第一章函数与极限
(A)
一、填空题
1、设
xxxflglg2)(
,其定义域为。
2、设)1ln()(xxf,其定义域为。
3、设)3arcsin()(xxf,其定义域为。
4、设)(xf的定义域是[0,1],则)(sinxf的定义域为。
5、设)(xfy的定义域是[0,2],则)(2xfy的定义域为。
6、4
3
2
lim
2
3
x
kxx
x
,则k=。
7、函数
x
x
y
sin
有间断点,其中为其可去间断点。
8、若当0x时,
x
x
xf
2sin
)(,且0)(xxf在处连续,则)0(f。
9、
)
21
(lim
222nn
n
n
n
n
n
n
。
10、函数)(xf在
0
x处连续是)(xf在
0
x连续的条件。
11、
35
23
52
)23)(1(
lim
xx
xxx
x
。
12、
3)
2
1(lim
e
n
kn
n
,则k=。
13、函数
23
1
2
2
xx
x
y的间断点是。
14、当x时,
x
1
是比
13xx
的无穷小。
15、当0x时,无穷小
x11
与x相比较是无穷小。
16、函数xey
1
在x=0处是第类间断点。
17、设
1
13
x
x
y,则x=1为y的间断点。
18、已知3
3
f,则当a为时,函数xxaxf3sin
3
1
sin)(在
3
x处连续。
19、设
0)1(
0
2
sin
)(
1
xax
x
x
x
xf
x
若)(lim
0
xf
x
存在,则a=。
20、曲线2
sin
2
x
xx
y水平渐近线方程是。
21、
1
1
4)(
2
2
x
xxf的连续区间为。
22、设
0,cos
0,
)(
xx
xax
xf在0x连续,则常数
a=。
二、计算题
1、求下列函数定义域
(1)
21
1
x
y
;(2)xysin;
(3)xey
1
;
2、函数)(xf和)(xg是否相同?为什么?
(1)
xxgxxfln2)(,ln)(2;
(2)2)(,)(xxgxxf;
(3)
xxxgxf22tanc)(,1)(;
3、判定函数的奇偶性
(1)
)1(22xxy;(2)323xxy;
(3))1)(1(xxxy;
4、求由所给函数构成的复合函数
(1)22,sin,xvvuuy;
(2)21,xuuy;
5、计算下列极限
(1))
2
1
4
1
2
1
1(lim
n
n
;(2)
2
)1(321
lim
n
n
n
;
(3)
3
5
lim
2
2
x
x
x
;(4)
1
12
lim
2
2
1
x
xx
x
;
(5))
1
2)(
1
1(lim
2x
xx
;(6)
2
23
2)2(
2
lim
x
xx
x
;
(7)
x
x
x
1
sinlim2
0
;(8)
xx
x
x
13
1
lim
2
1
;
(9)
)1(lim2xxx
x
;
6、计算下列极限
(1)
x
wx
x
sin
lim
0
;(2)
x
x
x5sin
2sin
lim
0
;
(3)xx
x
cotlim
0
;(4)x
xx
x
)
1
(lim
;
(5)1)
1
1
(lim
x
xx
x
;(6)x
x
x
1
0
)1(lim
;
7、比较无穷小的阶
(1)32220xxxxx与,时;
(2))1(
2
1
112xxx与,时;
8、利用等价无穷小性质求极限
(1)
3
0sin
sintan
lim
x
xx
x
;(2)),(
)(sin
)sin(
lim
0
是正整数mn
x
x
m
n
x
;
9、讨论函数的连续性
。在
1
1,3
1,1
)(x
xx
xx
xf
10、利用函数的连续性求极限
(1))2cos2ln(lim
6
x
x
;(2)
)(lim22xxxx
x
;
(3)
x
x
x
sin
lnlim
0
;(4)x
xx
2)
1
1(lim
;
(5))
1
1
(lim,)1(lim)(
1
t
f
n
x
xf
t
n
n
求设;
(6))
1
1
ln(lim
x
x
x
x
;
11、设函数
0,
0,
)(
xxa
xe
xf
x
应当怎样选择a,使得)()(,成为在xf内的连续函数。
12、证明方程135xx至少有一个根介于1和2之间。
(B)
1、设)(xf的定义域是[0,1],求下列函数定义域
(1))(xefy(2))(lnxfy
2、设
0,
0,0
)(
0,
,0
)(
2xx
x
xg
xx
ox
xf
求)]([,)]([,)]([,)]([xfgxgfxggxff
3、利用极限准则证明:
(1)
1
1
1lim
nn
(2)1]
1
[lim
0
x
x
x
;
(3)数列,222,22,2的极限存在;
4、试比较当0x时,无穷小232xx与
x
的阶。
5、求极限
(1)
)1(lim2xxx
x
;(2)1)
12
32
(lim
x
xx
x
;
(3)
3
0
sintan
lim
x
xx
x
;
(4)
)0,0,0()
3
(lim
1
0
cba
cba
x
xxx
x
;
6、设
0,
0,
1
sin
)(
2xxa
x
x
x
xf要使),()(在xf内连续,
应当怎样选择数a?
7、设
01,)1ln(
0,
)(1
1
xx
xe
xfx
求)(xf的间断点,并说明间断点类型。
(C)
1、已知xxfexfx1)]([,)(2,且0)(x,求)(x并写出它的定义域。
2、求下列极限:
(1)、]lncos)1ln([coslimxx
x
;(2)、
x
xxx
x
cossin1
lim
0
;
(3)、求
xx
x
x
2
sin
35
53
lim
2
;(4)、已知9)(lim
x
xax
ax
,求常数
a
。
(5)、设)(xf在闭区间],[ba上连续,且bbfaaf)(,)(,
证明:在开区间),(ba内至少存在一点,使)(f。
第一章函数与极限
习题答案
(A)
一、填空题
(1)]2,1((2)),1((3)[2,4]
(4)zkkxkx,)12(2(5)
]2,2[
(6)-3(7)0;,xzkkx(8)2(9)1
(10)充分(11)
2
1
(12)
2
3
(13)x=1,x=2(14)高阶
(15)同阶(16)二(17)可去(18)2(19)-ln2
(20)y=-2(21)]2,1(]1,2[(22)1
二、计算题
1、(1)),1()1,1()1,(
(2)),0[(3)),0()0,(
2、(1)不同,定义域不同(2)不同,定义域、函数关系不同
(3)不同,定义域、函数关系不同
3、(1)偶函数(2)非奇非偶函数(3)奇函数
4、(1)22)(sinxy(2)]1[2xy(3)][sin2xey
5、(1)[2](2)]
2
1
[(3)-9(4)0(5)2(6)
(7)0(8)22(9)
2
1
6、(1)w(2)
5
2
(3)1(4)
1e(5)
2e(6)
1e
7、(1)的低阶无穷小是3222xxxx(2)是同阶无穷小
8、(1)
2
1
(2)
nm
nm
nm
,
,1
,0
9、不连续
10、(1)0(2)1(3)0(4)
2e(5)0(6)-2
11、a=1
(B)
1、(1)提示:由10xe解得:]0,(x
(2)提示:由1ln0x解得:],1[ex
2、提示:分成ox和0x两段求。)()]([xfxff,0)]([xgg,
0)]([xgf,)()]([xgxfg
4、(1)提示:
nn
1
1
1
11
(2)提示:
x
x
x
x
x
x
1
]
1
[)1
1
(
(3)提示:用数学归纳法证明:222
n
a
5、提示:
xxx
xxxx1312232
令tx12(同阶)
6、(1)提示:乘以xx12
;
2
1
(2)提示:除以x2;
e
(3)提示:用等阶无穷小代换;
2
1
(4)提示:x
xxxcba1
)
3
(
x
cba
cba
xxx
xxx
xxxcba
3
111
111
3
1
3
111
(3abc)
7、提示:)0()(lim)(lim
00
fxfxf
xx
(0a)
8、1x是第二类间断点,0x是第一类间断点
(C)
1、解:因为xexfx1)(2,故)1ln()(xx,再由0)1ln(x,
得:11x,即0x。所以:)1ln()(xx,0x。
2、解:原式=
)cossin1(
cossin1
lim
2
0xxxx
xxx
x
=
x
xxx
x
2
0
sinsin
2
1
lim
=)sin(
sin
lim
2
1
0
xx
x
x
x
=0
3、解:因为当
x
时,
xx
2
~
2
sin,
则
xx
x
x
2
sin
35
53
lim
2
=
xx
x
x
2
35
53
lim
2
=
xx
x
x35
106
lim
2
2
=
5
6
4、解:因为:9=
x
xax
ax
)(lim
=
x
x
x
a
x
a
1
1
lim=
a
a
e
e
=
ae2
所以92ae,3lna
5、证明:令xxfxF)()(,)(xF在ba,上连续,且
0)()(aafaF,0)()(bbfbF。由闭区间上连续函数的零点定理,在开
区间),(ba内至少存在一点),(ba,使0)(F,即)(f。
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