函数与极限

第一章函数与极限

（A）

一、填空题

1、设

xxxflglg2)(

，其定义域为。

2、设)1ln()(xxf，其定义域为。

3、设)3arcsin()(xxf，其定义域为。

4、设)(xf的定义域是[0，1]，则)(sinxf的定义域为。

5、设)(xfy的定义域是[0，2]，则)(2xfy的定义域为。

6、4

3

2

lim

2

3







x

kxx

x

，则k=。

7、函数

x

x

y

sin

有间断点，其中为其可去间断点。

8、若当0x时，

x

x

xf

2sin

)(，且0)(xxf在处连续，则)0(f。

9、











)

21

(lim

222nn

n

n

n

n

n

n

。

10、函数)(xf在

0

x处连续是)(xf在

0

x连续的条件。

11、







35

23

52

)23)(1(

lim

xx

xxx

x

。

12、

3)

2

1(lim



e

n

kn

n

，则k=。

13、函数

23

1

2

2







xx

x

y的间断点是。

14、当x时，

x

1

是比

13xx

的无穷小。

15、当0x时，无穷小

x11

与x相比较是无穷小。

16、函数xey

1



在x=0处是第类间断点。

17、设

1

13







x

x

y，则x=1为y的间断点。

18、已知3

3

















f，则当a为时，函数xxaxf3sin

3

1

sin)(在

3



x处连续。

19、设

















0)1(

0

2

sin

)(

1

xax

x

x

x

xf

x

若)(lim

0

xf

x

存在，则a=。

20、曲线2

sin

2







x

xx

y水平渐近线方程是。

21、

1

1

4)(

2

2





x

xxf的连续区间为。

22、设













0,cos

0,

)(

xx

xax

xf在0x连续，则常数

a=。

二、计算题

1、求下列函数定义域

（1）

21

1

x

y



；（2）xysin；

（3）xey

1



；

2、函数)(xf和)(xg是否相同？为什么？

（1）

xxgxxfln2)(,ln)(2；

（2）2)(,)(xxgxxf；

（3）

xxxgxf22tanc)(,1)(；

3、判定函数的奇偶性

（1）

)1(22xxy；（2）323xxy；

（3）)1)(1(xxxy；

4、求由所给函数构成的复合函数

（1）22,sin,xvvuuy；

（2）21,xuuy；

5、计算下列极限

（1）)

2

1

4

1

2

1

1(lim

n

n





；（2）

2

)1(321

lim

n

n

n







；

（3）

3

5

lim

2

2



x

x

x

；（4）

1

12

lim

2

2

1



x

xx

x

；

（5）)

1

2)(

1

1(lim

2x

xx





；（6）

2

23

2)2(

2

lim





x

xx

x

；

（7）

x

x

x

1

sinlim2

0

；（8）

xx

x

x



13

1

lim

2

1

；

（9）

)1(lim2xxx

x





；

6、计算下列极限

（1）

x

wx

x

sin

lim

0

；（2）

x

x

x5sin

2sin

lim

0

；

（3）xx

x

cotlim

0

；（4）x

xx

x

)

1

(lim



；

（5）1)

1

1

(lim





x

xx

x

；（6）x

x

x

1

0

)1(lim



；

7、比较无穷小的阶

（1）32220xxxxx与，时；

（2）)1(

2

1

112xxx与，时；

8、利用等价无穷小性质求极限

（1）

3

0sin

sintan

lim

x

xx

x





；（2）),(

)(sin

)sin(

lim

0

是正整数mn

x

x

m

n

x

；

9、讨论函数的连续性

。在













1

1,3

1,1

)(x

xx

xx

xf

10、利用函数的连续性求极限

（1）)2cos2ln(lim

6

x

x





；（2）

)(lim22xxxx

x





；

（3）

x

x

x

sin

lnlim

0

；（4）x

xx

2)

1

1(lim



；

（5）)

1

1

(lim,)1(lim)(

1





t

f

n

x

xf

t

n

n

求设；

（6）)

1

1

ln(lim





x

x

x

x

；

11、设函数













0,

0,

)(

xxa

xe

xf

x

应当怎样选择a，使得)()(，成为在xf内的连续函数。

12、证明方程135xx至少有一个根介于1和2之间。

（B）

1、设)(xf的定义域是[0，1]，求下列函数定义域

（1）)(xefy（2）)(lnxfy

2、设

























0,

0,0

)(

0,

,0

)(

2xx

x

xg

xx

ox

xf

求)]([,)]([,)]([,)]([xfgxgfxggxff

3、利用极限准则证明：

（1）

1

1

1lim

nn

（2）1]

1

[lim

0



x

x

x

；

（3）数列,222,22,2的极限存在；

4、试比较当0x时，无穷小232xx与

x

的阶。

5、求极限

（1）

)1(lim2xxx

x





；（2）1)

12

32

(lim





x

xx

x

；

（3）

3

0

sintan

lim

x

xx

x





；

（4）

)0,0,0()

3

(lim

1

0







cba

cba

x

xxx

x

；

6、设

















0,

0,

1

sin

)(

2xxa

x

x

x

xf要使),()(在xf内连续，

应当怎样选择数a？

7、设

















01,)1ln(

0,

)(1

1

xx

xe

xfx

求)(xf的间断点，并说明间断点类型。

（C）

1、已知xxfexfx1)]([,)(2，且0)(x，求)(x并写出它的定义域。

2、求下列极限：

（1）、]lncos)1ln([coslimxx

x





；（2）、

x

xxx

x

cossin1

lim

0





；

（3）、求

xx

x

x

2

sin

35

53

lim

2









；（4）、已知9)(lim







x

xax

ax

，求常数

a

。

（5）、设)(xf在闭区间],[ba上连续，且bbfaaf)(,)(，

证明：在开区间),(ba内至少存在一点，使)(f。

第一章函数与极限

习题答案

（A）

一、填空题

（1）]2,1(（2）),1(（3）[2，4]

（4）zkkxkx,)12(2（5）

]2,2[

（6）-3（7）0;,xzkkx（8）2（9）1

（10）充分（11）

2

1

（12）

2

3

（13）x=1,x=2（14）高阶

（15）同阶（16）二（17）可去（18）2（19）-ln2

（20）y=-2（21）]2,1(]1,2[（22）1

二、计算题

1、（1）),1()1,1()1,(

（2）),0[（3）),0()0,(

2、（1）不同，定义域不同（2）不同，定义域、函数关系不同

（3）不同，定义域、函数关系不同

3、（1）偶函数（2）非奇非偶函数（3）奇函数

4、（1）22)(sinxy（2）]1[2xy（3）][sin2xey

5、（1）[2]（2）]

2

1

[（3）-9（4）0（5）2（6）

（7）0（8）22（9）

2

1

6、（1）w（2）

5

2

（3）1（4）

1e（5）

2e（6）

1e

7、（1）的低阶无穷小是3222xxxx（2）是同阶无穷小

8、（1）

2

1

（2）

















nm

nm

nm

,

,1

,0

9、不连续

10、（1）0（2）1（3）0（4）

2e（5）0（6）-2

11、a=1

（B）

1、（1）提示：由10xe解得：]0,(x

（2）提示：由1ln0x解得：],1[ex

2、提示：分成ox和0x两段求。)()]([xfxff，0)]([xgg，

0)]([xgf,)()]([xgxfg

4、（1）提示：

nn

1

1

1

11

（2）提示：

x

x

x

x

x

x

1

]

1

[)1

1

(

（3）提示：用数学归纳法证明：222

n

a

5、提示：

xxx

xxxx1312232









令tx12（同阶）

6、（1）提示：乘以xx12

；

2

1

（2）提示：除以x2；

e

（3）提示：用等阶无穷小代换；

2

1

（4）提示：x

xxxcba1

)

3

(



x

cba

cba

xxx

xxx

xxxcba

3

111

111

3

1

3

111

























































（3abc）

7、提示：)0()(lim)(lim

00

fxfxf

xx





（0a）

8、1x是第二类间断点，0x是第一类间断点

（C）

1、解：因为xexfx1)(2，故)1ln()(xx，再由0)1ln(x，

得：11x，即0x。所以：)1ln()(xx，0x。

2、解：原式=

)cossin1(

cossin1

lim

2

0xxxx

xxx

x





=

x

xxx

x

2

0

sinsin

2

1

lim







=)sin(

sin

lim

2

1

0

xx

x

x

x





=0

3、解：因为当

x

时，

xx

2

~

2

sin，

则

xx

x

x

2

sin

35

53

lim

2









=

xx

x

x

2

35

53

lim

2









=

xx

x

x35

106

lim

2

2







=

5

6

4、解：因为：9=

x

xax

ax

)(lim







=

x

x

x

a

x

a





























1

1

lim=

a

a

e

e



=

ae2

所以92ae，3lna

5、证明：令xxfxF)()(，)(xF在ba,上连续，且

0)()(aafaF，0)()(bbfbF。由闭区间上连续函数的零点定理，在开

区间),(ba内至少存在一点),(ba，使0)(F，即)(f。