数学几何图形

初中数学几何图形综合题

必胜中学2018-01-3015:15:15

题型专项几何图形综合题

【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与

线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,

以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的

综合运用.

【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解

成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法

和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问

题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.

【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问

题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必

须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系

和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构

造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想

才能解决.

【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各

地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,

根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论

证型综合题命题的新趋势.

为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背

景的综合题;以圆为背景的综合题.

类型1操作探究题

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位

置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D作DF⊥AC于点F.

(1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC；

(2)若∠DAF＝∠DBA.

①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关

系，并说明理由；

②当点F在线段CA上时，设BE＝x，请用含x的代数式表示线段AF.

解：(1)证明：由旋转得，∠BAC＝∠BAD，

∵DF⊥AC，

∴∠CAD＝90°.

∴∠BAC＝∠BAD＝45°.

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝45°.

∴AC＝BC.

(2)①AF＝BE.理由：

由旋转得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB.

∵∠DAF＝∠ABD，∴∠DAF＝∠ADB.

∴AF∥BD.∴∠BAC＝∠ABD.

∵∠ABD＝∠FAD，由旋转得∠BAC＝∠BAD.

∴∠FAD＝∠BAC＝∠BAD＝1/3×180°＝60°.

由旋转得，AB＝AD.∴△ABD是等边三角形．∴AD＝BD.

在△AFD和△BED中：1.∠F=.∠BED=90°；＝BD；3.∠FAD＝∠EBD，

∴△AFD≌△BED(AAS)．∴AF＝BE.

②如图

由旋转得∠BAC＝∠BAD.

∵∠ABD＝∠FAD＝∠BAC＋∠BAD＝2∠BAD，

由旋转得AD＝AB，

∴∠ABD＝∠ADB＝2∠BAD.

∵∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，

∴∠BAD＋2∠BAD＋2∠BAD＝180°.∴∠BAD＝36°.

设BD＝a，作BG平分∠ABD，

∴∠BAD＝∠GBD＝36°.∴AG＝BG＝BD＝a.

∴DG＝AD－AG＝AD－BG＝AD－BD.

∵∠BDG＝∠ADB，∴△BDG∽△ADB.

∴BD/AD＝DG/DB.∴BD/AD＝(AD－BD)/BD∴AD/BD＝（1+根号5）/2。

∵∠FAD＝∠EBD，∠AFD＝∠BED，∴△AFD∽△BED.

∴BD/AD＝BE/AF.∴AF＝BD/AD·BE＝（1+根号5）/2*x.

2．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC

到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，

连接AG，DE.

(1)求证：DE⊥AG；

(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)

得到正方形OE′F′G′，如图2.

①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度

数，直接写出结果不必说明理由．

解：(1)证明：延长ED交AG于点H，

∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，

∴OA＝OD，OA⊥OD.

在△AOG和△DOE中，＝OD；2.∠AOG＝∠DOE＝90°；＝OE

∴△AOG≌△DOE.∴∠AGO＝∠DEO.

∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠GAO＋∠DEO＝90°.

∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG.

(2)①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：

(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′＝90°时，

∵OA＝OD＝1/2*OG＝1/2*OG′，

∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O＝OA/OG′＝1/2

∴∠AG′O＝30°.

∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′.

∴∠DOG′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°.

(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′＝90°时，

同理可求∠BOG′＝30°，∴α＝180°－30°＝150°.

综上所述，当∠OAG′＝90°时，α＝30°或150°.

②AF′的最大值为2分子根号2＋2，此时α＝315°.

提示：如图

当旋转到A，O，F′在一条直线上时，AF′的长最大，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴OA＝OD＝OC＝OB＝2分子根号2.

∵OG＝2OD，∴OG′＝OG＝.∴OF′＝2.

∴AF′＝AO＋OF′＝2分子根号2＋2.∵∠COE′＝45°，∴此时α＝315°.

3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿

直线AM对折，得到△ANM.

(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；

(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积；

(3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．

解：(1)由折叠可知△ANM≌△ADM，

∴∠MAN＝∠DAM.

∵AN平分∠MAB，

∴∠MAN＝∠NAB.

∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°.∴∠DAM＝30°.

∴DM＝AD·tan∠DAM＝3×3分子根号3＝根号3。

(2)如图1，延长MN交AB延长线于点Q.

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC.

∴∠DMA＝∠MAQ.

由折叠可知△ANM≌△ADM，

∴∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1.

∴∠MAQ＝∠AMQ.

∴MQ＝AQ.

设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1＋x.

在Rt△ANQ中，AQ2＝AN平方＋NQ平方，

∴(x＋1)平方＝3的平方＋x的平方.解得x＝4.

∴NQ＝4，AQ＝5.

∵AB＝4，AQ＝5，

∴SΔNAB＝4/5*S，ΔNAQ＝4/5·1/2·AN·NQ＝24/5.

(3)如图2，过点A作AH⊥BF于点H，则△ABH∽△BFC，∴BH/AH＝CF/BC.

∵AH≤AN＝3，AB＝4，

∴当点N，H重合(即AH＝AN)时，DF最大．(AH最大，BH最小，CF最小，

DF最大)

此时M，F重合，B，N，M三点共线，△ABH≌△BFC(如图3)，

∴DF的最大值为4－根号7

图1

类型2动态探究题

4．(2016·自贡)已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶

点B落在CD边上的P点处．

(1)如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.若△OCP与△PDA

的面积比为1∶4，求边CD的长；

(2)如图2，在(1)的条件下，擦去折痕AO，线段OP，连接BP.动点M在线段

AP上(点M与点P，A不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，

连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问当动点M，N在移动的过程中，

线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF

的长度．

解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°.

∴∠APD＋∠DAP＝90°.

∵由折叠可得∠APO＝∠B＝90°，

∴∠APD＋∠CPO＝90°.∴∠CPO＝∠DAP.

又∵∠D＝∠C，∴△OCP∽△PDA.∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，

设OP＝x，则CO＝8－x.在Rt△PCO中，∠C＝90°，

由勾股定理得

，解得x＝5.∴AB＝AP＝2OP＝10.∴CD＝10.

(2)过点M作MQ∥AN，交PB于点Q.

∵AP＝AB，MQ∥AN，

∴∠APB＝∠ABP＝∠MQP.

∴MP＝MQ.∵BN＝PM，∴BN＝QM.∵MP＝MQ，ME⊥PQ，∴EQ＝0.5PQ.

∵MQ∥AN，∴∠QMF＝∠BNF.

在△MFQ和△NFB中，1.∠QFM＝∠NFB；2.∠QMF＝∠BNF；＝BN

∴△MFQ≌△NFB(AAS)．∴QF＝BF＝0.5QB.

∴EF＝EQ＋QF＝0.5PQ＋0.5QB＝0.5PB.由(1)中的结论可得PC＝4，BC＝8，

∠C＝90°，

∴在(1)的条件下，当点M，N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为

2*根号5.

5．如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴正

半轴上，点B的坐标是(5，2)，点P是CB边上一动点(不与点C，B重合)，连

接OP，AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交CB边于点M，且∠

AOP＝∠COM，令CP＝x，MP＝y.

(1)当x为何值时，OP⊥AP?

(2)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)在点P的运动过程中，是否存在x，使△OCM的面积与△ABP的面积之和等

于△EMP的面积．若存在，请求x的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)由题意知OA＝BC＝5，AB＝OC＝2，∠B＝∠OCM＝90°，BC∥OA.

∵OP⊥AP，

∴∠OPC＋∠APB＝∠APB＋∠PAB＝90°.

∴∠OPC＝∠PAB.

∴△OPC∽△PAB.

解得x1＝4，x2＝1(不合题意，舍去)．

∴当x＝4时，OP⊥AP.

(2)∵BC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP.

∵∠AOP＝∠COM，∴∠COM＝∠CPO.

∵∠OCM＝∠PCO，∴△OCM∽△PCO.

∴y＝x－4/x(2

(3)存在x符合题意．过点E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，则DF＝AB＝

2.

∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积，

∴S△EOA＝S矩形OABC＝2×5＝1/2·5ED.

∴ED＝4，EF＝2.

∵PM∥OA，∴△EMP∽△EOA.

解得y＝5/2.

6．如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD

＝8，AB＝6.如图2，矩形ABCD沿O

B方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单

位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，

矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．

(1)当t＝5时，请直接写出点D，点P的坐标；

(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数

关系式，并写出相应t的取值范围；

(3)点P在线段AB或线段BC上运动时，作

PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．

解：(1)D(－4，3)，P(－12，8)．

(2)当点P在边AB上时，BP＝6－t.

∴S＝0.5BP·AD＝0.5(6－t)·8＝－4t＋24.

当点P在边BC上时，BP＝t－6.

∴S＝0.5BP·AB＝0.5(t－6)·6＝3t－18.

类型3类比探究题

7．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长

线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.

(1)求证：PC＝PE；

(2)求∠CPE的度数；

(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°

时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，

在△ABP和△CBP中，=BC;＝PB;3.∠ABP＝∠CBP

∴△ABP≌△CBP(SAS)．∴PA＝PC.

又∵PA＝PE，∴PC＝PE.

(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，

∴∠BAP＝∠BCP.∴∠DAP＝∠DCP.

∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E.

∴∠DCP＝∠E.

∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，

∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，

即∠CPF＝∠EDF＝90°.

(3)在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，

在△ABP和△CBP中，=BC;＝PB;3.∠ABP＝∠CBP

∴△ABP≌△CBP(SAS)．

∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP.

∵PA＝PE，∴PC＝PE.∴∠DAP＝∠DCP.

∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP.

∴∠DCP＝∠AEP.

∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，

∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠AEP，

即∠CPF＝∠EDF＝180°－∠ADC＝180°－120°＝60°.

∴△EPC是等边三角形．∴PC＝CE.

∴AP＝CE.

8．已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，

∠CAE＋∠CBE＝90°.

(1)如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF.

①求证：△CAE∽△CBF；

②若BE＝1，AE＝2，求CE的长；

(2)如图2，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且AB/BC＝EF/FC＝k时，若

BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值；

(3)如图3，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，

设BE＝m，AE＝n，CE＝p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．(直接

写出结果，不必写出解答过程)

解：(1)证明：①∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，

∴∠ACB＝45°，∠ECF＝45°.

∴∠ACB－∠ECB＝∠ECF－∠ECB，

即∠ACE＝∠BCF.

∴△CAE∽△CBF.

②∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，AE/BF＝根号2.

∴BF＝根号2.

又∠CAE＋∠CBE＝90°，

∴∠CBF＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°.

解得CE＝根号6.

(2)连接BF，

∵AB/BC＝EF/FC＝k，∠CFE＝∠CBA，

∴△CFE∽△CBA.

∴∠ECF＝∠ACB，CE/CF＝AC/BC.

∴∠ACE＝∠BCF.∴△ACE∽△BCF.∴∠CAE＝∠CBF.

∵∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，

题型2与圆有关的几何综合题

9．(2016·成都)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交

AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE.

(1)求证：△ABD∽△AEB；

(2)当BC(AB)＝3(4)时，求tanE；

(3)在(2)的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF＝2，求⊙C的

半径．

解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°－∠DBC.

∵DE是直径，

∴∠DBE＝90°.

∴∠E＝90°－∠BDE.

∵BC＝CD，∴∠DBC＝∠BDE.

∴∠ABD＝∠E.

∵∠BAD＝∠DAB，∴△ABD∽△AEB.

10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC

及AB的延长线相交于点D，E，F.⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交

EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH.

(1)试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；

(3)在(2)的条件下，求HG·HB的值．

解：(1)直线BD与⊙O

相切．理由：连接OB.

∵BD是Rt△ABC斜边上的中线，∴DB＝DC.

∴∠DBC＝∠C.

∵OB＝OE，

∴∠OBE＝∠OEB.

又∵∠OEB＝∠CED，∴∠OBE＝∠CED.

∵DF⊥AC，∴∠CDE＝90°.

∴∠C＋∠CED＝90°.

∴∠DBC＋∠OBE＝90°.

∴BD与⊙O相切．

(2)连接AE.

在Rt△ABE中，AB＝BE＝1，∴AE＝根号2.

∵DF垂直平分AC，∴CE＝AE＝根号2.∴BC＝1＋根号2.

∵∠C＋∠CAB＝90°，∠DFA＋∠CAB＝90°，∴∠ACB＝∠DFA.

又∠CBA＝∠FBE＝90°，A

B＝BE，∴△CAB≌△FEB.

(3)∵AB＝BE，∠ABE＝90°，

∴∠AEB＝45°.

∵EA＝EC，∴∠C＝22.5°.

∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°－22.5°＝67.5°.

∵BH平分∠CBF，

∴∠EBG＝∠HBF＝45°.

∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°.

11．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径

AB在线段AE上．

(1)试说明CE是⊙O的切线；

(2)若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；

(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点

)，连接OD，当1/2CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

解：(1)证明：连接OC.

∵CA＝CE，∠CAE＝30°，

∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°.

∴∠OCE＝90°.

∴CE是⊙O的切线．

12．如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交

BP于点G，E在CD的反向延长线上，EP＝EG，

(1)求证：直线EP为⊙O的切线；

(2)点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.试证明BG＝PG；

(3)在满足(2)的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB＝根号3/3.求弦CD的长．

解：(1)证明：连接OP.

∵EP＝EG，

∴∠EGP＝∠EGP.又∵∠EGP＝∠BGF，

∴∠EPG＝∠BGF.∵OP＝OB，

∴∠OPB＝∠OBP.∵CD⊥AB，∴∠BGF＋∠OBP＝90°.

∴∠EPG＋∠OPB＝90°，即∠EPO＝90°.∴直线EP为⊙O的切线．

(2)证明：连接OG，AP.∵BG2＝BF·BO，∴BG/BO＝BF/BG

又∵∠GBF＝∠OBG，∴△BFG∽△BGO.

∴∠BGF＝∠BOG，∠BGO＝∠BFG＝90°.

∵∠APB＝∠OGB＝90°，∴OG∥AP.又∵AO＝BO，∴BG＝PG.

13．如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA＝6，OB＝8，半径为2的动圆圆

心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点

P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时

间为t秒(0＜t≤5)以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB，OA的交点分别为C，

D，连接CD，QC.

(1)当t为何值时，点Q与点D重合？

(2)当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长；

(3)若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．