函数与极限

更新时间:2023-03-06 05:48:10 阅读: 评论:0

鱼肉饺子-运营战略

函数与极限
2023年3月6日发(作者:连云港旅游攻略)

第一章函数与极限

(A)

一、填空题

1、设

xxxflglg2)(

,其定义域为。

2、设)1ln()(xxf,其定义域为。

3、设)3arcsin()(xxf,其定义域为。

4、设)(xf的定义域是[0,1],则)(sinxf的定义域为。

5、设)(xfy的定义域是[0,2],则)(2xfy的定义域为。

6、4

3

2

lim

2

3



x

kxx

x

,则k=。

7、函数

x

x

y

sin

有间断点,其中为其可去间断点。

8、若当0x时,

x

x

xf

2sin

)(,且0)(xxf在处连续,则)0(f。

9、





)

21

(lim

222nn

n

n

n

n

n

n

。

10、函数)(xf在

0

x处连续是)(xf在

0

x连续的条件。

11、





35

23

52

)23)(1(

lim

xx

xxx

x

12、

3)

2

1(lim



e

n

kn

n

,则k=。

13、函数

23

1

2

2



xx

x

y的间断点是。

14、当x时,

x

1

是比

13xx

的无穷小。

15、当0x时,无穷小

x11

与x相比较是无穷小。

16、函数xey

1

在x=0处是第类间断点。

17、设

1

13

x

x

y,则x=1为y的间断点。

18、已知3

3

f,则当a为时,函数xxaxf3sin

3

1

sin)(在

3

x处连续。

19、设



0)1(

0

2

sin

)(

1

xax

x

x

x

xf

x

若)(lim

0

xf

x

存在,则a=。

20、曲线2

sin

2

x

xx

y水平渐近线方程是。

21、

1

1

4)(

2

2



x

xxf的连续区间为。

22、设



0,cos

0,

)(

xx

xax

xf在0x连续,则常数

a=。

二、计算题

1、求下列函数定义域

(1)

21

1

x

y

;(2)xysin;

(3)xey

1

2、函数)(xf和)(xg是否相同?为什么?

(1)

xxgxxfln2)(,ln)(2;

(2)2)(,)(xxgxxf;

(3)

xxxgxf22tanc)(,1)(;

3、判定函数的奇偶性

(1)

)1(22xxy;(2)323xxy;

(3))1)(1(xxxy;

4、求由所给函数构成的复合函数

(1)22,sin,xvvuuy;

(2)21,xuuy;

5、计算下列极限

(1))

2

1

4

1

2

1

1(lim

n

n





;(2)

2

)1(321

lim

n

n

n





(3)

3

5

lim

2

2

x

x

x

;(4)

1

12

lim

2

2

1



x

xx

x

(5))

1

2)(

1

1(lim

2x

xx





;(6)

2

23

2)2(

2

lim

x

xx

x

(7)

x

x

x

1

sinlim2

0

;(8)

xx

x

x

13

1

lim

2

1

(9)

)1(lim2xxx

x





6、计算下列极限

(1)

x

wx

x

sin

lim

0

;(2)

x

x

x5sin

2sin

lim

0

(3)xx

x

cotlim

0

;(4)x

xx

x

)

1

(lim



(5)1)

1

1

(lim



x

xx

x

;(6)x

x

x

1

0

)1(lim

7、比较无穷小的阶

(1)32220xxxxx与,时;

(2))1(

2

1

112xxx与,时;

8、利用等价无穷小性质求极限

(1)

3

0sin

sintan

lim

x

xx

x

;(2)),(

)(sin

)sin(

lim

0

是正整数mn

x

x

m

n

x

9、讨论函数的连续性

。在





1

1,3

1,1

)(x

xx

xx

xf

10、利用函数的连续性求极限

(1))2cos2ln(lim

6

x

x

;(2)

)(lim22xxxx

x





(3)

x

x

x

sin

lnlim

0

;(4)x

xx

2)

1

1(lim



(5))

1

1

(lim,)1(lim)(

1





t

f

n

x

xf

t

n

n

求设;

(6))

1

1

ln(lim

x

x

x

x

11、设函数



0,

0,

)(

xxa

xe

xf

x

应当怎样选择a,使得)()(,成为在xf内的连续函数。

12、证明方程135xx至少有一个根介于1和2之间。

(B)

1、设)(xf的定义域是[0,1],求下列函数定义域

(1))(xefy(2))(lnxfy

2、设



0,

0,0

)(

0,

,0

)(

2xx

x

xg

xx

ox

xf

求)]([,)]([,)]([,)]([xfgxgfxggxff

3、利用极限准则证明:

(1)

1

1

1lim

nn

(2)1]

1

[lim

0

x

x

x

(3)数列,222,22,2的极限存在;

4、试比较当0x时,无穷小232xx与

x

的阶。

5、求极限

(1)

)1(lim2xxx

x





;(2)1)

12

32

(lim



x

xx

x

(3)

3

0

sintan

lim

x

xx

x

(4)

)0,0,0()

3

(lim

1

0





cba

cba

x

xxx

x

6、设



0,

0,

1

sin

)(

2xxa

x

x

x

xf要使),()(在xf内连续,

应当怎样选择数a?

7、设





01,)1ln(

0,

)(1

1

xx

xe

xfx

求)(xf的间断点,并说明间断点类型。

(C)

1、已知xxfexfx1)]([,)(2,且0)(x,求)(x并写出它的定义域。

2、求下列极限:

(1)、]lncos)1ln([coslimxx

x





;(2)、

x

xxx

x

cossin1

lim

0



(3)、求

xx

x

x

2

sin

35

53

lim

2



;(4)、已知9)(lim



x

xax

ax

,求常数

a

(5)、设)(xf在闭区间],[ba上连续,且bbfaaf)(,)(,

证明:在开区间),(ba内至少存在一点,使)(f。

第一章函数与极限

习题答案

(A)

一、填空题

(1)]2,1((2)),1((3)[2,4]

(4)zkkxkx,)12(2(5)

]2,2[

(6)-3(7)0;,xzkkx(8)2(9)1

(10)充分(11)

2

1

(12)

2

3

(13)x=1,x=2(14)高阶

(15)同阶(16)二(17)可去(18)2(19)-ln2

(20)y=-2(21)]2,1(]1,2[(22)1

二、计算题

1、(1)),1()1,1()1,(

(2)),0[(3)),0()0,(

2、(1)不同,定义域不同(2)不同,定义域、函数关系不同

(3)不同,定义域、函数关系不同

3、(1)偶函数(2)非奇非偶函数(3)奇函数

4、(1)22)(sinxy(2)]1[2xy(3)][sin2xey

5、(1)[2](2)]

2

1

[(3)-9(4)0(5)2(6)

(7)0(8)22(9)

2

1

6、(1)w(2)

5

2

(3)1(4)

1e(5)

2e(6)

1e

7、(1)的低阶无穷小是3222xxxx(2)是同阶无穷小

8、(1)

2

1

(2)



nm

nm

nm

,

,1

,0

9、不连续

10、(1)0(2)1(3)0(4)

2e(5)0(6)-2

11、a=1

(B)

1、(1)提示:由10xe解得:]0,(x

(2)提示:由1ln0x解得:],1[ex

2、提示:分成ox和0x两段求。)()]([xfxff,0)]([xgg,

0)]([xgf,)()]([xgxfg

4、(1)提示:

nn

1

1

1

11

(2)提示:

x

x

x

x

x

x

1

]

1

[)1

1

(

(3)提示:用数学归纳法证明:222

n

a

5、提示:

xxx

xxxx1312232



令tx12(同阶)

6、(1)提示:乘以xx12

2

1

(2)提示:除以x2;

e

(3)提示:用等阶无穷小代换;

2

1

(4)提示:x

xxxcba1

)

3

(



x

cba

cba

xxx

xxx

xxxcba

3

111

111

3

1

3

111







(3abc)

7、提示:)0()(lim)(lim

00

fxfxf

xx





(0a)

8、1x是第二类间断点,0x是第一类间断点

(C)

1、解:因为xexfx1)(2,故)1ln()(xx,再由0)1ln(x,

得:11x,即0x。所以:)1ln()(xx,0x。

2、解:原式=

)cossin1(

cossin1

lim

2

0xxxx

xxx

x



=

x

xxx

x

2

0

sinsin

2

1

lim

=)sin(

sin

lim

2

1

0

xx

x

x

x



=0

3、解:因为当

x

时,

xx

2

~

2

sin,

xx

x

x

2

sin

35

53

lim

2



=

xx

x

x

2

35

53

lim

2



=

xx

x

x35

106

lim

2

2



=

5

6

4、解:因为:9=

x

xax

ax

)(lim



=

x

x

x

a

x

a

1

1

lim=

a

a

e

e

=

ae2

所以92ae,3lna

5、证明:令xxfxF)()(,)(xF在ba,上连续,且

0)()(aafaF,0)()(bbfbF。由闭区间上连续函数的零点定理,在开

区间),(ba内至少存在一点),(ba,使0)(F,即)(f。

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