公因数是什么

课题公因数和最大公因数

教学目标：

1．经历概念形成和规律探究的过程，形成公因数、最大公因数的概念。

2.通过分类分析，形成互质数概念，并建立对特殊关系的数的敏感度。

内容分析：

“公因数和最大公因数”是“公因数和公倍数”单元的第一课时，教材编排了两道例题。通过例1

的学习，让学生理解公因数的含义，通过例2的探索，掌握找公因数和最大公因数的方法，最后通过不

同形式的练习，帮助学生形成技能。这样的编排，“扶”得多，学生缺少独立探索、发现和研究的意识。

“公因数、公倍数”单元是继“倍数和因数、能被2、3、5整除的数的特征、素数和合数”后进一

步学习的内容，是进一步学习约分和通分以及分数四则计算的重要基础。“能被2、3、5整除的数的特征、

素数和合数”是对“一个数内部特征的研究”，“公因数”和“公倍数”是对“两个数内部关系的研究”，

是规律探究课型与概念形成课型的有机融合。“公因数”与“公倍数”有着类同的知识结构基于以上认识，

为了让学生进一步掌握学习的主动权，“公因数和最大公因数”“教结构”，让学生经历规律探究和概念的

形成过程，聚类分析后得出“公因数和最大公因数”的概念；然后通过分类分析，发现求两个数的“最

大公因数”的特殊情况，让学生逐步对数与数之间的关系产生一定的敏感，为“公倍数和最小公倍数”

提供结构支撑。

学情分析：

在前期的学习中，学生掌握了求一个数因数和一个数的倍数的方法，在学习能被2、3和5整除的数

的特征以及素数、合数的特征过程中，经历了规律探索学习的基本教学结构，有了一定的学习方法的积

累。因此，这部分知识的学习，可以引导学生运用结构进行研究，形成概念。

教学过程

教学

环节

教师活动学生活动设计意图

常规

积累

1.写出1－12各数的因数。

2.说说一个数的因数有什么特点？

完成后同桌互相核对。

同桌互说。

回顾旧知，为新

知的学习作好

准备。

第一层次：观察发现。

1.谈话：四年级时，我们研究了一个数的因数、一

个数的倍数的特点，今天起我们要来研究两个数

或几个数之间的因数的特点。

为了方便我们研究，请同学们看到1-12的因数，仔

细观察它们的因数，你发现了什么？

过程中打开：老师听到有些同学讲的还是一个数因

数的特点，那两个数之间、几个因数之间又会有什

么新的发现呢？

交流：观察到每个数的因数都有1。

介绍：看来1是这12个数公有的因数。

追问：那2是哪些数公有的因数呢？你能像这样再

来找找吗？

（交流1-2个学生的发现即可。）

独立观察后与同桌交流。

学生独立寻找后与同桌

交流。

同桌简单交流

学生独立做。

根据学生已有

的知识经验，直

接提出问题，顺

着学生的思维

方向，把学生的

思维引向两个

数的因数的研

究上。

理解

公因

数和

最大

公因

数的

意义

2.过渡：通过观察，我们发现有些数是两个数公有

的因数，有些数是三个数公有的因数，有些数是四

个数公有的因数，等等，其中最简单的就是两个数

公有的因数，那我们就从最简单的入手。要研究两

个数因数之间的关系，首先要有两个数，不妨先随

便找两个数：4和18。

第二层次：指导方法（7分钟）

1．出示4和18，你能想办法找到它们所有的公有因

数吗？

呈现资源：（大黑板）

（1）4的因数：1，2，4.

18的因数：1，2，3，6，9，18。

（2）4的因数：①，②，4

打开：有同学想到了一种方法，那你还有没有第二

种方法呢？（老师发现很多同学都分别列出4和18

的因数，那有没有更简便的方法，只列出一个数的

因数，可以吗？）

2．交流：

（1）这两种方法都是怎么想的呢？

学生解读,（第一种方法大部分同学都会，就一带

而过，重点放在第二种方法上）第二种方法为什么

只有4的因数，18的因数哪去了？（放在脑子中，

哦，1,2是18的因数，4不是18的因数。）

追问：为什么不先写18的因数呢？

你更喜欢那种方法？为什么？仔细观察你觉得这

两种方法写完整了吗？

补充：公因数找到了还要记得写下结论。（补充进去）

（2）方法一：像这样，先列出4的因数，再列出18

的因数，最后在两个数的因数中都找到了公有的因

数1和2，这样的方法我们可以叫做什么？

（3）方法二：

有时候我们可以先写出小数所有的因数，然后再对

照大数的因数，找出公有的因数，这样的方法我们

也起个形象点的名字叫“写小找大”。

3.小结：刚才我们找到了4和18公有的因数，都

想到了哪些办法？

第三层次：举例验证（5分钟）

1．设疑：那是不是任意两个数都能找到公有的因数，

也都能找到最大的一个呢？（板书“猜想”？）需

要怎样？（举例验证）由于课上时间有限，我们就

写30以内的数，30以外的数请同学们课后再来找

可能：

（1）一一列举

（2）写小找大

同桌交流后请生介绍。

同桌讨论。

预设：18的因数比较多。

学生明确活动要求，并进

行举例验证。

明确：0不做考虑。

学生举了一些例子后，同

经历4和18的

公有的因数的

寻找，指导具体

的做法，为后面

的独立寻找作

好方法铺垫。

从有限的例子

中提出猜想，再

通过大量的举

例来验证猜想，

并有意识注意

数的范围，最后

归纳出结论，这

一环节旨在让

学生经历完整

的不完全归纳

过程，认识概

找？老师给大家提供了一张2号练习纸：（出示），

如果你需要一些“列举”或“写小找大”的过程，

可以写在上面空白的地方。

过程中打开：

（1）之前，我们举例要有代表性，需要思考一般情

况和特殊情况，这里有没有特殊情况呢？

（2）有的同学没有用列举的方法也能找到两个数最

大的因数，这是不是特殊情况呢？想一想除

了现在的情况还有其他情况存在吗？

（3）有的同学想到的都是特殊情况的例子，那有没

有一般的情况呢？

第四层次：归纳结论

同学们举了很多的例子，有没有发现两个数没有公

有的因数，那能不能找到最大的一个呢？

举不出反例了，说明这个猜想怎样？（成立，将？

改。移动）

第五层次：揭示概念

我们发现任意两个数都有公有的因数，我们可以把

公有的因数叫做什么？（公因数）。其中最小的都是

1，最大的各不相同，最大的公因数我们就叫做最大

公因数。可以用一种简洁的方式来表示两个数的最

大公因数（4，18）=2.

落实：（你也从你的例子中挑几个来学学这种表示方

法。）

桌互相检查批改。

找3-4个学生作业简单

交流。

发现没有。

念，掌握解决问

题的一般方法

结构。

研究

两个

数的

最大

公因

数

1.分类：在研究一个数因数特点的时候我们能最大

因数和最小因数进行了研究，通过刚才的举例验证，

我们发现两个数最大公因数各不相同，这里是没有

什么规律呢？老师从同学们的例子中选出一些，让

我们来仔细观察一下，能不能根据最大公因数，把

它们来分分类呢？（贴）

2.呈现资源，交流：

（1）看到同学们基本上都是这样分的，说说是怎么

分的？

（2）先来看最大公因数不是1的，再来看看原来的

两个数，能不能再根据这两个数的关系分分类？

（板书结论：两数成倍数关系，最大公因数是较小

数。）

3.再分类：剩下的最大公因数都是1，看样子情况比

较复杂，我们能不能再来把它们分分类呢？或许可

以帮助我们对这些情况有更清晰的了解。

4.交流：

（1）加工中清晰分类。

学生进行一级分类，写序

号。可能:

是1和不是1

同桌讨论。

倍数关系、非倍数关系

学生进行二级分类。可能

全或不全：（加工）

1．1和任何自然数；

2．两个连续的自然数；

3．1个素数。（3,4也可

通过分类分析

找到两个数之

间的特殊关系

（倍数关系、互

质关系），帮助

学生逐渐形成

对数的敏感。

（2）追问：为什么这三种情况它们的最大公因数就

一定是1呢？

（3）介绍：如果两个数的最大公因数是1，这两个

数就叫互素数，那么这两个数的关系就叫互素

关系。

（板书结论：两数成互素关系，最大公因数是1。）

（4）快速反应：分析关系，求最大公因数。（同桌

合作）

整合成一素，两数无倍

数）

前两个集体交流，后面的

同桌说说。

总结

拓展

1．总结：今天我们通过对两个数公有的因数的研究，

发现两个数都有公因数，而且能找到最大的公因数。

在研究最大公因数的时候发现两个数之间存在特殊

情况。如果两数成倍数关系，最大公因数是较小数，

两数成互质关系，最大公因数是1。是不是只有两个

数能找到公因数呢？三个数是不是也有公因数和最

大公因数呢？三个数之间是不是也存在着特殊情况

呢？两个数公有的因数的情况进行了研究，那还可

以对两个数公有的倍数进行研究。

同桌讨论。横向与纵向的

拓展，为学生的

后续学习提供

结构支撑。