中点

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2012中考数学专题复习5

图形的中点问题

一.知识要点：

线段的中点是几何图形中的一个特殊点，与中点有关的问题很多，添加适当的辅助线、

恰当地利用中点是处理中点问题的关键。

涉及中点问题的几何问题，一般常用下列定理或方法：

(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;

(2)三角形中位线定理；

(3)等腰三角形三线合一的性质；

(4)倍长中线，构造全等三角形（或平行四边形）；

(5)平行四边形的性质与判定.

二.例题精选

1、若一点是直角三角形斜边的中点或等腰三形底边的中点，则常过中点作中线，应用“直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质或“等腰三角形三线合一”的性质。

例1.如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=BC,D在AB上,E在BC上，

BD=CE,M是AC的中点，求证：△DEM是等腰直角三角形.

提示：连结BM,证明ΔBDM≌ΔCEM,得DM=ME，∠DMB=∠EMC,

则∠DME=90,

得ΔMDM为等腰直角三角形

2、三角形中遇到两边的中点，常应用“三角形的中位线定理”,若有一点是三角形一边的中

点或梯形一腰的中点，则常过中点作中位线。

例2.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，

AD、BC的延长线分别交MN的延长线于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

提示：连结AC，作AC中点G，连结MG，NG。则MG=NG，MG∥BC，NG∥

AD。∴∠MGN＝∠F,∠GNM=∠DEN,∠MGN=∠GNM.∴∠DEN＝∠F．

A

N

F

E

C

D

M

B

A

B

C

M

D

E

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3、若有三角形的中线或过中点的线段，则通常加倍延长中线或过中点的线段，以构造两个

三角形全等。

例3.已知：如图2，AD为△ABC的中线，BE交AC于E，交

AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF

提示：延长AD至G，使DG=AD，连结BG，则ΔBDG≌ΔCDA，∴AC=BG=BF

4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想或构造“X字型”全等三角形.

例4.如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，

且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，

则MF的长为．

提示：延长AD、FM交于点H，则AH=EF=3，DH=1=DF，

∴FH=2

MF=

2

2

2

1

FH

5、有关面积的问题中遇到中点，常用“等底等高的两个三角形面积相等”的性质。

例5.如图所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连

AF、CE交于点G，则

ABCD

AGCD

S

S

矩形

四边形=______________

提示：连接BG，∵E是线段AB的中点，∴S

△AEG

=S

△BEG

=x，S

△BGF

=S

△GCF

=y，

设AB=2a，BC=2b，

ABCD

S

矩形

=2a×2b=4ab，

根据题意，得：2y+x=

2

1

×BC×BE=ab，2x+y=

2

1

×BA×BF=ab，∴2x+y=2y+x，即

x=y=

3

ab

，∴S

四边形AGCD

=4ab-4x=

3

2

ABCD

S

矩形

∴

ABCD

AGCD

S

S

矩形

四边形等于

3

2

，

A

E

F

B

C

D

G

M

F

E

D

C

B

A

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三.能力训练

1.已知AD是△ABC的角平分线，AB＝10，AC＝6，CN⊥AD于N，且M是BC的中点.则MN

的长为_________.

2.顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形MNPQ，给出以下6个命题：

①若所得四边形MNPQ为矩形，则原四边形ABCD为菱形；

②若所得四边形MNPQ为菱形，则原四边形ABCD为矩形；

③若所得四边形MNPQ为矩形，则AC⊥BD；

④若所得四边形MNPQ为菱形，则AC=BD；

⑤若所得四边形MNPQ为矩形，则∠BAD=90°；

⑥若所得四边形MNPQ为菱形，则AB=AD．

以上命题中，正确的是()

A．①②B．③④C．③④⑤⑥D．①②③④.

3.如图，在△ABC中，DC=4，BC边上的中线AD=2，AB+AC=3+7，则S

△ABC

等于()

A．15B．

2

55

C．32D．

2

73

4.如图，在□ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点,∠AEF=54°，则∠B=.

中，AB=7,AC=3,则中线AD的取值范围是______________

6.如图，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，BC上的中线AD=2，求

BC的长.

A

B

C

D

D

N

M

A

B

C

（第1题）

A

BC

D

EF

P

（第5题）

（第4题）

第3题

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7.如图，已知△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G

为垂足．求证：(1)G是CE的中点；(2)∠B=2∠BCE．

8.在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E

是AD中点．

请判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程。

9.如图,在ΔABC中,∠ABC=2∠C,AD⊥BC于D,E是AC中

点,ED的延长线与AB的延长线交于点F,

求证:BF=BD

10.如图,ΔABC中，角平分线BE与BC边上的中线

AD互相垂直,并且BE=4，AD=6,求AB的长

A

C

B

D

E

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图3

图2

图1

M

N

F

O

M

G

F

D

E

E

N

F

E

B

A

C

D

D

B

C

A

B

C

A

图2

图1

G

H

F

E

B

G

H

F

E

B

C

A

D

D

A

C

四.思维拓展

11.如图，四边形ABCD中，E为BC的中点，AE与BD交于F，且F

是BD的中点，O是AC，BD的交点，AF=2EF，△AOD的面积是3cm2，

求四边形ABCD的面积．

12.在图1，图2中，



ABC和



DEC都是等腰直角三角形。∠ACB=∠DCE=900，F是DE的中

点，H是AE的中点，G是BD的中点.

(1)如图1，点D,E分别在AC,BC的延长线上，

求证：



FGH是等腰直角三角形.

(2)将图1中的



DEC绕点C顺时针旋转一

个锐角，得到图2，



FGH还是等腰直角

三角形吗？若是,给出证明;若不是请说明理由.

13.如图1.在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与

BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME=∠CNE(提示：参见例2).

问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，

连接EF,分别交DC、AB于M、N，判断OMN的形状，请直接写出结论。

问题二：如图3，在ABC中，AC>AB,D点在AC上，AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连

接EF并延长，与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60,连接GD,判断AGD的形状并证明.

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14.如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点,点E从点A出发，沿AB运动到点B停

止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。

（1）设AE=

x

时，△EGF的面积为

y

,求

y

关于

x

的函数关系式,并写出自变量

x

的取值范围；

（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。

15.如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC∥，

E

是AB的中点，过点E作EFBC∥交

CD于点F．46ABBC，，60B∠.

（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MNAB∥

交折线ADC于点N，连结PN，设EPx.

①当点N在线段AD上时（如图2），PMN△的形状是否发生改变？若不变，求出PMN△

的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN△为等腰三角形？若存在，

请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.

A

D

E

B

F

C

图4（备用）

AD

E

B

F

C

图5（备用）

A

D

E

B

F

C

图1图2

A

D

E

B

F

C

P

N

M

图3

A

D

E

B

F

C

P

N

M

（第25题）

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