抛物线标准方程

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“抛物线及其标准方程”教学设计案例

课程分析：抛物线是解析几何的重要组成部分，是今后学习解析几何

的基础。本节对抛物线的教学，是在学生对于抛物线基本知识和研究

方法已经熟悉的基础上进行的，所以学习时采用了类比的方法，让学

生通过自主研究、合作交流等方式自己构建新知识。

学情分析：《抛物线及其标准方程》高中数学（选修2-1）中的内容，

适用对象是高二年级的学生。学生在初中阶段所学的二次函数中，已

经初步接触过抛物线。通过本节课的学习，可以让学生进一步了解抛

物线所形成的几何本质。在研究椭圆和双曲线的基础上，通过类比来

研究抛物线的定义和标准方程，让学生进一步掌握研究曲线的基本方

法，并为他们今后学习解析几何奠定良好的基础。类比学习时，要

注意知识上的相似点和不同点，要注意加以区别，以防混淆。

设计理念：本节课主要采用了诱思探究教学，改变了传统教学中满堂

灌的教学方法，让学生自己动手探索新知识新问题。通过日常生活中

存在的数学问题创设情境引出新知，充分调动了学生探讨问题的积极

性；考虑到学生发现数学问题的能力较弱，设置了一系列探究问题，

帮学生铺设好台阶，引导学生讨论、主动探索，自己构建新知识，鼓

励提出不同见解，发表个人看法，真正成为课堂的主人。要让学生在

整个教学过程体会到发现的乐趣，从而提高学生学习的热情，充分发

挥情意因素的作用。

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自制多媒体课件，用几何画板制作。通过多媒体，增强了教学的直观

性，激发学生的学生兴趣，同时又可提高课堂效率；使用了投影仪，

迅速快捷地展示学生的解题方案，便于课堂讨论和点评，不断优化学

生思维，规范学生解题过程。建立了一种多媒体、大容量、高效率的

教学模式，并通过这种教学示范培养学生的创新意识。

学习目标：

1、理解抛物线的定义，并能根据抛物线的定义恰当的选择坐标

系，建立及推导抛物线的标准方程。

2、了解抛物线的标准方程，培养分析、归纳、推理等能力。

3、掌握用待定系数法求抛物线方程的方法，并能根据条件确定

抛物线的标准方程。

教学流程：

1、创设情境

复习：（1）出示课件中的椭圆图像，让学生说出椭圆的第二种

定义（屏幕显示椭圆的定义：到定点与到定直线的距离的比是小于

1的常数的点的轨迹是椭圆。）

（2）出示课件中的双曲线图像，让学生说出双曲线的第二种定

义。（屏幕显示双曲线的定义：到定点与到定直线的距离的比是大于

1的常数的点的轨迹是双曲线。）

2、概念形成：

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探究问题1：通过比较椭圆和双曲线的定义思考：到定点的距离和到

定直线的距离的比是等于1的常数的点的轨迹是什么？动画演示抛

物线的形成

（实录：学生观察曲线，更好的从图象上了解抛物线）

（点评：通过类比更好的凸现了抛物线的独特之处）

屏幕显示抛物线定义：到定点与到定直线的距离的比是等于1的

常数的点的轨迹，即抛物线。

3、概念深化

问题：建立曲线方程一般有哪几个步骤？

（学生回忆建系--设点--列式--化简--证明）

探究问题2：如何选择合适的坐标系建立方程？

（实录：学生结合刚才在几何画板上所做的抛物线，思考、讨论该如

何建立适当的坐标系，教师巡视、倾听，然后让学生发言。学生共同

探讨出多种方案，其中有3种最为常见。

生1：以l为y轴，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标

系。

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生2：以定点F为原点，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角

坐标系。

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生3：过焦点F作直线FN垂直于直线l，垂足为N。以直线NF

为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系）

探究问题3：请在这三种建系方案下推导出抛物线的方程。提示

以定义为依据求抛物线的方程。

（实录：学生自己动手求解，纷纷发言，说出三种方案所求的结果。

教师巡视、指导）

（点评：学生自己动手在不同的方案下推导方程，可以进一步激发学

习的热情，有助于增强学习效果，加深对知识的理解。让学生分组动

手，在三个建系方案下进行推导，然后通过对比得出标准方程，使学

生更能体会不同坐标系下方程的差异，进一步认识抛物线标准方程的

结构及对应参数的意义。）

探究问题4：通过以上过程的比较，哪种方案的结果具有较简单

的形式？

（实录：学生对比发现第3种方案的结果不仅具有较简单的形式，而

且方程中的一次项系数是焦点到准线的距离的两倍。教师就势引导：

这个方程就叫做抛物线的标准方程。焦点在x轴的正半轴上，参数p

的几何意义：焦点到准线的距离；焦点坐标为：)0,

2

(

p

，准线方程为：

2

p

x）

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（点评：一题多解并选择最优解。给学生自己探索的空间，让学

生共同体验数学发现和创造的历程，提高分析问题的能力。学生在合

作交流、与人分享、探讨的氛围中倾听、质疑、表述，体验成功的喜

悦；学会合作，并在合作中懂得欣赏他人）

探究问题5：抛物线其他三种形式的标准方程。开口向右的抛物

线的标准方程是)0(22ppxy，那么，对于开口向左、向上、向下的

抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程又是什么呢？类比开口向右

的抛物线，把表格一一完善。

（实录：投影学生答案，引导学生把图形的位置特征和方程的

形式结合起来记忆。）

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探究问题6：通过四种标准方程的对比，从方程的形式上看，可

以得出标准方程与图像有何联系？

（实录：学生先各自独立思考，然后四人一组，互相讨论，小组

之间互相交流意见，不能达成共识的请教老师。最后，得出：①方程

的一次项决定焦点位置；②一次项系数的符号决定开口方向）

（点评：通过表格的形式，让学生自主探求其中的关系，使学生

从整体上理解和掌握四个标准方程及其图形）

4、迁移运用

例1根据下列抛物线的方程分别求出它们的焦点坐标和准线方

程。①y2=4x②x2=-8y③y=2x2

（实录：学生分组讨论，各抒己见，互相补充。及时对学生进行

鼓励，并将学生的解法投影，展示学生的成果，学生感觉比较有成就

感）

（点评：激发学生的学习热情，挖掘学生的潜能，鼓励学生大胆

创新与实践。要让学生在自主探索和合作交流过程中获得基本数学知

识和技能，进一步深化方程与焦点、准线的关系）

例2根据下列条件，求抛物线的标准方程。

①经过点P(-2,-4)

②抛物线焦点到准线的距离为2

③以直线2x-3y+6=0与坐标轴的交点为焦点

（实录：学生分组讨论，互相补充。将学生的解法投影，展示学

生的成果，及时对学生进行鼓励）

（点评：题目层次清晰，由浅入深，借助几何画板分析题目，增

强直观性）

5、归纳总结，升华提高

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学生分组讨论本节内容，师生共同整理完善：

（1）抛物线定义及标准方程的形式

（2）抛物线的标准方程与图像的关系

（3）数学思想方法：（数形结合思想、函数与方程思想、转化思

想）

（点评:总结知识难度较大，因此设计学生讨论且教师要适时点

拨。学生通过反思总结提高了自己获取知识的能力以及归纳概括能

力，同时使自己的认知结构更完整，知识更系统化）

6、反馈检测，巩固落实

（1）根据下列抛物线的方程分别求出它们的焦点坐标和准线方

程。

①y2=-14x

②x2=18y

③y=-12x2

（2）根据下列条件，求抛物线的标准方程。

①经过点P(2,-4)

②抛物线焦点到准线的距离为8

（点评：通过设计与本节知识平行的题目，检测学生对本节课所

学知识的掌握程度，落实知识情况，达到反馈矫正的目的。学生动手

解答，展示出部分学生的解题过程，学生互相点评，可以进一步加深

学生对知识的理解程度）

（通过检测，发现学生掌握得比较好）

7、布置作业

必作题：根据下列条件，求抛物线的标准方程。

1、经过点P(8,16)

2、以直线4x-3y+12=0与坐标轴的交点为焦点

选作题：已知抛物线y2=6x和点A(4,0).求抛物线上一点M与A距离

的最小值，并指出M的坐标。

（点评：分层次布置作业，让有能力的学生能更好的发挥自己的能力）

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课后反思：本节课根据学生的实际情况进行设计，并且让学生真正成

为了课堂的主人。通过实物观察和课件展示，学生积极思考，互相合

作，共同探究得到抛物线的标准方程，，他们的创造性思维得到了发

展；通过一系列思考和练习，学生加深了对知识和方法的理解。课堂

气氛非常活跃。

优点：本节课的教学达到了预定的教学目标，通过“类比－

猜想－验证－归纳”得出抛物线的定义，使学生体会到定义产生的全

过程，符合学生的认知规律。利用计算机辅助教学，将信息技术和课

堂教学有机地结合起来，有利于学生对知识的认知和理解，有效地突

出了数形结合的思想。

不足：有时引导相对过细，没能给学生创造更大的自主探索空间。

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