导数练习题

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一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。)

1．已知某函数的导数为y′＝12(x－1)，则这个函数可能是()

A．y＝ln1－xB．y＝ln11－x

C．y＝ln(1－x)D．y＝ln11－x

2．(2009•江西)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋

1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()

A．4B．－14C．2D．－12

3．(2009•辽宁)曲线y＝xx－2在点(1，－1)处的切线方程为()

A．y＝x－2B．y＝－3x＋2

C．y＝2x－3D．y＝－2x＋1

4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为()

A.94e2B．2e2C．e2D.e22

5．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()

6．设y＝8x2－lnx，则此函数在区间(0，14)和(12，1)内分别()

A．单调递增，单调递减

B．单调递增，单调递增

C．单调递减，单调递增

D．单调递减，单调递减

7．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是()

①f(x)＞0的解集是{x|0＜x＜2}；

②f(－2)是极小值，f(2)是极大值；

③f(x)没有最小值，也没有最大值．

A．①③B．①②③C．②D．①②

8．已知f(x)＝－x3－x，x∈[m，n]，且f(m)•f(n)＜0，则方程f(x)＝0在区间[m，n]上()

A．至少有三个实根B．至少有两个实根C．有且只有一个实根D．无实根

9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()

A．－1＜a＜2B．－3＜a＜6C．a＜－3或a＞6D．a＜－1或a＞2

10．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，其高应为()

A.2033cmB．100cmC．20cmD.203cm

11．(2010•河南省实验中学)若函数f(x)＝(2－m)xx2＋m的图象如图所示，则m的范围

为()

A．(－∞，－1)B．(－1,2)C．(1,2)D．(0,2)

12．定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1.f′(x)为f(x)的导函数，已知函数y＝f′(x)的图象如图

所示．若两正数a，b满足f(2a＋b)＜1，则b＋2a＋2的取值范围是()

A．(13，12)B．(－∞，12)∪(3，＋∞)C．(12，3)D．(－∞，－3)二、填

空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)

13．(2009•武汉模拟)函数y＝xln(－x)－1的单调减区间是________．

14．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－

m＝________.

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15．(2009•南京一调)已知函数f(x)＝ax－x4，x∈[12，1]，A、B是其图象上不同的两点．若

直线AB的斜率k总满足12≤k≤4，则实数a的值是________．

16．(2009•淮北模拟)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)•(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大

值，则a的取值范围是________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)

17．(本小题满分10分)设a为大于0的常数，函数f(x)＝x－ln(x＋a)．

(1)当a＝34，求函数f(x)的极大值和极小值；

(2)若使函数f(x)为增函数，求a的取值范围．

18．(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)＝lnxx.

(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝1e处的切线方程；

(2)求y＝f(x)的最大值；

(3)设实数a＞0，求函数F(x)＝af(x)在[a,2a]上的最小值．

19．(本小题满分12分)设a＞0，函数f(x)＝x－ax2＋1＋a.

(1)若f(x)在区间(0,1]上是增函数，求a的取值范围；

(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值．

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1＋ln(x＋1)x.(x＞0)

(1)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数还是减函数？证明你的结论；

(2)若当x＞0时，f(x)＞kx＋1恒成立，求正整数k的最大值．

21．(2009•天津)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈

R.

(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；

(2)当a≠23时，求函数f(x)的单调区间与极值．

命题意图：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极

值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．

22．(2010•保定市高三摸底考试)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnxx＋ax－1(a∈R)

(1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)≤0在区间(0，e2]上恒成立，求实数a的取值范围．

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答案：

一、1答案：A

解析：对选项求导．(ln1－x)′＝11－x(1－x)′＝11－x•12(1－x)－12•(－1)＝12(x－1).

2答案：A

解析：f′(x)＝g′(x)＋2x.

∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，

∴g′(1)＝2，∴f′(1)＝g′(1)＋2×1＝2＋2＝4，

∴y＝f(x)在点(1，f(1))处切线斜率为4.

3答案：D

解析：y′＝(xx－2)′＝－2(x－2)2，

∴k＝y′|x＝1＝－2.

l：y＋1＝－2(x－1)，则y＝－2x＋1.

4答案：D

解析：∵y′＝ex，∴y＝ex在点(2，e2)的导数为e2.

∴y＝ex在点(2，e2)的切线方程为y＝e2x－e2.

y＝e2x－e2与x轴、y轴的交点分别为(1,0)和(0，－e2)，∴S＝12×1×e2＝e22.

5答案：D

解析：由题意知函数f(x)，g(x)都为增函数，当x＜x0时，由图象知f′(x)＞g′(x)，即

f(x)的增长速度大于g(x)的增长速度；当x＞x0时，f′(x)＜g′(x)，g(x)的增长速度大于

f(x)的增长速度，数形结合，

6答案：C

解析：y′＝16x－1x.

当x∈(0，14)时，y′＜0，y＝8x2－lnx为减函数；

当x∈(12，1)时，y′＞0，y＝8x2－lnx为增函数．

7答案：D

解析：由f(x)＞0⇒(2x－x2)ex＞0⇒2x－x2＞0⇒0＜x＜2，故①正确；

f′(x)＝ex(2－x2)，由f′(x)＝0得x＝±2，

由f′(x)＜0得x＞2或x＜－2，

由f′(x)＞0得－2＜x＜2，

∴f(x)的单调减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．

单调增区间为(－2，2)．

∴f(x)的极大值为f(2)，极小值为f(－2)，故②正确．

∵x＜－2时，f(x)＜0恒成立．

∴f(x)无最小值，但有最大值f(2)．

∴③不正确．

8答案：C

9答案：C

解析：由于f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1，有f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)．

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若f(x)有极大值和极小值，

则Δ＝4a2－12(a＋6)＞0，

从而有a＞6或a＜－3

10答案：A

解析：设高为h，则半径为202－h2，

体积V＝13πr2h＝13π(202－h2)•h

＝－13πh3＋2023πh(0＜h＜20)，

V′＝－πh2＋2023π.

令V′＝0，得h＝2033或h＝－2033(舍去)，

即当h＝2033时，V为最大值．

11答案：C

解析：f′(x)＝(x2－m)(m－2)(x2＋m)2＝(x－m)(x＋m)(m－2)(x2＋m)2

由图知m－2＜0，且m＞0，故0＜m＜2，

又m＞1，∴m＞1，因此1＜m＜2

12答案：C

解析：由y＝f′(x)的图象知，当x＜0时，f′(x)＜0，函数f(x)是减函数；当x＞0时，f′(x)

＞0，函数f(x)是增函数；两正数a，b满足f(2a＋b)＜1，f(4)＝1，点(a，b)的区域为

图中的阴影部分(不包括边界)，b＋2a＋2的意义为阴影部分的点与点A(－2，－2)连线

的斜率，直线AB、AC的斜率分别为12、3，则b＋2a＋2的取值范围是(12，3)

二、13答案：(－1e，0)

14答案：32

解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，

列表得：

x－3(－3，－2)－2(－2,2)2(2,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)17

极值24

极值－8

－1

可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32.

15答案：92

解析：f′(x)＝a－4x3，x∈[12，1]，由题意得12≤a－4x3≤4，即4x3＋12≤a≤4x3＋4在

x∈[12，1]上恒成立，求得92≤a≤92，则实数a的值是92.

16答案：(－1,0)

解析：结合二次函数图象知，当a＞0或a＜－1时，在x＝a处取得极小值，

当－1＜a＜0时，在x＝a处取得极大值，故a∈(－1,0)．

三、17解析：(1)当a＝34时，f′(x)＝12x－1x＋34，

令f′(x)＝0，则x－2x＋34＝0，∴x＝94或14，

当x∈[0，14]时，f′(x)>0，当x∈(14，94)，f′(x)<0，

当x∈(94，＋∞)时，f′(x)>0，

∴f(x)极大值＝f(14)＝12，f(x)极小值＝f(94)＝32－ln3.

(2)f′(x)＝12x－1x＋a，若f(x)为增函数，则当x∈[0，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，

∴12x≥1x＋a，即x＋a≥2x，

即a≥2x－x＝－(x－1)2＋1恒成立，

∴a≥1.

18解析：(1)∵f(x)定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝1－lnxx2

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∵f(1e)＝－e，又∵k＝f′(1e)＝2e2，

∴函数y＝f(x)的在x＝1e处的切线方程为：

y＋e＝2e2(x－1e)，即y＝2e2x－3e.

(2)令f′(x)＝0得x＝e.

∵当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，e)上为增函数，

当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，则在(e，＋∞)上为减函数，

∴fmax(x)＝f(e)＝1e.

(3)∵a＞0，由(2)知：

F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．

∴F(x)在[a,2a]上的最小值f(x)min＝min{F(a)，F(2a)}，

∵F(a)－F(2a)＝12lna2，

∴当0＜a≤2时，F(a)－F(2a)≤0，fmin(x)＝F(a)＝lna.

当a＞2时，F(a)－F(2a)＞0，f(x)min＝f(2a)＝12ln2a.

19解析：(1)对函数f(x)求导数，得f′(x)＝1－axx2＋1.

要使f(x)在区间(0,1]上是增函数，又要f′(x)＝1－axx2＋1≥0在(0,1]上恒成立，

即a≤x2＋1x＝1＋1x2在(0,1]上恒成立．

因为1＋1x2在(0,1]上单调递减，

所以1＋1x2在(0,1]上的最小值是2.

注意到a＞0，所以a的取值范围是(0，2]．

(2)①当0＜a≤2时，由(1)知，f(x)在(0,1]上是增函数，

此时f(x)在区间(0,1]上的最大值是f(1)＝1＋(1－2)a.

②当a＞2时，令f′(x)＝1－axx2＋1＝0，

解得x＝1a2－1∈(0,1)．

因为当0＜x＜1a2－1时，f′(x)＞0；

当1a2－1＜x＜1时，f′(x)＜0，

所以f(x)在(0，1a2－1)上单调递增，在(1a2－1，1)上单调递减．

此时f(x)在区间(0,1]上的最大值是f(1a2－1)＝a－a2－1.

综上所述，当0＜a≤2时，f(x)在区间(0,1]上的最大值是1＋(1－2)a；

当a＞2时，f(x)在区间(0,1]上的最大值是a－a2－1.

20解析：(1)f′(x)＝1x2[xx＋1－1－ln(x＋1)]＝－1x2[1x＋1＋ln(x＋1)]．

由x＞0，x2＞0，1x＋1＞0，ln(x＋1)＞0，得f′(x)＜0.

因此函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．

(2)解法一：当x＞0时，f(x)＞kx＋1恒成立，令x＝1有k＜2[1＋ln2]．

又k为正整数．则k的最大值不大于3.

下面证明当k＝3时，f(x)＞kx＋1(x＞0)恒成立．

即证明x＞0时(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x＞0恒成立．

令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x，

则g′(x)＝ln(x＋1)－1.

当x＞e－1时，g′(x)＞0；当0＜x＜e－1时，g′(x)＜0.

∴当x＝e－1时，g(x)取得最小值g(e－1)＝3－e＞0.

∴当x＞0时，(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x＞0恒成立．

因此正整数k的最大值为3.

解法二：当x＞0时，f(x)＞kx＋1恒成立．

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即h(x)＝(x＋1)[1＋ln(x＋1)]x＞k对x＞0恒成立．

即h(x)(x＞0)的最小值大于k.

由h′(x)＝x－1－ln(x＋1)x2，记Φ(x)＝x－1－ln(x＋1)．(x＞0)

则Φ′(x)＝xx＋1＞0，

∴Φ(x)在(0，＋∞)上连续递增．

又Φ(2)＝1－ln3＜0，Φ(3)＝2－2ln2＞0，

∴Φ(x)＝0存在惟一实根a，且满足：a∈(2,3)，a＝1＋ln(a＋1)，

由x＞a时，Φ(x)＞0，h′(x)＞0；0＜x＜a时，Φ(x)＜0，h′(x)＜0知：

h(x)(x＞0)的最小值为h(a)＝(a＋1)[1＋ln(a＋1)]a＝a＋1∈(3,4)．

因此正整数k的最大值为3.

21解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.

(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.

令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2.

由a≠23知，－2a≠a－2.

以下分两种情况讨论．

①若a＞23，则－2a＜a－2，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

x(－∞－2a)，－2a(－2a，a－2)a－2(a－2，＋∞)

f′(x)＋0－0＋

f(x)

极大值

极小值

所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)内是增函数，

在(－2a，a－2)内是减函数．

函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.

函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.

②若a＜23，则－2a＞a－2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

x(－∞，a－2)a－2(a－2，－2a)－2a(－2a，＋∞)

f′(x)＋0－0＋

f(x)

极大值

极小值

所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．

函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.

函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.

22解析：(1)因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1－(lnx＋a)x2，

∴k＝f′(1)＝1－a，

又f(1)＝a－1，即切点坐标为(1，a－1)，

所以，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为：

y－(a－1)＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x＋2(a－1)．

(2)结合(1)，令f′(x)＝0得x＝e1－a，由对数函数的单调性知：

当x∈(0，e1－a)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；

当x∈(e1－a，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．

(ⅰ)当e1－a＜e2时，a＞－1时，f(x)max＝f(e1－a)＝ea－1－1，

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令ea－1－1≤0，解得a≤1，即－1＜a≤1，

(ⅱ)当e1－a≥e2即a≤－1时，f(x)在(0，e2]上是增函数，

∴f(x)在(0，e2]上的最大值为f(e2)＝2＋ae2－1，

令2＋ae2－1≤0，解得a≤e2－2，即a≤－1，

综上可知，实数a的取值范围是a≤1.