什么是公因数

《公因数和最大公因数》教学设计

教学内容：青岛版教材四年级下册数学教科书96-98页,公因数和最大

公因数。

教学目标：

1.结合解决实际问题，让学生在具体的操作活动中，认识公因数和最大

公因数。能在集合图中表示两个数的因数和它们的公因数。

2.学会找出100以内两个数的公因数和最大公因数，并掌握方法。

3.使学生在自主探索与合作交流的过程中，积累观察---猜测---归纳等

数学活动经验，在解决问题过程中进行有条理的思考。

教学过程：

一、创设情境，感受新知

1.情境引入

（课件出示两幅美丽的图案，一幅地面装修设计图；另一幅是电视背景墙

的设计图。让学生欣赏后得到：两个图案都是长方形，都是由同样的小正方形铺

成的。）

同学们请欣赏这两幅图案，欣赏后发现了哪些数学信息？

对！这两幅图案都是由同样大小的小正方形组成的长方形，换句话可以说：大长

方形是小正方形整好铺满。

2.演示铺法，感知正好铺满。

课件动态演示用同样大的小正方形一个接一个先铺满长方形的长，再铺

满长方形的宽，最后铺满整个长方形。

3.理解正好铺满，渗透找正好铺满的方法。

（课件演示）（1）一种长不能正好铺满

（2）长正好铺满，宽不能正好铺满

（3）长和宽都能正好铺满

【设计意图：以学生熟悉的生活情境为切入点，学生熟悉并且喜欢，能

感受到数学在生活中的应用，以直观的方式引导学生理解正好铺满，为后续操作

做好铺垫。】

二、探究学习公因数

1.学生活动

下面让我们来体验一下怎样叫正好铺满吧！

老师给每个小组都准备了两张长24厘米，宽18厘米的长方形纸片，两种大小

不同的小正方形，就用我们刚才的方法，小组进行合作，快速的找出哪种小正方

形能正好铺满？哪种小正方形不能正好铺满？看哪个小组合作的最快。（学生

操作，教师指导）

【设计意图：体验是学生学习概念的基础。老师设计了拼摆正方形的活

动，在拼摆哪种正方形能正好铺满的问题启动下，学生利用手中的小正方形来进

行操作活动，把抽象的数学概念蕴于具体的操作活动之中。通过拼摆正方形的活

动，学生获得了小正方形的边长与长方形的长和宽之间的联系，形象感知了数之

间的相互关系，为理解和抽象公因数、最大公因数的数学概念提供坚实的基础。】

2.交流引思

小组交流：（板书）

正好铺满：1厘米、2厘米、3厘米、6厘米

不正好铺满：4厘米、5厘米、7厘米、8厘米

小结：这是我们用铺的方法找到了边长是1、2、3、6厘米的正方形都

能正好铺满，其它的不行。

【设计意图：通过操作体会哪些正方形能正好铺满，哪些正方形不能正好

铺满？为什么？学生真正的在情境中，经历了公因数和最大公因数概念的形成过

程。在学生交流的过程中，教师始终关注将现实问题转化为数学问题，从而建立

数学模型这一核心价值。】

3.探究关系

同学们，通过摆小正方形，我们找到了这些小正方形能正好铺满，这些小

正方形不能正好铺满，请思考：正好铺面或不能正好铺满的原因是什么？我们能

不能不摆而用数学的方法找出这些能铺满的正方形的边长和这个长方形的长和

宽有什么关系？以小组为单位探究一下。

预设：如果学生说24是2的倍数，那么教师追问，那么2是24的什么？

（2是24的因数）2也是18的因数吗？看来2不仅是24的因数还是18的因数。

那么1,3,6与24和18也有这样的关系吗？

（指着4、7）这些数与24和18也有这样的关系吗？

预设：4是24的因数，不是18的因数。

7既不是24的因数，也不是18的因数。

小结：要想正好铺满，这个正方形的边长必须既是24的因数，又是18

的因数。

【设计意图：教师设计了较有价值的引领性问题：“这些能正好铺满的

正方形的边长与长方形的长与宽是有一定的联系的，他们之间到底有什么关系？

是这样吗？咱们一起来看看。1、2、3、6是24的因数吗？”这些问题均恰到好

处的引领学生朝着今天新学习的知识“公因数”迈进，这里一层一层环环相扣，

为学生理解知识作了思维支撑。在此基础中学生开展对数之间关系的进一步探

究，通过探究获得了新的发现：它们之间成因数关系。基于这样的认知基础，公

因数和最大公因数的概念就顺利呈现。】

4.揭示概念

1、2、3、6既是24的因数，又是18的因数，在数学上我们就把1、2、

3、6叫做24和18的公因数。这是我们用摆的方法找到24和18的公因数，我

们不摆，能不能用数学的方法也能找到24与18的公因数呢？下面，咱们同学自

己在本子上找一找。（学生在练习本上自主做，教师巡视，指导做法。）

（投影展示）24的因数：1、2、3、4、6、8、9、24

18的因数：1、2、3、6、9、18

24和18的公因数：1、2、3、6

刚才通过列举的方法找到24和18的公因数是1、2、3、6。和我们前

面操作的结果一样吗？（一样）

这就是我们这节课要学习的数学方法，不操作通过求公因数的方法找到这

样（指1、2、3、6）的正方形能正好铺满，这样（4、5、7、8）的正方形不能

正好铺满。

【设计意图：引导学生理解公因数是两个数公有的因数，让学生运用对公

因数的理解，独立探究用列举法找公因数的方法。通过“请你和大家说说你是怎

样找的？”这样的提问，使得学生与学生之间的互动得到充分展开，从而进一步

理解公因数的意义。】

5.练习：找公因数

刚才我们通过分别找出它们的因数来找公因数，老师再给你两个数，你

能找出它们的公因数吗？把它们快速填写在1号练习纸上。

用列举法找12和28的公因数。

你是怎样找的？

预设：先找12的，再找28的，然后找它们公因数。

强调：1,2,4是12和28的公因数。

通过这两个例子你明白什么是公因数了吗？

三、探究学习集合图

1.认识集合图会找两个数的公因数了吗？来咱们继续找，这次我们

来做一个与学号有关的游戏，先听游戏规则：老师给你两个数，迅速判断自己的

学号是不是这两个数的因数，如果是，你就迅速走到讲台前，站到相应的圈子里，

其他同学要认真看，说不定台上会出现问题，需要你帮他们解决呢。准备好了吗？

10号和8号上来，拿起圆圈，站到里面去。

预设：1，2,这几个同学不知道该站在哪个地方。1,2应该站在两

个圈之间。个别学号的同学没有上台，周围的同学会提醒。

追问：如果学生没有想到1,2这两个同学站在两个圈子中间，引导：

这两个同学既属于这个区域的，又属于另一个区域的，我们能不能想个办法，让

它们同时属于这两个区域？（应该用圈，把它们都套住）同学们的想法非常好，

根据同学们站的位置我把它画下来，迅速把你的学号贴在相应的圈子里（让学生

往黑板上贴数字）他们贴的对吗？

【设计意图：通过学号及套呼啦圈这与学生生活较为非常密切的事件，

让学生直观体验集合圈中的因数与公因数的表示方法，有趣的游戏，预料中的争

执，恰到好处的体现了图的妙用，图的填法。比一步步教学生如何填更有效，也

更不易遗忘，充分挖掘了学生的自主意识，也充分体现了教师驾驭教材，调控学

生的能力。】

小结：同学们（指黑板）这部分是10的因数，这个在数学上称作一个

集合图，是数学家韦恩创作的，也叫文氏图。这样说来是在这个集合里表示的是

10的因数，这里表示的是8的因数，（在集合图下面进行板书）它们的交集表

示的是它们两个数的公因数，现在明白每一个集合图表示的是什么了吧！

2．巩固练习好迅速把我们刚才找到12和28的因数填在2号练习纸

上。12的因数28的因数

12和28的公因数谁来展示一下你的作

业出示正确的，说出方法。再出示错误的，改正错误。

四、认识最大公因数

1．认识最大公因数

同学们学的真好，不仅会用列举法找公因数，而且会用集合图来表示。下面

我们再来回顾一下我们前面的探究过程，通过摆小正方形，找到了边长是1、2、

3、6厘米的正方形都能正好铺满，从而求出24和18的公因数是1、2、3、6。

如果我们用数量最少的正方形来摆，边长应该选几？你是怎样想的？预设：边长

最大，用的小正方形最少或从公因数中找最大的同学们的想法太棒了，6是边长

最大的，结果是什么？（用的正方形最少）6还是公因数中最大的数，6就是24

和18的最大公因数（板书课题）那找一下，这两组数（指黑板12和28,10和8）

它们的最大公因数是几？现在你会找两个数的最大公因数吗？有什么方法？预

设：先写出每个数的因数，再找它们的公因数，再找最大的数。那你能找到两个

数的最大公因数吗？

2.短除法求最大公因数下面我们来个小比赛看谁求最大公

因数的速度最快？课件出示题目：30和45（学生用列举法自主做，教

师用短除法做。教师做完之后告诉学生，自己完成任务，让学生感受到教师使用

的方法很方便，以此激发学生的兴趣）老师做的结果也是15，想不想知道老师

是怎么做的？老师用的方法叫做短除法，也是求最大公因数的一个方法，用短除

号把这两个数连接在一起，用这两个数的质因数去除，每次除完的商都对应写在

这两个数的下面，除到两个数只有公因数1为止。最后我们把它们的除数写成连

乘的形式，求出的就是它们的最大公因数。看明白了吗？想不想试试。用短除法

求36和27的最大公因数，展示学生做的。小结：我们不仅能用列举的方法找出

它们的公因数，也会用短除法求它们的最大公因数，非常好。

【设计意图：在学生独立探索的活动中，教师既尊重学生的个性化

思维方法与成果，又具体指导学生用短除法求两个数的最大公因数的方法，这样

使学生获得方法的全面认识与体会。】

3.解决生活问题。同学们，公因数和最大公因数的知识在我们生活

中的应用是非常广泛的，谁能用今天的知识帮老师解决这个问题？（课件出示买

地砖铺地面的问题）老师有一间厨房要铺地砖，长30分米，宽24分米，请同学

们帮老师选一选，用多大的正方形地砖才能铺得既整齐又节约呢？（地砖的边长

为整分米数）地砖的边长最大多少分米？其实生活当中这样的例子还有

很多，课后同学们多观察，用我们学过的知识多去思考，你会有很多发现的。

【设计意图：练习紧紧围绕教学目标进行设计和组织。首先，让学

生进行求两个数的最大公因数方法的练习，使学生掌握方法，为后继学习打下了

坚实的基础。最后把学生的视野和思维引向了现实，把数学和生活联系起来，利

用公因数解决生活中的实际问题，让学生体会到数学是有用的，生活中处处有数

学。】