面都有花纹状的沟槽，是为了雨天能把轮胎与地面间的水排出，保持两者的良好接触

D

．图丁：高大的桥要造很长的引桥，是为了减小汽车重力沿斜面向下的分力，行驶更方便更安全

【答案】

A

【解析】

A

．幼儿园的滑梯很陡，是为了增加小孩下滑的分力，使小孩下滑得更快，而其重力不变，故

A

错误，

符合题意；

B

．放在水平桌面上的书本对桌面压力，是因为书本发生形变而产生的；故

B

正确，不符合题意；

C

．轮胎表面都有花纹状的沟槽，雨天，沟槽能把轮胎与地面间的水排出，保持两者的良好接触以产生

足够的摩擦力，故

C

正确，不符合题意；

D

．高大的桥要建很长的引桥，减小斜面的倾角，根据力的平行四边形定则可知，汽车重力沿桥面向下

的分力减小，达到行车方便和安全的目的，故

D

正确，不符合题意；

故选

A

。

6

．

F=10N

，若把

F

分解为两个分力，则下列哪组力不可能是

F

的两个分力（）

A

．

10N

，

10NB

．

20N

，

20N

C

．

3N

，

6ND

．

5N

，

6N

14/15

【答案】

C

【解析】

两个力的最大值是两个力的和，最小值为两个力的差；

A

．10N，10N的合力最大值是20N，合力最小值是0N，则

A

可能是

F=10N

的两个分力，

A

不符合

题意；

B

．20N，20N的合力最大值是40N，合力最小值是0，则

B

可能是

F=10N

的两个分力，

B

不符合

题意；

C

．3N，

6N

的合力最大值是9N，合力最小值是3N，其合力不可能为10N，故选项

C

符合题意；

D

．

5N

，

6N

的合力最大值是11N，合力最小值是

1N

，则

C

可能是

F=10N

的两个分力，

D

不符合题

意。

故选

C

。

7

．已知力

F

的一个分力

F

1跟

F

成

30°

角，大小未知，另一个分力

F

2的大小为

3

3

F，方向未知，则

1

F

的大小可能是（）

A

．

3

3

FB

．

3

2

FC

．

23

3

FD

．3F

【答案】

AC

【解析】

因一个分力

F

1跟

F

成

30°

角，

F

2的大小为

3

3

F，

F

2大于

2

F

，因此有两种分解结果；

根据平行四边形定则得，如图，

15/15

通过几何关系得，

1

23

3

FF或

1

3

3

FF．

故选

AC

．