物理奥赛

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高中物理奥赛常用数学公式

一、等差、等比数列

1．定义：

1nnn

aada



是等差数列

1,(0,0)n

nn

n

a

qaqa

a

是等比数列

,,(,)

2

ab

ababab



等差中项等比中项同号

2.公式

(1)通项

1

(1)()

nm

aandanmd1

1

nnm

nm

aaqaq

(2)前n项和1

1

(1)(1)

()

222

n

nn

aa

nnnn

snnadnad







1

(1)

2

n

s

d

an

n

也是等差数列

1

1

1

(1)

1

11

1

n

n

n

aaq

aq

q

qq

s

naq























二.数列求和

(1)2222

(1)(21)

123...

6

nnn

n





(2)

22

3332

(1)

12(12)

4

nn

nn





三、三角公式

1、和差角公式

2/13





22

sinsincoscossin

coscoscossinsin

tantan

tan()

1tantan

tantantan()(1tantan)

sincossinabab



























2、倍角公式万能公式

2

2tan

sin22sincos

1tan











2

2222

2

1tan

cos2cossin2cos112sin

1tan













2

333

2tan

tan2

1tan

sin33sin4sincos4cos3cos















3、半角公式，升降幂公式

22

22

1cos1cos1cos1cossin

sincostan

222221cossin1cos

1cos21cos2

sincos

22

1cos2cos1cos2sin

22

























4、积化和差，和差化积公式

sinsin2sincossinsin2sincos

2222

coscos2coscoscoscos2sincos

2222

11

sincos[sin()sin()]coscos[cos()cos()]

22

1

sinsin[cos()cos()]

2

























（2）正弦定理2

sinsinsin

abc

R

ABC

(R是ABC外接圆半径)

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（3）余弦定理2222coscababC

222

cos

2

abc

C

ab





（4）

11

sin()()()

224ABCa

abc

SahabCprppapbpc

R



其中

2

abc

p



为半周长

四、重要不等式

1．

222

(,0)

11

22

abab

abab

ab







2．

222

3

3

(,,0)

111

33

abcabc

abcabc

abc







3．

2

22

(,)

22

abab

abababR











3

(,,0)

3

abc

abcabc











五、球

1、222Rrd

2、球面距离lR

22

2

2222

cos

2

2cos

RRAB

R

ABrrr











（是径度差）

3、24SR

球内接长方体222224lRabc

侧棱两两垂直的三棱锥补形



长方体



球内接长方体

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4、体积3

4

3

VR

3

SV

R

RSV





球球

球球

多面体内切球半径：

3V

r

S



全

六、二项式定理

（1）011()nnnnn

nnn

abCaCabCb

（2）22(1)11n

n

xnxnxcx

七、导数

1．



00

0

00xx

fxxfx

y

fxlimlim

xx













0

0fxxfxxx在处可导，注意：在处不可导

二、运算法则：





2

12

34

xu

UVUVUVUVUV

UUVUV

yyux

V

V

























三、导数公式

（1）0C



（2）1nnxnx



（3）xxee



（4）xxaalna





（5）

1

(lnx)

x



（6）

11

(log)log

lnaa

xe

xxa





（7）(sin)cosxx



（8）(cos)sinxx





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8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足

不L，则AH=2OL中考不需要，竞赛中很显然的结论

9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。高中竞赛中非常重要的

定理，称为欧拉线

10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其

对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个

圆上，高中竞赛中的常用定理

11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直

线(欧拉线)上高中竞赛中会用，不常用

12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中

任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过

这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。高中竞赛的题目，不

用掌握

13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：

r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半重要

14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于

一点重要

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15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有

AB2+AC2=2(AP2+BP2)初中竞赛需要，重要

16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有

n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2高中竞赛需要，重要

17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接

AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD显然的结论，不需要掌握

18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)

的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点

的定圆周上高中竞赛需要，重要

19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有

AB×CD+AD×BC=AC×BD初中竞赛需要，重要

20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都

是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，学习复

数后是显然的结论，不需要掌握

21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段

AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。不需要掌握

22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三

角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。不需要掌

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握

23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不

经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有

BPPC×CQQA×ARRB=1初中竞赛需要，重要

24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要

25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA

于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、

Q、R三点共线。不用掌握

26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作

它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则

P、Q、R三点共线不用掌握

27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们

的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它

们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.初中竞赛

需要，重要

28、塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、

AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中

心M不用掌握

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29、塞瓦定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要

30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点这个定

理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮

31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、

AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。不用掌握

32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB

或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条

直线叫西摩松线)初中竞赛的常用定理

33、西摩松定理的逆定理：(略)初中竞赛的常用定理

34、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于

△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。不用掌握

35、史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、

CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线

上。这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。不用掌握

36、波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则

P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧

CR=0(mod2∏).不用掌握

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37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三

点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于

△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点不用掌握

38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、

B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三

角形的垂心的连线段的中点。不用掌握

39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于

△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，

则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点不用掌握

40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂

线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、

N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关

于△ABC的西摩松线交于一点。不用掌

41、关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三

角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。不用掌握

42、关于西摩松线的定理2(安宁定理)：在一个圆周上有4点，以其中任三

点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交

于一点。不用掌握

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43、卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、

CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是

D、E、F，则D、E、F三点共线。

44、奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它

们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点

P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分

别是D、E、F，则D、E、F三点共线不用掌握

45、清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P

点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、

QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、

E、F三点共线不用掌

46、他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关

于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、

QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、

F三点共线。(反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如

果OC2=OQ×OP则称P、Q两点关于圆O互为反点)不用掌握

47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角

形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向

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这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。不用掌握

48、九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角

形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆[通常称这个圆为九点圆

[nine-pointcircle],或欧拉圆,费尔巴哈圆.上面已经有

、一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余

一点处的切线所引的垂线都交于一点。不用掌握

50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向

余下两点的连线所引的垂线共点。不用掌握

51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M

和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的

两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形

ABCD的康托尔线。不用掌握

52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，

则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形

ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一

点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。不用掌握

53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三

点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每

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一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形

A、B、C、D、E的康托尔线。不用掌握

54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。不用掌握

55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线

相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形

常被称作莫利正三角形。这是我认为的平面几何中最漂亮最神奇的几个定

理之一，但不用掌握

56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条

对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。高中竞赛

中常

57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三

点共线。不用掌握

58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应

顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长

线相交，则这三个交点共线。高中竞赛中偶尔会用

59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的

对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其

延长线相交，则这三个交点共线。

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60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和

D、B和E、C和F，则这三线共点。高中竞赛中偶尔会用

61、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和

EF、CD和FA的(或延长线的)交点共线。高中竞赛中重要，一般称做帕

斯卡定理，而且是圆锥曲线内接六边形